云南省曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(655011) 孫雪梅

云南省曲靖市第一中學(xué)(655000) 李德安

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為:學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力[1].如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)于課堂教學(xué)中是高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)前要解決的首要問(wèn)題.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)本質(zhì)上反映的是思維品質(zhì),基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[2].

逆向思維是指根據(jù)一種觀念(概念、原理、思想)、方法及研究對(duì)象的特點(diǎn),從它的相反或否定的方面去進(jìn)行思考,以產(chǎn)生新的觀念[3].家喻戶(hù)曉的“司馬光砸缸”的故事,就是典型的逆向思維,人們習(xí)慣的正向思維要從水里救人,是要讓人離開(kāi)水,而司馬光的聰明之處就是利用逆向思維讓水離開(kāi)人.在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用到逆向思維來(lái)破解用正向思維解決起來(lái)較為復(fù)雜困難的問(wèn)題,從而得到新穎巧妙而簡(jiǎn)潔的解法.文中通過(guò)例子,對(duì)比分析正向思維與逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,并探究如何在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

1.公式逆用,化繁為簡(jiǎn)

例1判斷函數(shù)f(x)=的奇偶性.

利用正向思維要判斷函數(shù)的奇偶性,學(xué)生想到是圖象法和定義法,于是可得如下解法1和解法2.

解法1畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象,可知圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)象,f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).

解法2根據(jù)已知條件,進(jìn)行分類(lèi)討論.①當(dāng)x≥0時(shí),則-x≤0.f(-x)=(-x)2=x2=-(-x2)=-f(x);②當(dāng)x≤0時(shí),則-x≥0.f(-x)=-(-x)2=-x2=-f(x).綜上所述,f(-x)=-f(x).又f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故f(x)為奇函數(shù).

引導(dǎo)學(xué)生逆用絕對(duì)值公式|x|=由右到左添絕對(duì)值符號(hào),可將f(x)的表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而易判斷出f(x)的奇偶性,避免了解法2中繁復(fù)的討論,由此得到以下解法3.

解法3由于所以f(x)=-x|x|.因?yàn)閥=-x為奇函數(shù),y=|x|為偶函數(shù),所以顯然f(x)是奇函數(shù).

“可逆性”、“雙向性”是數(shù)學(xué)逆向思維最基本的特征,它包括了兩個(gè)不同而又相互關(guān)聯(lián)的過(guò)程,它與只是向著一個(gè)方向起作用的單向的A→B型聯(lián)想(聯(lián)結(jié))相反,是雙向的A←→B型的聯(lián)想的建立[3].學(xué)生習(xí)慣正向的“順?biāo)肌?而忽視了事物間是互為因果聯(lián)系的.學(xué)生由于思維定勢(shì)對(duì)“反過(guò)來(lái)”思考的逆向思維不太習(xí)慣,但逆向思維對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能起到簡(jiǎn)化甚至是突破性的效果.通過(guò)正向和逆向思維解法的對(duì)比,讓學(xué)生切實(shí)感受到逆向思維化繁為簡(jiǎn)的作用.

2.打破常規(guī),化陳為新

例2若a＞0,b＞0,且當(dāng)時(shí),恒有ax+by≤1.求以a、b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積.

學(xué)生看到線(xiàn)性規(guī)劃的題,由于思維定勢(shì),馬上想到是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),然后討論目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問(wèn)題,自然有體現(xiàn)正向思維的以下典型解法1.

解法1作出線(xiàn)性約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,如圖1所示,在此條件下,要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大值不超過(guò)1即可,令z=ax+by,則

①當(dāng)-1即b＞a時(shí),則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z最大,且zmax=b,所以b≤ 1,此時(shí),0＜a＜b≤1,點(diǎn)P(a,b)形式的可行城如圖2所示,

綜上所述,點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形,如圖4所示,故點(diǎn)P(a,b)形成的平面區(qū)域的面積為1.

圖1

圖2

圖3

圖4

以上解題過(guò)程就是正向思維,先設(shè)出目標(biāo)函數(shù)z=ax+by,將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化到最值問(wèn)題,即只需zmax≤1,最后拿出a、b滿(mǎn)足的約束條件,求出面積,但為了明確zmax,需要進(jìn)行分類(lèi)討論,較為繁瑣而且易出錯(cuò).引導(dǎo)學(xué)生逆向思維:ax+by≤1表示的也是一個(gè)平面區(qū)域,要使之恒成立,即是一個(gè)區(qū)域的覆蓋問(wèn)題,簡(jiǎn)單明了,無(wú)須分類(lèi)討論即可求出a、b滿(mǎn)足的約束條件,即可得到如下解法2.

解法2邊界直線(xiàn)ax+by=1恒過(guò)點(diǎn)M要使ax+by≤ 1在時(shí)恒成立,則ax+by≤1所表示的半平面完全覆蓋了所表示的平面區(qū)域,所以即故點(diǎn)P(a,b)表示的平面區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形,所以點(diǎn)P(a,b)形成的面積為1.

