關(guān)雪梅，郝秀紅

(1.燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

機電集成電磁蝸桿傳動是有源、無接觸的廣義復(fù)合運動，該傳動利用磁鐵的特性，結(jié)合電機學(xué)、電磁學(xué)和機械學(xué)而發(fā)展起來的一種新型非接觸傳動形式，它集蝸桿傳動和電動機功能于一體，進(jìn)一步增強了蝸輪蝸桿傳動的功能，該傳動與傳統(tǒng)齒輪傳動相比具有效率高、系統(tǒng)無需潤滑、噪聲小、結(jié)構(gòu)緊湊等特點[1]。

該傳動機構(gòu)是集機、電、磁于一體的機電耦合廣義復(fù)合傳動系統(tǒng)，包括電系統(tǒng)、機械系統(tǒng)及其耦合部分，機構(gòu)各個系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)之間參數(shù)變化是相互影響的，機電集成電磁蝸桿傳動系統(tǒng)靈敏度分析就是找出機械系統(tǒng)的動態(tài)特性對哪些參數(shù)的變化較為靈敏，進(jìn)而對這些參數(shù)做出相應(yīng)修正的過程[2-4]。使用靈敏度分析可以簡化優(yōu)化設(shè)計過程，提高設(shè)計效率。

現(xiàn)有的電磁場的耦合場分析方法多為機電耦合系統(tǒng)的平面單自由度動力學(xué)建模及仿真[5-6]，該方法在研究磁場與轉(zhuǎn)矩隨設(shè)計參數(shù)變化規(guī)律時沒有解析法靈活[7-8]，不能給出系統(tǒng)剛度的解析公式，不便于系統(tǒng)靈敏度的分析。

對廣義復(fù)合傳動系統(tǒng)靈敏度分析的方法主要有直接計算法、高階函數(shù)法和一階函數(shù)法[9-12]。直接計算法計算量大且可行性較差；高階靈敏度函數(shù)法難于求解且沒有實用性，目前靈敏度分析大多選用的是一階靈敏度函數(shù)法，本文采用一階靈敏度函數(shù)法推導(dǎo)出系統(tǒng)靈敏度矩陣，在初選結(jié)構(gòu)參數(shù)的基礎(chǔ)上，研究機械系統(tǒng)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對電磁嚙合的影響規(guī)律，為機電集成電磁蝸桿傳動的加工制造提供依據(jù)。

1 電磁蝸桿傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型建立

電磁蝸桿傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖1所示[13]。為了方便起見，用相應(yīng)的嚙合位移代替旋轉(zhuǎn)位移

ui=riθi，

(1)

其中，i=p，w，θp、θw為蝸輪、蝸桿轉(zhuǎn)動的角度，rp、rw是蝸輪、蝸桿的基圓半徑。

蝸桿蝸輪系統(tǒng)矩陣形式可表示為蝸輪位移向量X及與之相應(yīng)的質(zhì)量矩陣M的運動微分方程，

傳動系統(tǒng)動力方程如下

(2)

式中，pwp為蝸桿和蝸輪之間的相對位移(mm)；kwp為蝸桿與蝸輪之間的扭轉(zhuǎn)電磁嚙合剛度(N/m)。

此系統(tǒng)模型中蝸輪與蝸桿線圈間的電磁耦合力及電磁耦合剛度與安裝有扭矩輸出部件是相同的，由系統(tǒng)的能量函數(shù)求導(dǎo)，并考慮螺旋升角的影響可得蝸輪與蝸桿線圈之間的電磁嚙合剛度為

IiIjcosγ=Ccos(z1θ′+φv/3np)|θ=θ0，

式中，kxw、kyw、kzw為蝸桿在x、y、z方向的支撐剛度(N/m)；kxp、kyp、kzp為蝸輪在x、y、z方向的支撐剛度(N/m)；δ為電磁力與蝸輪圓周的夾角(°)；γ為蝸輪與蝸桿接觸點處的導(dǎo)程角(°)。

圖1 電磁蝸桿傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型
Fig.1 Dynamic model of the electromagnetic worm drive system

由圖1可知，蝸桿和蝸輪之間的相對位移pwp計算如下

pwp=(uww-zp)cosδcosγ+(up-zw)cosδsinγ+
(xp+yw)sinδ，

(3)

將式(3)代入式(2)可得蝸桿蝸輪系統(tǒng)矩陣形式的運動微分方程為

(4)

其中，

(5)

2 機械系統(tǒng)靈敏度分析

電磁蝸桿傳動系統(tǒng)自由振動運動微分方程如式(4)所示，與其相對應(yīng)的特征值方程為[13]

(6)

(7)

(8)

(9)

將式(6)和式(9)代入式(8)簡化得

(10)

由式(10)可得

(11)

(12)

(13)

2.1 固有頻率對電磁力與蝸輪圓周夾角δ的靈敏度

由式(12)可得固有頻率對電磁力與蝸輪圓周夾角δ的靈敏度計算公式為

(14)

