廣東 駱妃景

歷年來，全國卷的解析幾何題都有強大的幾何背景，往往能通過試題挖掘出多個優(yōu)美統(tǒng)一的結論，因此，深受一線數學教師的喜愛.筆者借鑒之前研究解析幾何經典問題的方法和經驗，從試題分析、題源追溯、多維探究以及核心素養(yǎng)下圓錐曲線備考啟示等方面對2018年高考全國卷Ⅰ理科數學第19題進行分析和探究，希望能夠對研究全國卷的讀者起到拋磚引玉的作用.

1 試題呈現(xiàn)與多解

(Ⅰ)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設O為坐標原點，證明: ∠OMA=∠OMB.

本題考查橢圓的標準方程及簡單性質、直線與橢圓的位置關系、等角的證明，考查考生的推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合、化歸轉化思想，考查的核心素養(yǎng)包括邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析.試題的重點是題設幾何條件的代數轉化，難點是選擇恰當的化歸方式優(yōu)化運算.

1.1 思路分析

證法一為破解此類解析幾何題的通性通法：一是“圖形”引路，一般需畫出大致圖形，把已知條件標注到圖形中，利用直線方程的點斜式或兩點式，即可表示出直線方程；二是“轉化”橋梁，即要證兩角相等，根據圖形特征，轉化為斜率之間的關系，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理及斜率公式即可證得結論.

證法二、證法三、證法四通過充分挖掘圖形的幾何性質建立幾何元素之間的關系，為不同基礎和能力的考生搭建思維平臺，營造數形結合的環(huán)境，也使解析幾何的思想方法在解答過程中得到充分展示.

1.2 題源追溯，真題互鑒

(Ⅰ)當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？請說明理由.

背景2(2013·陜西卷·理20)已知動圓過定點A(4，0)，且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(Ⅱ)已知點B(-1,0)，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點.

背景1、背景2以及2018年全國卷Ⅰ理科數學第19題，這三道解析幾何高考題雖呈現(xiàn)的曲線不同，但考查的核心知識點是一致的，都是考查直線與圓錐曲線有兩個交點的位置關系，都是“方程”與“證明等角”問題，2018年全國卷Ⅰ理科數學第19題只是把背景1去掉了“是否存在”的外包裝，與背景2更是驚人的相似.在強調高考改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段賦予高考典型試題新的生命，這成為高考命題的一種新走向，所以我們在高考備考的過程中，要注意對高考真題考查的核心知識和思想方法進行深度挖掘，把握其本質，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，做到“胸中有高考真題”，那么就能做到以不變應萬變.鑒于此，本文從特殊到一般，進一步挖掘2018年全國卷Ⅰ理科第19題的背景信息和潛能，力促高考真題的引領活動，展現(xiàn)真題功能.

2 多維探究

通過對試題的多解分析以及背景溯源，發(fā)現(xiàn)這是一類以x軸作為角平分線，使得等角恒成立的直線過定點問題，既然橢圓與拋物線有類似的結論，那么雙曲線是否也有類似的結論呢？能否推廣出橢圓、雙曲線和拋物線的一般性結論呢？通過探究得到以下結論.

所以kAQ+kBQ=0，即∠OQA=∠OQB.

很多情況下圓錐曲線都具有相似的性質，因此自然會思考雙曲線、拋物線是否具有結論1的類似性質，經過類比探究發(fā)現(xiàn)結論2，3.

結論2的證明與結論1類似，讀者可自行證明.

結論3拋物線C:y2=2px(p>0)，若點P(t,0)，點Q(-t,0)，過點P的直線l與拋物線交于A，B兩點，則∠OQA=∠OQB.

所以kAQ+kBQ=0，即∠OQA=∠OQB.

結論1,2,3中過點P的直線變?yōu)檫^點Q的直線，經過探究得到結論4.

=0,

所以kPA+kPB=0，即∠OPA與∠OPB互補.

很多情況下圓錐曲線都具有相似的性質，作類似地探究可發(fā)現(xiàn)雙曲線與拋物線有以下結論5，6.

結論6拋物線C:y2=2px(p>0)，若點P(t,0)，點Q(-t,0)，過點Q的直線l與拋物線相交于A，B兩點，則∠OPA與∠OPB互補.

結論5,6的證明與結論4類似，讀者可自行證明.對結論4,5,6的進一步挖掘，得到結論7,8,9.

證明：由結論4得∠OPA=∠QPB，又由∠OPA=∠QPC可得∠QPB=∠QPC，所以點B與點C關于x軸對稱，則橢圓在點B處和點C處的切線與x軸所成角的較小角相等.

結論9拋物線C:y2=2px(p>0)上任意一點A(除頂點外)，點P(t,0)，點Q(-t,0)，直線AQ與拋物線交于另外一點B(除頂點外)，直線AP與拋物線交于另外一點C，則拋物線在點B和點C處的切線與x軸所成角的較小角相等.

所以kQA+kQB=2kQP.

所以直線QA,QP,QB的斜率成等差數列.

結論12拋物線C:y2=2px(p>0)，若點P(t,0)，點Q(-t,n)，過點P的直線l與拋物線相交于A,B兩點，則直線QA,QP,QB的斜率成等差數列.

結論11,12的證明與結論10類似，讀者可自行證明.結論4,5,6逆向探究，推廣到結論13,14，15.

結論15拋物線C:y2=2px(p>0)，點P(t,0)，直線l與拋物線相交于A，B兩點，且滿足∠OPA與∠OPB互補,直線l不垂直于x軸，則直線l恒過定點(-t,0).

結論14，15的證明與結論13類似，讀者可自行證明.

3 核心素養(yǎng)背景下圓錐曲線的備考啟示

3.1 深入挖掘歷年高考題的教學功能，關注通性通法

歷年的全國卷解析幾何題都有強大的幾何背景，在圓錐曲線備考中要重視試題所蘊藏的知識本質及其中通性通法的研究，把握知識本質，在講解圓錐曲線試題時，要給學生充分的時間思考，合理引導學生經歷文字信息、圖形特征和符號語言的多重轉換，滲透轉化思想，培養(yǎng)數據處理素養(yǎng).引導學生深入思考，自主經歷和體驗運算程序，一點一滴地幫助學生突破計算難點，培養(yǎng)學生的計算自信心，落實數學運算素養(yǎng)的培養(yǎng).教師通過多維分析、一題多解、變式等手段調動學生深入挖掘題目信息的積極性，幫助學生抽象出通性通法，落實對學生的邏輯推理素養(yǎng)和數學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.2 加強解題反思，發(fā)展學生思維和創(chuàng)造性