☉江蘇省張家港市梁豐初級(jí)中學(xué) 邵美琴

記得童話《小王子》中最為經(jīng)典的對(duì)話之一就是小王子和狐貍的對(duì)話.狐貍說：“馴服的意思就是建立聯(lián)系.”“只有被馴服了的事物，才會(huì)被了解.”“實(shí)質(zhì)性的東西，用眼睛是看不見的.”“現(xiàn)在要對(duì)你馴服過的一切負(fù)責(zé)到底.你要對(duì)你的玫瑰負(fù)責(zé)……”“儀式，它就是使某一天與其他日子不同，使某一時(shí)刻與其他時(shí)刻不同.”試想，如果我們的初中數(shù)學(xué)課堂也在學(xué)生、教師、數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想方法之間建立聯(lián)系、互相“馴服”，課堂上充滿儀式感，師生都有責(zé)任感，教與學(xué)中的知識(shí)、思想、方法，都能用心去把握，那是不是一幅充滿溫潤(rùn)感的美好畫面？這就需要教師做到三個(gè)懂得：懂得放手、懂得容錯(cuò)、懂得共情.只有這樣，才能讓學(xué)生在愉悅、溫馨的數(shù)學(xué)課堂中感悟知識(shí)、接受知識(shí)；才能實(shí)現(xiàn)真正意義上的師生都能用心去思考，用愛去感受，用情去包容.讓初中數(shù)學(xué)課堂真正從有效走向高效.

一、懂得放手，方有思辨

在初三復(fù)習(xí)備考時(shí)，學(xué)生經(jīng)過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)有了一定的知識(shí)積累，分析問題、解決問題的能力也有了相應(yīng)的提高.教師在注重例題的分析、講解的同時(shí)，在課堂上給學(xué)生留下獨(dú)立思考的時(shí)間是必需的，而思考之后的交流是必要的，這是促進(jìn)學(xué)生深層次思維、提升解題能力的保障，也是提高復(fù)習(xí)課效益的重要途徑.古希臘著名的哲學(xué)家蘇格拉底說過：“答案本來就在學(xué)生的頭腦之中，教師的作用無非是啟發(fā)誘導(dǎo)，使學(xué)生最終憑借自己的頭腦完成對(duì)某一個(gè)問題的解決.”在下面的教學(xué)案例中，我們可以看到：教師舍得在課堂上留出時(shí)間讓學(xué)生充分思考和交流，并適時(shí)啟發(fā)誘導(dǎo)、提供幫助，把全部（或一部分）本來就在學(xué)生頭腦之中的答案，由學(xué)生最終憑借自己的頭腦完成對(duì)問題的解決，其中充滿了思辨的價(jià)值、方法的歸納、學(xué)習(xí)的感悟.

教學(xué)案例1：“四邊形”復(fù)習(xí)課教學(xué)片段.

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC.若AC=6，求四邊形ABCD的面積.

師：請(qǐng)大家先獨(dú)立思考，然后全班交流.

（學(xué)生讀題、思考，教師巡視）

生1：由于題中線段長(zhǎng)度只有AC=6是已知的，所以可以考慮轉(zhuǎn)化的策略，把四邊形ABCD分割為兩個(gè)小三角形來解決求面積的問題.考慮把AC作為兩個(gè)三角形的底邊，目標(biāo)就再次轉(zhuǎn)化為求AC上的兩條高，再結(jié)合題中其他條件探究得三角形全等，尋求突破.

圖1

圖2

生1：如圖2，分別過點(diǎn)B、D作AC的垂線，垂足分別為E、F，連接BD.

因?yàn)锽E⊥AC，DF⊥AC，所以∠AEB=∠DFA=90°，從而∠ABE+∠EAB=90°.

因?yàn)椤螧AD=90°，所以∠EAB+∠DAF=90°，所以∠ABE=∠DAF.

又因?yàn)锳B=AD，所以△ABE △DAF，從而BE=AF.

因?yàn)椤螧AD=∠BCD=90°，所以∠BAD+∠BCD=180°，故四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，所以∠ACD=∠ABD.

因?yàn)锳B=AD，∠BAD=90°，所以∠ACD=∠ABD=45°，所以△CFD是等腰直角三角形，從而DF=CF.

評(píng)注：此解法巧妙構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將分割后的兩個(gè)三角形的高之和 “BE+DF”轉(zhuǎn)化為已知條件“AC=6”，問題輕松得解.在解答過程中，我們還證得了“四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形”這一結(jié)論，并利用圓的相關(guān)性質(zhì)，得到了“△CFD是等腰直角三角形，即DF=CF”這一結(jié)論，從而使得上述轉(zhuǎn)化自然、順暢，這樣的論證過程，對(duì)學(xué)生幾何推理能力的培養(yǎng)是十分有益的.

