趙世坡，王海寶，趙世超，張 婧，李波濤，崔朋玉，孫孝峰,*

(1.國網(wǎng)冀北電力有限公司張家口供電公司，河北 張家口 075000；2.北京智芯微電子科技有限公司，北京 100192；3.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

隨著新能源發(fā)電技術(shù)的迅速發(fā)展，電力電子變流器在基于可再生能源的分布式發(fā)電中發(fā)揮了重要作用[1]。一般而言，電流控制方式的逆變器可以通過大型風(fēng)電場或光伏形式的長傳輸電纜與電網(wǎng)連接。以現(xiàn)代風(fēng)力發(fā)電機(jī)組為例，它通常采用背靠背逆變器通過高壓交流或高壓直流傳輸電纜進(jìn)行并網(wǎng)連接[2]。在實(shí)踐中，一組風(fēng)力發(fā)電機(jī)通過電壓源型逆變器、升壓變壓器和高壓交流海底電纜連接到陸上公共連接點(diǎn)。典型并網(wǎng)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的等效電路如圖1所示[3]。

圖1 風(fēng)力發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)
Fig.1 Wind power grid-connected system

新能源并網(wǎng)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)通常涉及輸電線路的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[4]提出了諧波不穩(wěn)定現(xiàn)象，并提出了抑制LCL濾波器諧振的解決方案。文獻(xiàn)[5]分析了諧波對電力電纜損耗的影響。在一個(gè)光伏電站中，分析了帶LCL濾波器的n臺逆變器并聯(lián)并網(wǎng)逆變器的建模以及傳輸線等效阻抗的耦合效應(yīng)[6]。在這些研究中，并網(wǎng)系統(tǒng)中的短傳輸線通過忽略寄生電容的影響而相當(dāng)于純電感。

然而，較長的傳輸線由于分布電容較大，電壓、電流的諧振現(xiàn)象可能發(fā)生在長傳輸線上。此時(shí)，在傳輸線末端安裝的阻性有源濾波器可實(shí)現(xiàn)諧波抑制?？紤]到寄生電容，采用長傳輸線的分布式集總參數(shù)模型來研究諧波傳播問題。文獻(xiàn)[7]針對背景諧波抑制問題，詳細(xì)研究了等效阻抗的推導(dǎo)并提出背景諧波放大現(xiàn)象的解決方案。文獻(xiàn)[8-9]通過在傳輸線末端設(shè)置特征阻抗，基于諧波傳播原理提出了實(shí)際傳輸線的等效阻抗模型，并分析了通過長距離傳輸線連接到電網(wǎng)的海上風(fēng)電場系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

但由于長距離傳輸電纜的實(shí)際阻抗模型是一個(gè)超越函數(shù)，在分析含有傳輸線系統(tǒng)時(shí)的特征方程就會含有超越項(xiàng)，想要直接求解方程從而得到系統(tǒng)的特征值就變得很復(fù)雜。本文提出了一種適用于并網(wǎng)系統(tǒng)分析的長輸電線路線性模型。基于分布參數(shù)模型，采用Taylor線性化擬合對長傳輸線路等效阻抗模型進(jìn)行線性化，并對擬合階數(shù)進(jìn)行分析，對傳輸線阻抗模型以及擬合的本質(zhì)進(jìn)行了討論。提供了完整的長距離傳輸電纜最優(yōu)擬合階數(shù)選擇方法。

1 線性化方法

1.1 系統(tǒng)模型

圖2是單相高壓交流電纜原理圖。假設(shè)配電線路上的電阻、電感和電容均勻分布，線路空載、無支路，且其中Vin和Vg分別表示微電網(wǎng)和電網(wǎng)的等效電壓源。線路參數(shù)如表1所示，該參數(shù)基于日本一個(gè)6.6 kV、3 MVA的實(shí)際傳輸線[10]。

圖2 傳輸電纜原理圖
Fig.2 Schematic diagram of transmission cable

表1 線路參數(shù)
Tab.1 Circuit parameters

系統(tǒng)參數(shù)取值基波頻率50 Hz線路電感L1.98 mH/km線路電容C25 μF/km線路電阻R0.5 Ω/km

如表1中的L、C、R為傳輸線的原參數(shù)，而特征阻抗Z0和傳播常數(shù)γ為傳輸線的復(fù)參數(shù)[11]。復(fù)參數(shù)會隨著傳輸線即原參數(shù)的確定而確定，而復(fù)參數(shù)是研究傳輸線問題的基本參數(shù)。