2.2 固有頻率對比值a/r的靈敏度

比值a/r就是傳動系統(tǒng)中的裝配中心距a與環(huán)面蝸桿喉部計算圓半徑r的比值，由式(12)可得固有頻率對比值a/r的靈敏度計算公式為

(15)

由于蝸輪與蝸桿嚙合點的導(dǎo)程角γ為比值a/r與傳動比i的函數(shù)，即

可得蝸輪與蝸桿嚙合點處的導(dǎo)程角對比值a/r的導(dǎo)數(shù)為

(16)

2.3 固有頻率對傳動比iwp的靈敏度

由式(10)可得固有頻率對傳動比iwp的靈敏度計算公式為

(17)

由于蝸輪與蝸桿嚙合點的導(dǎo)程角γ為比值iwp的函數(shù)，可得蝸輪與蝸桿嚙合點處的導(dǎo)程角對比值iwp的導(dǎo)數(shù)為

(18)

3 機械系統(tǒng)靈敏度分析

表1是整體傳動系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)，將參數(shù)代入相對應(yīng)的公式，可得到固有頻率對這些參數(shù)的靈敏度變化曲線如圖2～4所示。

表1 算例系統(tǒng)參數(shù)
Tab.1 The system parameters of calculation example

變量取值Mw/kg4.5mw/kg9.0Mp/kg1.5mp/kg3.0kwp/(N/m)1.5×106kxw/kyw/kzw/(N/m) 2.0×106kxp/kyp/kzp/(N/m)1.5×106δ/(°)0/10i8a/R2

圖2 固有頻率對δ的靈敏度
Fig.2 The sensitivity of natural frequency forδ

圖3 固有頻率對比值a/r的靈敏度
Fig.3 The sensitivity of natural frequency fora/r

圖4 固有頻率對比值iwp的靈敏度
Fig.4 The sensitivity of natural frequency foriwp

由靈敏度曲線可得出如下規(guī)律:

1) 單個不重復(fù)且不等于零的3個固有頻率，隨著電磁力與蝸輪圓周的夾角δ的增加而減小，此三頻率相應(yīng)的振動模態(tài)為旋轉(zhuǎn)模態(tài)。隨著電磁力與蝸輪圓周的夾角δ的增加前3個模態(tài)的靈敏度遞增，數(shù)值較大，且都為負(fù)值，蝸輪及蝸桿模態(tài)靈敏度始終等于零。其中，第一、第三模態(tài)的靈敏度較高，第二模態(tài)靈敏度較低。由靈敏度的定義可知，隨著電磁力與蝸輪圓周的夾角δ的增加，前三模態(tài)的固有頻率遞減，且第一、第三模態(tài)固有頻率遞減較快，第二模態(tài)固有頻率遞減較慢，蝸輪及蝸桿模態(tài)固有頻率不變。

2) 隨著比值a/r的增加前三模態(tài)的靈敏度遞減，數(shù)值很小，且都為負(fù)值，蝸輪及蝸桿模態(tài)靈敏度始終等于零。其中，第一、第三模態(tài)的靈敏度較高，第二模態(tài)靈敏度較低。由靈敏度的定義可知，隨著比值a/r的增加，前三模態(tài)的固有頻率遞減，且第一、第三模態(tài)固有頻率遞增較快，第二模態(tài)固有頻率遞增較慢，蝸輪及蝸桿模態(tài)固有頻率不變。

3) 隨著傳動比iwp的增加前三模態(tài)的靈敏度遞減，數(shù)值較小，且都為負(fù)值，蝸輪及蝸桿模態(tài)靈敏度始終等于零。其中，第一、第三模態(tài)的靈敏度較高，第二模態(tài)靈敏度較低。由靈敏度的定義可知，隨著傳動比iwp的增加，前三模態(tài)的固有頻率遞減，且第一、第三模態(tài)固有頻率遞增較快，第二模態(tài)固有頻率遞增較慢，蝸輪及蝸桿模態(tài)固有頻率不變。

4 結(jié)論

本文在前期研究基礎(chǔ)上，利用解析法研究機電集成電磁蝸桿傳動機械系統(tǒng)的動態(tài)特性，建立機械系統(tǒng)動力學(xué)模型，進(jìn)行了機械系統(tǒng)靈敏度分析，結(jié)果表明電磁蝸桿傳動機械系統(tǒng)自由振動的模態(tài)分蝸桿模態(tài)和蝸輪模態(tài)；機械系統(tǒng)的固有頻率較低；對于每個磁極都有3個不同的固有頻率相對應(yīng)。

通過靈敏度分析，可以解決運行過程中機械結(jié)構(gòu)振動的固有頻率對傳動隨機參數(shù)的響應(yīng)問題。在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計時，應(yīng)當(dāng)根據(jù)其運行工況確定外部激勵源的頻率，選擇適當(dāng)?shù)姆绞礁淖兿到y(tǒng)設(shè)計參數(shù)從而改變系統(tǒng)固有頻率避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，進(jìn)而設(shè)計出合理的蝸輪蝸桿傳動系統(tǒng)，為機電集成電磁蝸桿傳動系統(tǒng)的動力學(xué)設(shè)計和加工制造提供依據(jù)。