生2：我的方法是利用割補(bǔ)法及全等的知識(shí)，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為特殊的規(guī)則圖形，利用公式求得相應(yīng)的面積.

生2：如圖3，過點(diǎn)A分別作線段BC、線段CD延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為G、H.

因?yàn)锳G⊥BC，AH⊥CD，所以∠AGB=∠DHA=90°.

又因?yàn)椤螧CD=90°，所以∠GAH=90°.從而四邊形AGCH是矩形.

因?yàn)椤螧AD=90°，∠GAH=90°，所以∠BAG=∠DAH.

因?yàn)锳B=AD，所以Rt△ABG Rt△DAH，所以AG=AH，從而四邊形AGCH是正方形.

所以S四邊形ABCD=S正方形AGCH=18.

評(píng)注：利用“分割”和“補(bǔ)形”是求解圖形面積最常用的方法之一，“補(bǔ)形”相對(duì)而言更難一些，需要學(xué)生有較好的想象能力.在對(duì)解題方法歸納小結(jié)時(shí)，我們可以告訴學(xué)生：Rt△DAH也可以看作Rt△ABG按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，這樣的“補(bǔ)形”是自然的、直觀的、有依據(jù)的.當(dāng)然，利用旋轉(zhuǎn)來求四邊形ABCD的面積，學(xué)生是能想得到的，請(qǐng)看以下學(xué)生提供的解法.

生3：由于AB=AD，因此，我們可以考慮利用圖形的旋轉(zhuǎn)，將“求四邊形ABCD的面積”轉(zhuǎn)化為“求某個(gè)三角形的面積.”

師：這樣的轉(zhuǎn)化必須滿足如下條件：（1）將四邊形的一部分旋轉(zhuǎn)一定角度后，與余下的部分能拼接成某個(gè)三角形；（2）拼接成的某個(gè)三角形面積能求解.

圖3

圖4

生3：如圖4，因?yàn)锳B=AD，∠BAD=90°，將△ACD繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AC1B.

因?yàn)椤螧CD=90°，∠BAD=90°，所以∠BAD+∠BCD=180°，從而∠ABC+∠ADC=180°，于是∠ABC+∠ABC1=180°.

所以C1、B、C三點(diǎn)在同一直線上，故

評(píng)注：旋轉(zhuǎn)是圖形變換的重要手段之一，在作旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先，要把握旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度這兩個(gè)元素，其次，要抓住相等的邊，使得圖形旋轉(zhuǎn)后能“無縫對(duì)接”.在本例中，我們也可以將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC2（如圖5），求解過程類似解法3，這里不再贅述.

周國(guó)平先生在《教育的七條箴言》中提到：“最重要的教育原則是不要愛惜時(shí)間，要浪費(fèi)時(shí)間.”這一原則最初是由法國(guó)偉大的教育家盧梭提出的.教育即生長(zhǎng)，學(xué)生必須有充裕的時(shí)間去體驗(yàn)和沉思，才能自由地發(fā)展其心智能力.教師要有放手的底氣支撐，用心去喚醒學(xué)生參與課堂，這樣，我們的課堂才有思辨，一定會(huì)精彩紛呈.

圖5

二、懂得容錯(cuò)，方有回歸

數(shù)學(xué)課堂，是迸發(fā)智慧，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的最好領(lǐng)地.因此，課堂中教師的大度和寬容就顯得尤為重要，教師要俯下身子，通過耐心傾聽而獲取各種信息.葉瀾教授說：“要學(xué)會(huì)傾聽孩子們的每一個(gè)問題，每一句話語，善于捕捉每一個(gè)孩子身上的思維火花.”只有善于傾聽，才能在學(xué)生回答正確時(shí)，予以肯定、表?yè)P(yáng)，在學(xué)生回答不完整、語言表達(dá)不清楚的地方及時(shí)指出、正確分析.更為重要的是，在學(xué)生回答出現(xiàn)偏差，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不要急于否定，有時(shí)候，一個(gè)看似浪費(fèi)時(shí)間的等待，往往會(huì)贏得學(xué)生成長(zhǎng)的時(shí)間和空間，使他們學(xué)會(huì)思索、受到啟迪、慢慢成長(zhǎng).在七年級(jí)“一元一次不等式的應(yīng)用”新課教學(xué)中，一道例題教學(xué)的展示過程，讓我難以忘懷、受益匪淺.

教學(xué)案例2：“一元一次不等式的應(yīng)用”教學(xué)片段.