以上逆向思維體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換,已知問(wèn)題A,要解決較困難的問(wèn)題B,先解決另一個(gè)與之相關(guān)的較容易的問(wèn)題C,而解決了問(wèn)題C也就能解決問(wèn)題B了.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)換方法離不開(kāi)運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)的正向思維.因此,在數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,在強(qiáng)調(diào)逆向思維的重要性的同時(shí),也要重視正向思維的訓(xùn)練,因?yàn)檎蚝湍嫦蛩季S雖是不同但又是互相聯(lián)系的兩種思維形式,逆向思維是建立在正向思維的基礎(chǔ)上的.正向思維是慣性使然,逆向思維是打破慣性思維,是正向思維的逆向探求和再出發(fā).

3.逆向探求,化難為易

例3 函數(shù)y=asinx-bcosx的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為則直線(xiàn)ax-by+c=0的傾斜角是多少?

學(xué)生看到此題,容易想到利用“輔助角”公式,將函數(shù)y=asinx-bcosx化為表示出對(duì)稱(chēng)軸公式,再將代入對(duì)稱(chēng)軸公式進(jìn)而求出傾斜角的正向思維解法,即是如下解法1.

解法1其中tan對(duì)稱(chēng)軸方程為x-φ=∈?,所以+kπkπ,k∈?,所以tanφ=-1,即所以所以?xún)A斜角是

引導(dǎo)學(xué)生逆向思維,先不表示出對(duì)稱(chēng)軸方程,而是從知道了對(duì)稱(chēng)軸方程思考它有什么樣的性質(zhì)出發(fā),從而找到a與b的關(guān)系求出傾斜角,有以下解法2、解法3、解法4三種解法.

解法2因?yàn)橐粭l對(duì)稱(chēng)軸為所以f(0)即-b=a,所以所以?xún)A斜角是

解法3是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸,所以取得最大值或最小值,所以所以?xún)A斜角為

解法4f(x)在處取得最值也取得了極值,所以因?yàn)閒′(x)=acosx+bsinx,所以所以所以?xún)A斜角是

以上三種解法就是逆向探求,屬于逆向思維中的“反推理”,利用分析法,換個(gè)角度看問(wèn)題,把問(wèn)題的解決的程序顛倒一下,由結(jié)論尋條件,就能化隱為顯,化難為易.

4.正難則反,巧妙新奇

例4已知橢圓C:直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)

P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且求m的取值范圍.

此題屬于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,正向思維就是利用常規(guī)解法:聯(lián)立方程、消元、利用韋達(dá)定理和“Δ”判別式、,再根據(jù)題設(shè)條件找到與坐標(biāo)的聯(lián)系,于是有以下解法1.

解法1由題意知直線(xiàn)l斜率存在且不等于0,設(shè)其方程為y=kx+m(k/=0),代入橢圓方程得(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0(*).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得又即有 (-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),所以-x1=2x2,所以所以x1·x2=-2(x1+x2)2,所以?(9m2-4)k2=8-2m2.當(dāng)9m2-4=0時(shí),上式不成立,所以9m2-4/=0,所以＜m2＜4,此時(shí)方程(*)中的Δ＞0成立,所以m的取值范圍是

解法2可理解為過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn),存在顯然當(dāng)AB⊥y軸時(shí),|AP|=|BP|,故只需≥ 2,當(dāng)點(diǎn)A、B分別在橢圓的下、上頂點(diǎn)時(shí),取最大值,所以又m＜2,所以由對(duì)稱(chēng)性可知,-2＜m也滿(mǎn)足題意.所以m的取值范圍是

綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的解題方法,綜合法的思維就是由已知到結(jié)論的正向思維,而分析法就是由結(jié)論到已知的逆向思維.此題正向思維的常規(guī)解法,雖然思路簡(jiǎn)單,但計(jì)算繁瑣.在教學(xué)中,要適時(shí)啟發(fā)點(diǎn)撥,有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,可使學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、深刻性得到培養(yǎng)和提高.

史寧中在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問(wèn)題》中強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展,“四基”是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體,強(qiáng)調(diào)“四基”就要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)理解知識(shí)的本質(zhì),感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想,積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn),在這個(gè)基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).”[1]在解題教學(xué)中,結(jié)合相關(guān)例題,讓學(xué)生掌握逆向思維在數(shù)學(xué)解題中表現(xiàn)為“反序”、“否定”兩種形式,“反序”包括反問(wèn)題程序、反條件結(jié)論法(同一法、待定系數(shù)法)、反推理法(分析法、逆證法)和逆用公式、定理和定義等,而“否定”包括求補(bǔ)法、反證法、舉反例法等[4].教師在解題教學(xué)中要重視公式、定義、定理的逆用,要有意識(shí)訓(xùn)練學(xué)生會(huì)正反面思考,如果正向思維受阻或者較困難繁瑣就應(yīng)考慮逆向思維,正難則反.要讓學(xué)生通過(guò)實(shí)例學(xué)會(huì)反面思考或者從已知的條件、結(jié)論的否定方面去探索,或者通過(guò)轉(zhuǎn)換問(wèn)題和方法,反序思考.通過(guò)正向和逆向思維的對(duì)比,讓學(xué)生感受到逆向思維化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化陳為新的作用,特別是在使用正向思維百思不得其解,山窮水盡疑無(wú)路時(shí),使用逆向思維迎刃而解,體會(huì)到柳暗花明又一村的感覺(jué),讓學(xué)生切實(shí)感受到逆向思維的奇妙和新穎.