鐘濤

摘 要：分形理論是近代圖論方面新興發(fā)展起來的新理論，如果把分形的有限變化與無限的空間組合在一起就能得到一種新的規(guī)律，讓復(fù)雜的問題變得簡單。文章應(yīng)用分形及其在無限平面空間中的反向結(jié)構(gòu)討論四色地圖問題，并得出相關(guān)結(jié)論。

關(guān)鍵詞：四色地圖 分形 反向思維

中圖分類號：O157.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）01（c）-0254-02

如何用反向分形規(guī)律認(rèn)識四色地圖定理？

四色地圖定理是在繪制世界地圖時(shí)，總結(jié)了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，只需要4種顏色就可以區(qū)分不同國家。這是否是一個(gè)普遍規(guī)律？在數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)給出嚴(yán)格的證明，理解這個(gè)證明有相當(dāng)大的難度。那是否能夠降低難度，簡化證明呢？如果把四色地圖定理看成平面空間的分形分割，涂色是這個(gè)分形的反向規(guī)律，對四色定理的認(rèn)識難度就可以大大降低。

1 第一類反向分形規(guī)律

先來構(gòu)造第一類簡單的平面分形，第一步用一根直線分割無限的平面空間。

分形的第二步，繼續(xù)用平行的直線在1、2空間繼續(xù)分割。

這樣的分割可以一直下去，那么應(yīng)如何認(rèn)識其中的填色規(guī)律呢？首先可在第一步與第二步之間找到以下規(guī)律。

假設(shè)平面空間2在第2步分割被成3、4，那么可以找到這樣的規(guī)律：平面空間1、2因?yàn)橄噜?，所以需要兩種顏色區(qū)分。當(dāng)平面空間2變化為3、4時(shí)，3繼承了2的性質(zhì)與1相鄰。4沒有繼承相鄰性質(zhì)，如果把2看成1的反向不同性，則4因?yàn)榕c2不同而繼承了1的反向不同性，變成與1相同的一類事物，因此可以用同一種顏色。

因此，如果把平行直線看成平面的第一類分形，得到的反向分形規(guī)律就是不斷地循環(huán)重復(fù)1、2的相鄰與不相鄰性質(zhì)，只要用兩種顏色就可以區(qū)分所有分形得到的空間。由此進(jìn)一步可以推論：無論曲線、折線，只要不出現(xiàn)交點(diǎn)，保持分形空間線相鄰，則這個(gè)規(guī)律繼續(xù)適用。

2 第二類反向分形規(guī)律

要在無限的平面空間找到區(qū)分不同國家的規(guī)律，即要相同屬性的基本形貌是平面。四色地圖問題是平面結(jié)構(gòu)的屬性關(guān)系問題，不同的關(guān)系需要不同的顏色區(qū)分。無限平面有兩種基本結(jié)構(gòu)：開放面和封閉面，它們之間的關(guān)系全息分類如下。

（1）在平面上，二屬性共線。如圖1所示（虛線表示開放面，下同）。

從開放面1出發(fā)與開放面2共線，相鄰關(guān)系需要兩種顏色區(qū)分。開放面3是開放面1非共線面，重復(fù)開放面1的屬性特征，即重復(fù)開放面1的顏色，以此類推，在這種結(jié)構(gòu)下無論數(shù)量多少只需要兩種顏色。

（2）在平面上，三屬性共點(diǎn)。從開放面1出發(fā)，與開放面2、3共點(diǎn)，需要3種顏色區(qū)分，如圖2所示。

隨著量值的增加，開放面4重復(fù)開放面1的屬性特征，即重復(fù)開放面1的顏色，以此類推，在這種結(jié)構(gòu)下無論數(shù)量多少最多需要3種顏色，如圖3所示。

（3）前面一、二兩種結(jié)構(gòu)組合如圖4所示。隨著量值的增加，不共點(diǎn)只共線的開放面2，重復(fù)第二種結(jié)構(gòu)第二（或三）開放面的性質(zhì)。既不共點(diǎn)也不共線的開放面3，重復(fù)開放面1的屬性特征，即重復(fù)開放面1的顏色，以此類推，在這種結(jié)構(gòu)下無論數(shù)量多少則最多需要3種顏色。

同樣新增加的只與開放面1共點(diǎn)的開放面，重復(fù)開放面1的屬性特征，即重復(fù)開放面1的顏色，以此類推，在這種結(jié)構(gòu)下無論數(shù)量多少則最多需要3種顏色。

（4）在屬性范疇把兩點(diǎn)一線的形狀定義為節(jié)。封閉面與開放面共線的差異在于共節(jié)。因此需要增加一顏色區(qū)分開放面1與封閉面一的共節(jié)關(guān)系。在把開放面1和封閉面一組合為共同體作為一個(gè)新的起點(diǎn)后，開放面的演繹就與前面一、二、三的結(jié)構(gòu)相同，如圖5所示。

同樣不考慮外部的開發(fā)面，從封閉面一出發(fā)，封閉面的變化也與前面一、二、三的結(jié)構(gòu)相同。開放面與封閉面同步變化演繹，與組合體（1、一）非共線、非共點(diǎn)、非節(jié)的開放面或封閉面就是1或一屬性特征重復(fù)的新起點(diǎn)。以此類推，在這種結(jié)構(gòu)下無論數(shù)量多少則最多需要4種顏色。

3 結(jié)論

綜上所述，可得出以下結(jié)論：在同一平面內(nèi)，全息結(jié)構(gòu)的屬性關(guān)系只有3種，即共線、共節(jié)、共點(diǎn)，所以只需要4種顏色區(qū)分。并得出推論：把平面進(jìn)行彎曲，只要不封閉，這個(gè)結(jié)論同樣適用。

4 結(jié)語

道德經(jīng)說：三十輻同一轂，當(dāng)其無，有車之用也。分形結(jié)構(gòu)為有，平面空間的反向結(jié)構(gòu)為無，其用超過分形。四色地圖問題中點(diǎn)、線、面的分形結(jié)構(gòu)為有，反向結(jié)構(gòu)區(qū)域的相鄰與不相鄰關(guān)系、封閉與開放關(guān)系為無，其用，成四色定理。

參考文獻(xiàn)

[1] 張士慶，張?zhí)?四色問題的直觀幾何論證及單純性地圖四色定理[J].圖學(xué)學(xué)報(bào)，2013（5）：46-50.

[2] 肯尼思·法爾科內(nèi)，著.分形幾何——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].曾文曲，劉世耀，戴連貴，譯.北京：人民郵電出版社，1991.