拉格朗日中值定理及其應用探析

李慶娟

（大連財經學院基礎教育學院，遼寧大連116600）

1 預備知識和定理

拉格朗日中值定理又名有限增量定理或是拉氏定理，是法國著名數學家拉格朗日于1797年提出并加以證明的，因此命名為拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心內容，它是羅爾定理的直接推廣，而柯西中值定理和泰勒中值定理又是拉格朗日中值定理在形式上及應用上的推廣。拉格朗日中值定理是將函數與導數聯(lián)系起來的一座橋梁，是研究函數的重要理論工具，它在微積分學中占有十分重要的地位，且有著廣泛應用[1-2]。

定理1若函數f(x)滿足：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內可導。

則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。

圖1 拉格朗日中值定理

如圖1，拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB上除端點外處處都有不垂直于x軸的切線，則在弧AB上至少存在一點C(ξ,f(ξ)) ，使得該點處切線平行于割線AB。

注：①定理中若a＞b，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)仍然成立，其中ξ介于a與b之間；

②定理的其它等價形式：

f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a)，其中0＜θ＜1；

f(x+Δx)-f(x)=f′(x+θΔx) Δx，0＜θ＜1；

③從定理可以看出，由y=f(x)在某x處的取值或是性態(tài)，可進而判斷x近旁處f(x)的取值和性態(tài)，這好像是一條關系鏈，對滿足條件的[a,b]上f(x)全局有某種把控作用。

2 拉格朗日中值定理的應用

拉格朗日中值定理是微積分教學中的重要內容，掌握好定理以及應用，對學好微積分至關重要。拉格朗日中值定理不僅可以推導出微積分中的其它重要定理和公式，它還有著其它的重要應用，如求解函數極限問題、證明等式與不等式、討論函數的性態(tài)、討論方程根以及證明級數收斂的問題等等[3-4]。

2.1 在求解極限問題方面的應用

在微積分中求解函數極限的方法有很多種，基本方法有直接代入法、有理化法、重要極限法、夾逼定理法，比較典型的是洛必達法則、等價無窮小替換法，還有泰勒公式法等等，利用拉格朗日中值定理求解函數極限的方法雖然不常用，但也是一種比較的重要方法。

例2設 f(x)在[0 ,+∞ )上可導，且，試證明：x。

證明利用拉格朗日中值定理和極限定義式，再結合夾逼定理進行處理。

設x0＞0（足夠大），在區(qū)間[x0,x]上應用拉格朗日中值定理得，

對所求極限式子進行處理

再由三角不等式可得

當x→+∞時，同時x0+θ(x -x0)→+∞，

故不等式右端極限為零，由夾逼定理

2.2 在證明不等式問題中的應用

利用拉格朗日中值定理證明不等式也是高等數學教學中證明不等式的一種典型方法，通過構造輔助函數，利用拉格朗日中值定理，對式子進行放縮或是再結合單調性進行證明。

例3設e＜a＜b＜e2，證明

證明構造輔助函數，令 f(x)=ln2x,顯然函數f(x)滿足在[a ,b]上連續(xù)，在(a ,b)內可導，由拉格朗日中值定理可得至少存在一點ξ∈(a ,b)，使得

注意：此題也可以直接用單調性證明，可令

例4設非負二階可微函數 f(x)在[0 ，+∞ )內滿 足 f″(x)＞0，對 常 熟 a＞0，證明：

證明利用變限法構造輔助函數，令

（利用拉格朗日中值定理進行處理）

因 為 f(x)在[0 ,+∞ )內 滿 足 f″(x)＞0，所 以，故F(x)在[0 ,+∞ )內單調遞增，進而F(a)＞F(0)=0，即得證。

2.3 在證明等式問題中的應用

利用拉格朗日中值定理證明等式問題是拉格朗日中值定理內容的一個直接應用，當被證的結論中含有 f(a),f(b),ξ,f′(ξ)等時，我們往往考慮用拉格朗日中值定理證明。

例5設 f(x)在閉區(qū)間[a ,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a ,b)內可導，證明：在(a ,b)內至少存在一點 ξ，使得

證明從形式上來看是拉格朗日中值定理的應用。

構造輔助函數，令F(x)=xf(x)，函數在[a ,b]上顯然滿足拉氏定理條件，從而至少存在一點ξ，使得，即ξf′(ξ)得證。

2.4 在討論函數的性質方面的應用

微分中值定理為研究函數的性態(tài)提供了重要的理論工具，拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心內容更是如此。

