SHEIANOV Aleksandr, 康爾良

(哈爾濱理工大學(xué)，哈爾濱150080)

0 引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱PMSM)無傳感器測(cè)量技術(shù)由于消除了位置傳感器易碎、噪聲大、成本高等缺點(diǎn)，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-2]。該技術(shù)通過測(cè)量定子側(cè)的電壓和電流信息，并結(jié)合相關(guān)算法，估算出轉(zhuǎn)子的位置信息。轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的準(zhǔn)確估算是影響這類系統(tǒng)性能的關(guān)鍵。

卡爾曼濾波器系列中有許多類型的觀測(cè)器。卡爾曼濾波器最初是線性類型的估計(jì)器，也稱為線性二次估計(jì)器(以下簡(jiǎn)稱LQE)。卡爾曼濾波器是以Kalman R命名的，也就是這個(gè)理論的開發(fā)者[3]。卡爾曼濾波器在所有線性估計(jì)器和觀測(cè)器中具有最好的性能，在飛行器，特別是飛行器和航天器的制導(dǎo)、導(dǎo)航和控制等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。至于非線性問題，卡爾曼濾波器家族也提供了許多不同的方法[4]。迄今為止，研究最多的是擴(kuò)展卡爾曼濾波器，它首先根據(jù)先前的估計(jì)來計(jì)算預(yù)測(cè)狀態(tài)，然后以相同的方式，輸出函數(shù)h根據(jù)預(yù)測(cè)狀態(tài)來計(jì)算預(yù)測(cè)測(cè)量值。然而，這種濾波器的f和h不能直接應(yīng)用于協(xié)方差，因此，需在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中[5]計(jì)算偏導(dǎo)矩陣(雅可比矩陣)。雖然EKF(Extended Kalman Fitler)應(yīng)用于電機(jī)控制是相對(duì)簡(jiǎn)單的，但它有許多主要缺點(diǎn):線性化過程中雅可比矩陣的推導(dǎo)比較復(fù)雜；因?yàn)楹雎粤烁唠A項(xiàng)，EKF僅具有一階精度；線性化引起的濾波器不穩(wěn)定性。

為了消除這些問題，使非線性卡爾曼濾波器族比其他非線性算法更精確、更優(yōu)越，Julier和Uhlmann[6],提出了一種改進(jìn)非線性卡爾曼濾波器性能的新方法。無跡卡爾曼濾波器(以下簡(jiǎn)稱UKF不是在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化(求解雅可比矩陣)，而是使用樣本點(diǎn)的最小集合，這些樣本點(diǎn)被饋送到非線性狀態(tài)方程，以獲得預(yù)測(cè)步長(zhǎng)中非線性系統(tǒng)的均值和協(xié)方差，然后根據(jù)新的測(cè)量結(jié)果來校正預(yù)測(cè)估計(jì)值。UKF已成功地應(yīng)用于導(dǎo)航、雷達(dá)跟蹤、信號(hào)處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和機(jī)器人等實(shí)際應(yīng)用[7-8]。AKIN[9]報(bào)道了UKF在電機(jī)控制中的首次實(shí)現(xiàn)。Borsjie P等人[10]報(bào)道了UKF在PMSMd-q參考系下的無傳感器矢量控制應(yīng)用；Titaouine A,Taibi D[11]結(jié)合逆變器的非線性控制；Cheol Moon, Kee Hyun Nam[12]在α-β參考系中實(shí)現(xiàn)了該算法。然而，到目前為止，關(guān)于UKF在內(nèi)置式永磁同步電機(jī)(以下簡(jiǎn)稱IPMSM)應(yīng)用中的論文寥寥無幾。

