藍和平 卓泳萍
摘 要:空間幾何教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容。但是,由于幾何內(nèi)容抽象,強調(diào)演繹推理,所以構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點。如何突破這一難點?首先要準(zhǔn)確把握小學(xué)幾何題解題難的原因,然后找到有針對性的策略。
關(guān)鍵詞:幾何題;困難;調(diào)查;對策
空間幾何教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容。但是,由于幾何內(nèi)容抽象,強調(diào)演繹推理,所以構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點。如何突破這一難點?首先要準(zhǔn)確把握小學(xué)幾何題解題難的原因,然后找到有針對性的策略。于是,我決定采取問卷調(diào)研和學(xué)生解題過程相結(jié)合的方法研究。
一、問卷調(diào)研
六年級兩個班共100人,每人一卷,我強調(diào)調(diào)研的真實性。同學(xué)們積極配合。對調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計如下表:
從整個統(tǒng)計表看,學(xué)生在知道計算公式方面(問題1、問題2)“能”的人數(shù)比例較高,而公式的推導(dǎo)過程(問題3、問題4)“能”的人數(shù)比例較低。從數(shù)據(jù)上顯示出學(xué)生沒有深刻體驗到公式的推導(dǎo)過程。問題5“不能”的人數(shù)比例是65%,學(xué)生對于一些幾何概念很模糊。問題10“沒有”的人數(shù)比例是80%,學(xué)生不善于反思自己的思維過程,長久下去必定導(dǎo)致思維單一。另外在添加輔助線、畫圖助理解、觀察幾何模型、畫立體圖四個方面“沒有”的人數(shù)比例也較高。如此看來,學(xué)生的識圖和作圖能力較弱。而識圖和作圖能力直接影響到學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。
可見,學(xué)生在空間想象力、識圖作圖、概念闡述、思維靈活性四個方面存在問題。為了進一步證實學(xué)生解答幾何題困難的原因,我挑選教學(xué)中出錯率較高的幾何題,讓學(xué)生解答,了解出錯的原因,挖掘影響學(xué)生正確解答幾何題的不良因素。
二、結(jié)合問卷調(diào)研的結(jié)果和教學(xué)中學(xué)生的解題過程進行具體分析
1.空間想象能力差
學(xué)生中已經(jīng)了解求解圖形面積公式的占比高達85%,但是僅有44%了解推導(dǎo)這一計算方程的經(jīng)過。由此可知,多數(shù)學(xué)生并未有補、割、平移和旋轉(zhuǎn)等計算推導(dǎo)經(jīng)驗,只是將公式死記硬背下來。學(xué)生并不了解圖形轉(zhuǎn)化的流程經(jīng)過,尤其是立體幾何學(xué)科,學(xué)生“畫”“看”“思考”的不夠多,沒有能力將立體問題轉(zhuǎn)為平面幾何問題,不具備較強的空間想象能力。
如下面左圖是一個標(biāo)準(zhǔn)圖形,圖形( )經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后和標(biāo)準(zhǔn)圖形完全相同(圖1)。
這是有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的知識,許多學(xué)生做錯了。學(xué)生沒有實際的物體去實踐操作嘗試,只能在腦海里想象,這就要求學(xué)生有一定的空間想象能力,一旦想象模糊,題目就會出錯??梢姡瑢W(xué)生的空間想象力影響到幾何題的正確性。
2.識圖和作圖能力較弱
調(diào)查問卷表明學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的主動性。學(xué)生在面對幾何題計算求解過程中,更加慣于從條件和問題之間尋找其中內(nèi)在關(guān)聯(lián)、摸索思考,但很少審題并繪制圖形分析題干,而認(rèn)為繪圖計算需要耗費大量的時間精力。例如,下面這道題,100名學(xué)生里45人做錯了。
選擇題:將平行四邊形拉成長方形,那么平行四邊形面積( )長方形面積。
A.大于 B.等于 C.小于
這一題其實很好理解,只需將繪圖并對比“高”就能夠得到答案??墒菍W(xué)生在實際計算時,卻很容易出錯。筆者了解到多數(shù)得出正確答案的學(xué)生在解題時都在稿紙上繪制了圖形。而沒有得出正確答案的學(xué)生(共計45名)中,有38人解題從不繪圖,胡亂猜測、盲目下筆。
除了不善于畫圖以外,學(xué)生的識圖能力也較弱。有些圖形題看似復(fù)雜,其實認(rèn)真細看,添加輔助線幫助分割,圖形就會變得很簡單。例如,求陰影部分面積(圖2)。大部分學(xué)生覺得無從下手。其實只要在圖形上添兩條輔助線,把圖分割移補后可以得到:陰影部分的面積剛好等于正方形面積的二分之一。
3.概念闡述欠準(zhǔn)確