例2把一堆蘋果分給幾個(gè)孩子，如果每人分3個(gè)，那么多8個(gè)；如果每人分5個(gè)，那么最后一人得到的蘋果少于3個(gè)，問：有幾個(gè)孩子？有多少個(gè)蘋果？

生1：設(shè)有x個(gè)孩子，根據(jù)題意：3x+8-5（x-1）＜3，解得x＞5.所以x的值應(yīng)當(dāng)取大于5的最小正整數(shù)6.即有6個(gè)小孩，26個(gè)蘋果.

生2：大于5的整數(shù)有很多，為什么只取6呢？

師：這個(gè)問題問得好，請(qǐng)大家議一議.

（學(xué)生七嘴八舌討論開了，教師巡視）

生3：有一句關(guān)鍵話：“得到的蘋果少于3個(gè)”，說明最后一個(gè)小孩肯定分到了蘋果，因此上述不等式還要加上大于0，即0＜3x+8-5（x-1）＜3，這個(gè)不等式組的解集是5＜x＜6.5，此時(shí)x的整數(shù)解是6.所以有6個(gè)小孩，26個(gè)蘋果.

（對(duì)于這樣的解法，學(xué)生都覺得很滿意）

師：還有沒有其他想法？

生4：我沒有用不等式求解，而是用方程組解決的，結(jié)果也是有6個(gè)小孩，26個(gè)蘋果.

（其他學(xué)生都覺得不可思議，竊竊私語起來）

師：請(qǐng)同學(xué)們安靜，生4站起來說說你是怎么想的.

生4：最后一人分得的蘋果少于3個(gè)，那么只有兩種可能，要么拿到1個(gè)，要么拿到2個(gè).設(shè)有x個(gè)孩子，y個(gè)蘋果，可以列出這樣兩個(gè)方程組：或者第一個(gè)方程組的解為第二個(gè)方程組的解為不符合題意，舍去）.

（聽了生4的回答，全班學(xué)生都情不自禁給他鼓起掌來）

……

評(píng)注：看似一元一次不等式應(yīng)用的問題，用方程組求得了正確的結(jié)果，似乎有點(diǎn)兒不可思議.試想，如果教師不蹲下身來組織學(xué)生一起傾聽，豈不錯(cuò)過了如此精彩又有創(chuàng)意的想法？生2“大于5的整數(shù)有很多，為什么只取6呢”的巧妙追問，完善了問題的解答過程；教師一句“還有沒有其他想法”引出了生4不同尋常的解題思路.事實(shí)上，有些原本以為錯(cuò)誤的觀點(diǎn)、方法，往往蘊(yùn)含著學(xué)生獨(dú)特的創(chuàng)新思維，教師不能以自己的經(jīng)驗(yàn)和思維方式來壟斷孩子們天真的、充滿智慧的思考方式.

實(shí)踐表明：不管課堂上出現(xiàn)生成與預(yù)設(shè)的沖突，還是解題思路出現(xiàn)方向性不同，教師都要表現(xiàn)出應(yīng)有的寬容，及時(shí)拋開預(yù)設(shè)，懂得“容錯(cuò)”，認(rèn)真傾聽，起到表率的作用，這樣才能營(yíng)造出良好的、濃郁的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)生在潛移默化中學(xué)會(huì)傾聽、用心傾聽、樂于傾聽、善于傾聽，促進(jìn)生生之間、師生之間的交流與溝通，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神，深入挖掘教學(xué)資源，促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的理解與掌握，真正回歸以生為本的理念.

三、懂得共情，方有長(zhǎng)遠(yuǎn)

我們知道，隨著課改的不斷深入，廣大教師的教學(xué)能力有了很大的提高，教學(xué)藝術(shù)也在不斷完善，同時(shí)，學(xué)生的“品課”水平也有了大幅度的提高.這就要求教師在設(shè)置教學(xué)內(nèi)容、安排教學(xué)流程、設(shè)計(jì)師生活動(dòng)時(shí)，悉心研究、精心謀劃、科學(xué)配置，力求獨(dú)具匠心.在我看來，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)可以適當(dāng)增加一些人物故事、詩(shī)詞歌賦、名人名言、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、其他學(xué)科知識(shí)等內(nèi)容，讓教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程、數(shù)學(xué)探究、師生活動(dòng)更加豐富多彩；讓我們的數(shù)學(xué)課堂更有故事感、娛樂感、儀式感和意義感；讓我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，更輕松、愉悅，有幸福感.下面是我開設(shè)的一節(jié)大市級(jí)公開課的教學(xué)設(shè)計(jì)及部分教學(xué)片段，與大家共享.

教學(xué)案例3：“解一元一次不等式（1）”教學(xué)設(shè)計(jì)及部分教學(xué)片段.