目前，對(duì)滑模觀測(cè)器已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究，這些研究都表明在實(shí)時(shí)應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)這種方案的潛力很大[13]。滑模觀測(cè)器在商業(yè)產(chǎn)品中已被廣泛使用，因?yàn)槠浜?jiǎn)單，顯示出相對(duì)良好的性能，并且可以在廉價(jià)的定點(diǎn)DSP上實(shí)現(xiàn)，從而降低了產(chǎn)品的成本和尺寸。然而，在低速范圍內(nèi)它表現(xiàn)出較差的性能，這在一些應(yīng)用中是非常關(guān)鍵的因素，因此有學(xué)者提出通過起動(dòng)技術(shù)[14-15]以及高頻注入方法[16-20]來增強(qiáng)滑模觀測(cè)器，規(guī)避起動(dòng)的問題。這在低速范圍內(nèi)這增加了無傳感器方案的計(jì)算量和復(fù)雜性。

本文是對(duì)上述文獻(xiàn)的擴(kuò)展。此外，本文還對(duì)UKF和滑模觀測(cè)器進(jìn)行了比較，在MATLAB/Simulink中進(jìn)行了仿真，表明這兩種算法在性能上有明顯的差異。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

卡爾曼濾波器需要該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以便估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)。受控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的制定是估計(jì)器設(shè)計(jì)階段的一項(xiàng)重要任務(wù)。正確的模型不僅可以簡(jiǎn)化估計(jì)問題的求解，而且可以簡(jiǎn)化整個(gè)算法的計(jì)算量。

為了避免起動(dòng)時(shí)的收斂問題和簡(jiǎn)化電機(jī)方程，選擇d-q參考系來評(píng)估卡爾曼濾波器[2]。電機(jī)非線性狀態(tài)方程可以表示：

(1)

y(t)=Hx(t) (2)

式中：輸入向量u=[uduq]T；輸出向量y=[idid]T。UKF由4個(gè)狀態(tài)變量組成：靜止參考幀電流、估計(jì)速度和估計(jì)角度。由于機(jī)械變量有快速變化的趨勢(shì)，并且很難正確測(cè)量，所以狀態(tài)變量?jī)H由電變量組成。狀態(tài)變量向量x=[idiqωeθe]T。通過取式(1)和式(2)中的偏導(dǎo)，我們可以寫出系統(tǒng)狀態(tài)矩陣：

2 UKF

對(duì)于使用UKF的PMSM無傳感器控制，電機(jī)非線性狀態(tài)方程式(1)和式(2)應(yīng)以離散形式：

xk+1=Fd(xk)xk+Gduk+Bwwk(3)

yk=Hdxk+vk(4)

式(3)和式(4)所表示的狀態(tài)模型還包括對(duì)誤差的統(tǒng)計(jì)描述，其中wk～N(0,Qk)和vk～N(0,Rk) 分別是協(xié)方差矩陣Qk和Rk的零均值高斯過程噪聲和測(cè)量噪聲向量。

2.1 無跡變換

無跡變換的設(shè)計(jì)是基于這樣的事實(shí)，即近似概率分布比近似非線性函數(shù)(后面是EKF所基于的原理)更容易。關(guān)鍵是在高斯輸入的情況下，近似精確到第三階。對(duì)于非高斯輸入，近似精確到至少一個(gè)二階。因此，UKF期望比僅具有一階精度的EKF提供更好的性能和精度。

西格瑪點(diǎn)集：

(5)

式中：L是維數(shù)。

加權(quán)：

式中：λ=α2(L+κ)-L，λ表示縮放參數(shù)；上標(biāo)m，c表示均值和協(xié)方差計(jì)算的加權(quán)點(diǎn)；α決定了西格瑪點(diǎn)在x附近的擴(kuò)展，10-4<α≤1；常數(shù)κ是另一個(gè)標(biāo)度參數(shù)，通常設(shè)置為κ=3-L；β是x分布的先驗(yàn)知識(shí)(對(duì)于高斯分布β= 2是最優(yōu)的)。

每個(gè)點(diǎn)通過非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移和測(cè)量函數(shù)傳播，以產(chǎn)生一組變換后的點(diǎn)：

Yi=g(χi)i= 1,…,2L(6)

用加權(quán)平均值和協(xié)方差近似y的均值和協(xié)方差：

(7)