特征阻抗為

(1)

傳播常數(shù)為

(2)

圖3為從逆變器側(cè)看向電網(wǎng)而建立的等效傳輸電纜的集總參數(shù)和分布參數(shù)模型。根據(jù)疊加定理，電網(wǎng)等效為理想電壓源，在諧波頻率下表現(xiàn)為短路特性。l為傳輸電纜的長度，R、L、C為表1所示的線路參數(shù)，根據(jù)傳輸線理論[12]，得到等效阻抗Zcable表達(dá)式為

Zcable=Z0tanh(γl),

(3)

Z0為傳輸電纜的特征阻抗，l表示傳輸電纜長度，Zcable為逆變器側(cè)向電網(wǎng)側(cè)看的傳輸線等效阻抗即電網(wǎng)等效阻抗。

圖3 傳輸電纜參數(shù)模型
Fig.3 Parameter model of the transmission cable

1.2 Taylor近似

由式(3)可以看出末端短路的傳輸電纜等效阻抗是一個(gè)雙曲函數(shù)。分析含有長傳輸電纜模型的系統(tǒng)時(shí)，會使該系統(tǒng)的特征方程含有超越項(xiàng)，導(dǎo)致求取系統(tǒng)的特征值變得很困難。所以需要對傳輸電纜模型進(jìn)行線性化。對式(3)進(jìn)行進(jìn)一步整理得

(4)

式中僅含有指數(shù)項(xiàng)e-2γl，則對傳輸電纜模型的線性化問題轉(zhuǎn)化為對指數(shù)項(xiàng)e-2γl的線性化問題。

本文通過Taylor級數(shù)展開的方法對指數(shù)項(xiàng)進(jìn)行線性化。

Taylor級數(shù)展開根據(jù)n階有理多項(xiàng)式逼近ex：

(5)

式中，n的階數(shù)越大，Rd(x)越接近ex。用Taylor級數(shù)展開對ex進(jìn)行階數(shù)為一和二的線性化擬合后帶入式(4)中，結(jié)果為

(6)

(7)

Zint1(x)的截?cái)嗾`差是O(h2)，是一階精度；Zint2(x)的截?cái)嗾`差是O(h3)，是二階精度，h為仿真步長。

在階數(shù)不同時(shí)，經(jīng)過計(jì)算可知當(dāng)擬合階數(shù)為n(n≥1)時(shí)，得到的線性化模型精度同樣為n階。

2 傳輸電纜線性化模型

在分析傳輸電纜長度與擬合階數(shù)之間的聯(lián)系之前，首先要明確研究的頻率范圍。傳輸電纜的諧波源主要是上級電網(wǎng)滲透的背景諧波，同時(shí)用戶側(cè)或分布式發(fā)電單元在高頻段的諧波含量很小，所以本文以50～1 000 Hz為例進(jìn)行擬合階數(shù)的分析。如果研究的頻率范圍與1 000 Hz不同，可以利用本文方法重新進(jìn)行階數(shù)選擇。

2.1 實(shí)際阻抗模型

為了分析不同擬合階數(shù)下Taylor級數(shù)模型與實(shí)際模型的吻合度。該文使用MATLAB對頻率進(jìn)行逐個(gè)描點(diǎn)繪制得出了傳輸電纜阻抗的實(shí)際模型，并且對傳輸電纜實(shí)際模型的等效阻抗伯德圖的特征進(jìn)行分析。

圖4是依據(jù)式(3)繪制的線性化前的傳輸線實(shí)際阻抗模型。圖中傳輸電纜等效阻抗伯德圖每隔一段頻率會出現(xiàn)一個(gè)諧振尖峰。通過相頻特性看出傳輸電纜等效阻抗隨著頻率的增加呈阻感性和阻容性周期性變化。諧振峰有無窮多個(gè)且增益不會衰減。由于系統(tǒng)中高頻的諧波源含量很低，所以真實(shí)模型中出現(xiàn)在高頻段的諧振峰不僅沒有意義,還會增加分析系統(tǒng)的難度。對實(shí)際模型選取適當(dāng)?shù)臄M合階數(shù)可以在去除高頻段諧振峰的同時(shí)保證研究頻段內(nèi)傳輸電纜阻抗模型的特征不變。