幾何題中的概念比較多,概念所反映的內(nèi)涵是非常明確的,來不得半點模糊。一旦理解不透,思維推理不嚴(yán)謹(jǐn),解題就會出現(xiàn)錯誤。在求解下題“星星工程項目組建設(shè)過程中使用的新型壓路機的滾筒結(jié)構(gòu)直徑大小為1m,滾筒總長1.5m,如果以10圈/min的速度轉(zhuǎn)動,一小時能夠前進多遠?”有60%的學(xué)生錯列式為3.14×1×1.5×10,把底面周長算成了圓柱的側(cè)面積,學(xué)生對底面周長的含義并不十分理解。
4.解題思維不靈活
許多學(xué)生在做題的時候表現(xiàn)出不能觸類旁通,只能是老師怎樣講的就怎樣用。對于延拓性的題目感到束手無策。例如學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的面積計算后,解答以下三道應(yīng)用題。
(1)圖中半圓的直徑是5厘米,求整個圓的面積。
(2)丁丁用一根長31.4米的紅色鐵絲,然后繞成一個圓形,請求出這個圓的面積。
(3)已知半圓的周長等于10.28厘米(圖3),求半圓的面積。
對于第(1)題,并沒有多少學(xué)生感到困難。解答第(2)題時,有部分學(xué)生感到比較困難,但經(jīng)過教師的點撥,很快就領(lǐng)悟如何解答。對于第(3)題很多學(xué)生就感到無從下手了。為什么學(xué)生會感到第(3)題很困難?因為這題不像書本的例題,他們找不到“圓的半徑是多少”。就算有的學(xué)生懂得方法,可是思維不嚴(yán)謹(jǐn),求半徑時錯列式為“10.28×2÷3.14÷2”,把“半圓周長中的直徑”漏掉了。學(xué)生受到了書本例題的影響,教師教過的題,他們就會做;沒有教過的題,越不典型,就有越多學(xué)生可能解決不了。這種消極的思維方式,不僅影響到小學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí),可能成為中學(xué)階段學(xué)習(xí)的一個隱患。
三、策略
1.訓(xùn)練看、畫、想,培養(yǎng)空間想象力
在進行幾何初步知識教學(xué)時,應(yīng)該重視學(xué)生的觀察、繪圖、思考。也就是“多看”,多閱讀教材,多對比、觀察不同模型、圖形以及實體等;“多畫”即經(jīng)常練習(xí)繪制3D圖,經(jīng)常從不同角度繪圖;“多想”即將實體轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀文P?,并想通不同圖形和部分的關(guān)聯(lián),閉上眼睛之后在腦海中重現(xiàn)想象幾何圖形。譬如在教授圓錐體時,高線就是學(xué)生無法真實看見,也無法觸摸到,很難掌握的知識,因此教師可以運用模型展示、操作實踐,引導(dǎo)學(xué)生觀察,助其建立圓錐體的“高”這一概念。在授課時,教師不妨用教具順著底面直徑和頂點之間連線將圓錐切開,接著展開讓學(xué)生觀察所獲截面(等腰三角形),三角形底邊為底面圓直徑,從底面圓心到頂點之間直線距離即為“高”。隨后再讓學(xué)生親自測量“高”,并在黑板上繪圖標(biāo)識。如此一來,抽象概念就變得具體而形象了,學(xué)生更好理解??傊岸嗫础薄岸喈嫛薄岸嘞搿笔桥囵B(yǎng)空間想象力的重要途徑。
2.注重實驗操作,建立形體表象
常言道“光說不練假把式”。圖形知識的教學(xué)過程中,不應(yīng)該僅僅重視“觀察”,還應(yīng)該結(jié)合實驗操作教學(xué),幫助學(xué)生更好地感知理解幾何形體。譬如在教授“圓柱表面積”部分內(nèi)容時,老師可以利用教具,將圓柱體展開,隨后帶領(lǐng)學(xué)生繪制展開圓柱體后所得平面圖,再說明各面計算方法。如此一來,學(xué)生先觀察然后繪圖,就很容易理解“圓柱表面積”這一知識點了。
3.加強變式訓(xùn)練,掌握解題技巧
在求解幾何題時常用的方法和數(shù)學(xué)思想有翻折、平移、割拼、割補、借用、旋轉(zhuǎn)以及添線等。完成基礎(chǔ)知識部分教學(xué)之后,筆者運用活動課,設(shè)計了大量練習(xí)題,練習(xí)上述解題方法的應(yīng)用,增強學(xué)生的知識應(yīng)用和問題求解能力。如圖4,即為割補方法解題的案例。學(xué)生只有認(rèn)真識圖,才能正確地移補陰影部分,還原成一個三角形。圖中的陰影部分就是拼成一個三角形。又如,圖5是利用添線、割拼的方法解答的。這是求圖形面積的幾何題,圖形很特別,用常規(guī)思路解答,常常無從下手。若能巧添輔助線,就能化難為易,使問題迅速得到解決。用線連接起來后可以看出,這個圖形的面積是一個正方形的面積加上一個圓形的面積。只要能作出準(zhǔn)確的輔助線,學(xué)生便會體驗到柳暗花明又一村的美妙。
學(xué)生解答幾何題困難的原因是復(fù)雜多樣的。本人只是從學(xué)生方面挖掘原因,提出實踐性的對策。實踐后我感覺效果很好,因此拿來與為“學(xué)生解答幾何題困難”犯愁的同行參考。學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng),對老師的教育方法提出很高的要求。愿大家共同努力,把解幾何題的活動更好地變成學(xué)生動腦筋、再創(chuàng)造的過程。