2.2 UKF算法

UKF是無跡變換遞歸卡爾曼濾波方程的直接應(yīng)用。UKF流程如圖1所示。

圖1 UKF框圖

UKF算法包括以下步驟：

(1) 計(jì)算西格瑪點(diǎn)的集合。

(2) 通過非線性PMSM模型傳播西格瑪點(diǎn)：

χk|k-1=f(χk|k-1;uk|k-1)

(3) 計(jì)算預(yù)測(cè)平均值：

(4) 計(jì)算預(yù)測(cè)協(xié)方差：

(5) 通過觀測(cè)模型對(duì)每個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行變換：

Yk|k-1=h[χk|k-1]

(6) 計(jì)算預(yù)測(cè)觀測(cè)的加權(quán)平均值：

(7) 計(jì)算創(chuàng)新協(xié)方差矩陣：

(8) 計(jì)算互協(xié)方差矩陣：

(9) 校正步驟使用正規(guī)卡爾曼濾波方程進(jìn)行更新。

卡爾曼增益：

Kk=Pxk ykPykyk-1

修正估計(jì)狀態(tài)：

校正協(xié)方差

圖2 基于UKF估計(jì)的無傳感器閉環(huán)系統(tǒng)

3 滑模觀測(cè)器

本文對(duì)無傳感器滑模觀測(cè)器作簡(jiǎn)要的說明，然后在MATLAB/Simulink中進(jìn)行仿真。這種控制算法的完全推導(dǎo)、改進(jìn)和結(jié)果可以參照文獻(xiàn)[16]。

式中：iα和iβ表示的是在靜止參考系中被測(cè)定子電流；uα和uβ表示的是在靜止參考系中PMSM所施加的電壓。定義x= [x1,x2]T= [iα,iβ]T，eα=ωψfsinθ，eβ=-ωψfcosθ，在α-β中的PMSM的狀態(tài)空間模型：

(9)

采用滑模觀測(cè)器的目的是在不知道電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)子位置和速度的情況下調(diào)節(jié)電機(jī)速度，即實(shí)現(xiàn)PMSM的無傳感器控制。同時(shí)，為了避免抖動(dòng)，將傳統(tǒng)的滑模觀測(cè)器中的符號(hào)切換函數(shù)由以下飽和函數(shù)代替：

(10)

通過在滑模觀測(cè)器中應(yīng)用飽和函數(shù)，定義的滑動(dòng)變量可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)邊界層，并在邊界層中停留。估計(jì)模型如下：

(11)

從式(9)和式(11)，可以導(dǎo)出以下關(guān)系：

(12)

(14)

將上述方程經(jīng)過拉普拉斯變換之后，可以得到以下傳遞函數(shù)：

(16)

由變量σ1和σ2定義的滑動(dòng)面可視為eα和eβ的濾波信號(hào)。因此，利用這一原理，我們可以提取轉(zhuǎn)子的位置信息，然后使用鎖相環(huán)方案，計(jì)算出轉(zhuǎn)子速度。下面將比較兩種無傳感器控制方法。

4 仿真結(jié)果

通過兩種算法的仿真來驗(yàn)證所提出算法的性能，從中可以得到一些明顯的差異。仿真中使用的IPMSM的參數(shù)如表1所示。

表1 IPMSM參數(shù)

圖3是用滑模觀測(cè)器模擬的。從系統(tǒng)的速度響應(yīng)可以看出，在低速區(qū)域，特別是700 r/min時(shí)，系統(tǒng)存在一些振蕩。這是這種類型的觀察器的一種常見行為，表明它不能應(yīng)用于一些低速應(yīng)用。而700 r/min后，可以高精度跟蹤速度和角度，并且具有較小的誤差，在額定速度下可以忽略。整個(gè)系統(tǒng)顯示出較好的性能，但在實(shí)際應(yīng)用中還需要一些起動(dòng)算法，如：I-f起動(dòng)或高頻注入。運(yùn)行到600 r/min后，切換到滑模觀測(cè)器跟蹤算法。

(a) 實(shí)際和滑模觀測(cè)器速度響應(yīng)