圖4 傳輸電纜實(shí)際等效阻抗伯德圖
Fig.4 Actual equivalent impedance Bode diagram of the transmission cable

2.2 傳輸電纜長度與擬合階數(shù)

由式(3)可知，隨著傳輸電纜參數(shù)γ和Z0的確定，和輸出阻抗直接相關(guān)的只有傳輸電纜的長度l。本節(jié)分析傳輸電纜長度和Taylor近似階數(shù)之間的關(guān)系。

1) 傳輸電纜長度l=0.1 km

由圖5可以看出當(dāng)傳輸電纜長度為0.1 km時(shí)，Taylor一階擬合模型與實(shí)際模型在50～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)重合。所以在此長度下，實(shí)際模型可以有理近似為一階模型，即

(8)

圖5 0.1 km傳輸電纜模型
Fig.5 0.1 km transmission cable model

2) 傳輸電纜長度l=1 km

由圖6看出當(dāng)傳輸電纜為1 km時(shí)，一階擬合模型在300 Hz左右就和實(shí)際模型的重合度變差，不滿足研究范圍內(nèi)的精度要求。因此為了提高精度，當(dāng)擬合階數(shù)增加到五階時(shí)，擬合模型和實(shí)際模型僅能在800 Hz范圍內(nèi)重合。當(dāng)階數(shù)增加到7階，擬合模型和實(shí)際模型可以在1 000 Hz范圍內(nèi)完全重合。所以，當(dāng)傳輸電纜長度為1 km時(shí)，實(shí)際模型可以有理近似為7階模型。

圖6 1 km傳輸電纜模型
Fig.6 1 km transmission cable model

3) 傳輸電纜長度l=3 km

從圖7看出，當(dāng)傳輸電纜增長為3 km時(shí)，5階擬合和7階擬合模型在50～1 000 Hz頻段內(nèi)和實(shí)際模型的誤差越來越大。所以相對于0.1 km和1 km傳輸電纜，長距離傳輸電纜需要高階擬合模型。

圖7 3 km傳輸電纜模型
Fig.7 3 km transmission cable model

3 長距離傳輸電纜擬合階數(shù)

由2.2節(jié)可知短距離傳輸線選擇低階擬合模型即可，長距離傳輸電纜則要選擇精度更高的高階擬合。所以擬合階數(shù)的選取成為傳輸線線性化的主要問題。

3.1 選擇依據(jù)

本節(jié)給出選擇階數(shù)時(shí)依據(jù)的原則以及遵循的思路：1)低階原則，選擇階次要盡可能低，以利于簡化系統(tǒng)分析從而減少工作量；2)特征匹配，確定合適的傳遞函數(shù)的阻抗是否匹配，需要對不同階數(shù)下伯德圖進(jìn)行比較，總結(jié)變化規(guī)律。這需要在確定傳輸電纜長度的前提下，可以得到確定的傳輸電纜傳遞函數(shù)，把傳輸電纜長度看成固定量，階數(shù)看成自變量，研究不同階數(shù)下的傳遞函數(shù)Bode圖，與實(shí)際模型進(jìn)行比較，從而確定最優(yōu)擬合。下面對3 km傳輸電纜擬合階數(shù)的選擇過程做詳細(xì)的介紹。

使用Taylor級數(shù)展開，觀察不同擬合階數(shù)d下，傳輸電纜等效阻抗的Bode圖，取l=3 km，如圖8所示。

圖8(a)為1、3、7階擬合模型，1階模型并沒有諧振峰，3階和7階模型開始出現(xiàn)諧振峰，且結(jié)合圖8(b)中的9、13、14階模型可以看出隨著擬合階數(shù)的增加，諧振峰個(gè)數(shù)在逐漸增加。且從13階以及14階模型看出，諧振峰的峰值也逐漸升高。再結(jié)合圖8(b)、(c)可以看出高階擬合模型在低頻段的等效阻抗模型特征不會發(fā)生改變。高階模型之間低頻段Bode圖重合的頻段越來越寬。

圖8 不同擬合階數(shù)下傳輸電纜等效阻抗Bode圖
Fig.8 The equivalent impedance Bode diagram of transmission cable derived with different orders