例6證明函數 f(x)在有窮區(qū)間(a ,b)內可微分，但無界，則其導函數 f′(x)在區(qū)間(a ,b)也無界。

證明采用反證法和拉格朗日中值定理

假設 f′(x)在區(qū)間(a ,b)有界，即存在M＞0，使得

對于任意a＜c＜x＜b，f(x)在區(qū)間[c ,x]上滿足拉格朗日中值定理條件，所以

進而

故| f(x)|＜M(b -a)+| f(c)|，這顯然與函數 f(x)在有窮區(qū)間(a ,b)內無界矛盾，所以假設不成立，即f′(x)在區(qū)間(a ,b)也無界。

例7設函數 f(x)在開區(qū)間(- ∞,+∞ )內有有界的導函數，則函數 f(x)在(- ∞,+∞) 內一致連續(xù)。

證明對任意x1,x2∈(- ∞,+∞ )，由拉格朗日中值定理可得

其中ξ介于x1與x2之間，由已知條件 f(x)的導函數有界，故存在M＞0，使得| f′(ξ)|＜M，所以，?ε＞0 取時，有

從而可知函數 f(x)在(- ∞,+∞ )內一致連續(xù)。

2.5 在方程根的討論問題中的應用

對于方程根討論問題，經常利用的方法就是零點存在定理、介值定理、單調性判定定理等，而拉格朗日中值定理也會在某些方程根的討論時起著重要作用。

例8設函數 f(x)在[a ,+∞ )內連續(xù)，在(a ,+∞)內 可 導 ， f′(x)＞k＞0，其 中 k為實 數 ，又 已知f(a)＜0，證明 f(x)=0在區(qū)間內有且僅有一個實數根。

分析：主要思想是利用零點存在定理進行判斷，但如何確定右端點的正負呢？借助于拉格朗日中值定理。

證明首先設，也就是證 f(x)=0在區(qū)間(a ,b)內有且僅有一個實數根。由已知條件可知f(x)滿足在[a ,b]上連續(xù)，在(a ,b)內可導，由拉格朗日中值定理可得至少存在一點ξ∈(a ,b)，使得 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b -a)，進而得

又因為 f(a)＜0，由零點存在定理，f(x)=0在區(qū)間(a ,b)內至少有一個實數根，再由 f′(x)＞k＞0可知，函數單調遞增，故 f(x)=0在區(qū)間(a ,b)內有且僅有一個實數根，命題得證。

例9設函數 f(x)在[a ,+∞ )上有二階導數，且滿足f(a)=A ＞ 0,f′(a )＜0，當 x∈(a ,+∞ )時，f″(x)＜0，證明：f(x)在(a ,+∞ )內恰有一個零點。

證明首先討論 f(x)在(a ,+∞ )的單調性，對于任意 x∈(a ,+∞ )，對 f′(x)在[a ,x]上應用拉格朗日中值定理，可得 f′(x)-f′(a)=f″(ξ)(x -a )，ξ∈(a ,x)由已知條件進而可得 f′(x)＜0，所以 f(x)在(a ,+∞)內單調遞減。對 f(x)在[a ,x]上再次應用拉格朗日中值定理，可得

即

因為f(a)=A ＞ 0,f′(a)＜0，當x→+∞，上述不等式右端趨于負無窮，即 f(x)能取到負值，不妨設，則當x＞x時，必有 f(x)＜0，所以0對于任意x∈(x0,+∞ )，由零點存在定理，f(x)在[a ,x]至少有一個零點，又因為 f(x)在(a ,+∞ )內單調遞減，所以 f(x)在(a ,+∞ )內恰有一個零點。

2.6 在級數收斂證明中應用

例10已知正項級數發(fā)散，部分和序列sn=u1+u2+…un，證明：級數收斂。

證明首先構造輔助函數α＞0，函數連續(xù)且可導，當 n＞2時，在閉區(qū)間[sn-1,sn]上，函數 f(x)均滿足拉氏定理條件，故至少存在一點ξn,(sn-1＜ξn＜sn)，使得

而

3 結語

綜上所述可知拉格朗日中值定理的重要性，它不僅是微分中值定理的重要的組成部分，它的應用更是廣泛，介紹了拉格朗日中值定理的六大主要應用，事實上，它還有很多應用等待進一步去研究。