(b) 實(shí)際和滑模觀測(cè)器計(jì)算的角度

(c) 實(shí)際速度與滑模觀測(cè)器之間的誤差

(d) 實(shí)際 θ角度和滑模觀測(cè)器計(jì)算之間的誤差

下面闡述UKF算法以及其特點(diǎn)。為了驗(yàn)證所提出的算法，在系統(tǒng)運(yùn)行0.5 s之后增加一半的額定負(fù)載。從圖4(a)可以看出，UKF在低速區(qū)域以及中高速區(qū)域顯示出了更好的性能，并且完全跟蹤真實(shí)的系統(tǒng)速度響應(yīng)。如圖4(b)所示，UKF的速度誤差更小，這也進(jìn)一步證明了上述結(jié)論。

(a) 實(shí)際和UKF系統(tǒng)速度響應(yīng)

(b) 實(shí)際和UKF系統(tǒng)速度誤差

(c) 實(shí)際和UKF系統(tǒng)角度響應(yīng)

(d) 實(shí)際系統(tǒng)和用UKF計(jì)算之間的角度誤差

(e) UKF系統(tǒng)的電壓響應(yīng)

理論上，由于UKF的噪聲抑制能力，在電機(jī)低速情況下，與基于滑模觀測(cè)器的轉(zhuǎn)子位置估算結(jié)果相比，UKF能夠提供更可靠的轉(zhuǎn)子位置估計(jì)。圖5(a)和圖5(b)中，基于UKF估算轉(zhuǎn)子位置時(shí)，在電機(jī)低速運(yùn)行的情況下，d-q軸電流估算結(jié)果噪聲較少，這與UKF的噪聲抑制能力有關(guān)。從圖5(c)可以看出，在電機(jī)轉(zhuǎn)速高于100 r/min后，可得到準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子位置估算結(jié)果。因此，在本文控制算法中，首先通過預(yù)設(shè)頻率、幅值可調(diào)的電流矢量將電機(jī)轉(zhuǎn)至100 r/min(有些文獻(xiàn)中稱為I-F控制)，此后切換至基于UKF的無傳感器閉環(huán)控制算法。基于上述控制方法，可使電機(jī)由靜止快速切換至閉環(huán)控制，較大地縮短了起動(dòng)時(shí)間，適用于對(duì)起動(dòng)時(shí)間要求較快的場(chǎng)合。

(a) 實(shí)際和UKF估計(jì)的Id電流響應(yīng)

(b) 實(shí)際和UKF估計(jì)的Iq電流響應(yīng)

(c) 實(shí)際和UKF系統(tǒng)低速響應(yīng)

但是，系統(tǒng)的唯一缺點(diǎn)是它不能在定點(diǎn)處理器上實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗惴ú荒鼙ＷC狀態(tài)協(xié)方差矩陣的收斂。但在TI TMS320F28335的浮點(diǎn)處理器上，可以較容易地實(shí)現(xiàn)，該芯片的時(shí)鐘頻率為150 MHz，具有足夠的資源在一個(gè)中斷期間內(nèi)計(jì)算整個(gè)無傳感器控制算法。

5 結(jié) 語

本文對(duì)基于UKF的無位置傳感器PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了研究。與滑模觀測(cè)器的比較表明，UKF在低速區(qū)域給出更精確的位置和速度估計(jì)，而且由于不需要使用附加的起動(dòng)技術(shù)，UKF可以應(yīng)用于更廣泛的領(lǐng)域。特別地，UKF在跟蹤瞬變期間的速度方面執(zhí)行得更好。同時(shí)，對(duì)于PMSM驅(qū)動(dòng)器內(nèi)存在的噪聲，UKF的性能優(yōu)于滑模觀測(cè)器，并且在擴(kuò)展速度范圍內(nèi)控制仍然有效。UKF算法比滑模觀測(cè)器更復(fù)雜，因此運(yùn)算量要大得多。為了成功實(shí)現(xiàn)基于UKF的無傳感器PMSM驅(qū)動(dòng)，必須選擇高性能的DSP。