所以，Taylor擬合模型規(guī)律如下：1)傳輸電纜擬合階數(shù)變大時(shí)，對應(yīng)的低頻段Bode圖并沒有發(fā)生較大變化，且隨著擬合階數(shù)的增高，低頻段重合的增益頻段變寬。2)隨著擬合階數(shù)增加，階數(shù)越高諧振峰的峰值或者個(gè)數(shù)或逐漸升高或增加，越接近實(shí)際模型的等效阻抗Bode圖。

在圖9中，隨著擬合階數(shù)的增加，在50～1 000 Hz頻率范圍內(nèi)，經(jīng)Taylor擬合得到的線性化模型和實(shí)際模型匹配程度越來越高。在圖9(a)，14、17階擬合模型都不能在研究頻率范圍內(nèi)和實(shí)際模型完全匹配。根據(jù)特征匹配原則需要進(jìn)一步提高擬合階數(shù)來提高匹配度。圖9(b)中19階和23階擬合模型都可以在研究頻率范圍和實(shí)際模型完全匹配?？紤]低階原則，最終得出結(jié)論，當(dāng)傳輸電纜為3 km時(shí)，19階擬合為最優(yōu)擬合。

圖9 高階Pade擬合與傳輸電纜實(shí)際模型
Fig.9 The high order Pade fitting model and the actual module of transmission cable

3.2 仿真驗(yàn)證

3.2.1實(shí)際模型仿真驗(yàn)證

在2.1節(jié)中對傳輸線實(shí)際模型的特征進(jìn)行了分析。為了驗(yàn)證建立模型的真實(shí)性，本節(jié)通過MATLAB/simulink軟件中的分布參數(shù)模塊與傳輸線的實(shí)際模型進(jìn)行了比較，其中分布參數(shù)模塊參數(shù)設(shè)置如表2所示。圖10可以看出，分布參數(shù)仿真模塊和實(shí)際模型的等效阻抗完全重合，驗(yàn)證了傳輸線實(shí)際阻抗模型的可靠性。

表2 分布參數(shù)模塊
Tab.2 Distributed parameter module

參數(shù)取值段數(shù)3每段傳輸線長度/km1線路電感L/mH1.98線路電容C/μF25線路電阻R/Ω0.5

圖10 傳輸線實(shí)際模型和分布參數(shù)仿真模型
Fig.10 The actual module of transmission cable and distributed parameter simulation module

3.2.2Taylor擬合模型仿真驗(yàn)證

在仿真或者實(shí)驗(yàn)中通常使用π型電路級聯(lián)的模型來等效長距離傳輸電纜。如同Taylor擬合模型與實(shí)際模型之間的關(guān)系，仿真模塊中π型電路模型是分布參數(shù)模型的線性化模型。以1段π形電路代表1 km長度、3 km的傳輸電纜可等效為3段π形電路級聯(lián)模型。

圖11 Taylor擬合模型和仿真模型
Fig.11 Taylor linearized model and simulation model

從圖11中可以看出Taylor擬合模型和π型電路仿真模型在1 000 Hz的頻率范圍內(nèi)的阻抗是重合的，驗(yàn)證了Tylor擬合模型的正確性。

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證擬合階數(shù)的正確性，本文使用FRA5097頻譜特性分析儀對當(dāng)長度為3 km的傳輸電纜模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。所得到的傳輸電纜等效阻抗幅值特性如圖12所示。

圖12 傳輸電纜等效阻抗頻率響應(yīng)
Fig.12 Frequency response of the equivalent impedance of transmission cable

圖12中可以明顯看出在低頻段，傳輸電纜等效阻抗在350 Hz、700 Hz、1 000 Hz出現(xiàn)3個(gè)諧振峰。圖12和圖9中經(jīng)Taylor擬合的等效阻抗走勢一致，證明傳輸電纜等效阻抗所擬合的19階模型在50～1 000 Hz頻段的正確性。

4 結(jié)論

長傳輸線的分布電容參數(shù)較大，易與線路分布電感引起諧振，因此在進(jìn)行傳輸線模型特性研究時(shí)分布電容不可忽略。本文通過考慮傳輸電纜的分布電容、分布電阻，給出了長傳輸電纜的實(shí)際阻抗模型并對其進(jìn)行線性化，介紹了Taylor擬合線性化方法的精度，并給出了Taylor擬合階數(shù)選擇的依據(jù)。以3 km傳輸線為例，建立了19階Taylor線性化模型，保證了該模型在50～1 000 Hz范圍內(nèi)的精確性。最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了線性化方法的可行性和準(zhǔn)確性。