1.情景導(dǎo)入，激發(fā)興趣（課前出示一首小詩(shī)）

五月，春去夏來，讓我們?cè)诎察o中，不慌不忙地變好和成長(zhǎng)，直至，盼得流年歲月長(zhǎng)，守得云開見天晴，只要你相信，詩(shī)和遠(yuǎn)方依舊是生活的光.

師：下面請(qǐng)大家欣賞兩首詩(shī)，第一首請(qǐng)語文課代表朗讀一下：黃河走東溟，白日落西海.逝川與流光，飄忽不相待.（李白——《古風(fēng)》）

師：第二首請(qǐng)大家齊聲朗讀一下：白日依山盡，黃河入海流.欲窮千里目，更上一層樓.（王之渙——《登鸛雀樓》）

師：它們有什么共同點(diǎn)嗎？

生：都描寫了黃河與白日.

師：是呀，古人在創(chuàng)作的時(shí)候，常常采用“引用、化用”的方式來達(dá)到創(chuàng)新的目的，同時(shí)能引起讀者的共鳴.正所謂“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同.”

（學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同）

師：事實(shí)上，學(xué)科間解決問題的策略是相通的，語文上古詩(shī)詞的借用與數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化、類比有異曲同工之妙用.在接下來的學(xué)習(xí)探索中，我們會(huì)有所領(lǐng)會(huì).

評(píng)注：這樣一個(gè)對(duì)生活充滿熱情和探究的老師，這樣一種詩(shī)情畫意的開頭彌散于整節(jié)課的開頭，溫暖而親切，養(yǎng)心又怡人，強(qiáng)烈的畫面感浸潤(rùn)了一種無聲的愛的教育.

2.類比聯(lián)想，自主生成

問題1：你還記得一元一次方程的定義嗎？

問題2：今天我們將要學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)：一元一次不等式，你能給它下個(gè)定義嗎？

問題3：類比方程學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，你們猜想一下，一元一次不等式會(huì)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？

評(píng)注：“問題串”的設(shè)計(jì)從學(xué)生最熟悉的一元一次方程入手，類比得到一元一次不等式的定義，學(xué)生感到親切、自然，概念的學(xué)習(xí)水到渠成.借鑒方程學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想不等式將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）解一元一次不等式；（2）用一元一次不等式解決實(shí)際問題.給學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)一種期待、信心.所以說一個(gè)好的鋪墊會(huì)給你意想不到的收獲，一切是那么的順理成章.

3.交流感悟，促進(jìn)生長(zhǎng)

問題4：請(qǐng)你回憶解方程3x+70=100的步驟及原理，并想一想：如何解不等式3x+70＞100？需要那些步驟？每個(gè)步驟的原理是什么.

問題5：（1）解不等式14-2x≥6，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

（2）變式：解不等式14-2x≥6x.

（3）練習(xí)：解下列不等式：

評(píng)注：?jiǎn)栴}4的設(shè)置是為了讓學(xué)生類比一元一次方程的解法，逐步認(rèn)識(shí)、掌握一元一次不等式的解法，提升學(xué)生的遷移能力.問題5的設(shè)置是為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉解一元一次不等式的基本步驟及注意點(diǎn).在練習(xí)求解后，教師可適度追問：（1）和（3）與（2）有何不同？ 對(duì)于（1）和（3），你還有其他解法嗎？學(xué)生立即會(huì)想到可以與解方程一樣先去分母，轉(zhuǎn)化為（2）的形式求解，再次體會(huì)借鑒的力量，呈現(xiàn)解法的多樣性.

4.深入探究，豐富內(nèi)涵

問題6：解不等式10（x+4）+x≤90，并寫出它的非負(fù)整數(shù)解.

問題7：若不等式3x-2＞a+2x的解集是x＞1，求a的值.

變式1：若不等式ax+2≥a+2x的解集是x≤1，求a的取值范圍.

變式2：若不等式ax+1≥3a+2x的解集是x≤2，求a的值.

評(píng)注：?jiǎn)栴}6的設(shè)置看似難度加大了，但是對(duì)于學(xué)生鞏固已學(xué)知識(shí)、應(yīng)用已學(xué)知識(shí)是有益的.利用數(shù)軸尋找符合題意的非負(fù)整數(shù)解，讓學(xué)生體會(huì)前后知識(shí)的聯(lián)系，突出抽象與直觀的融合，數(shù)與形的巧妙結(jié)合.問題7的解決，讓學(xué)生充分認(rèn)清了不等式的解集與相應(yīng)方程的解的關(guān)系，通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了不等式的性質(zhì)在解一元一次不等式時(shí)的重要性，豐富了表達(dá)式知識(shí)的內(nèi)涵，使得這節(jié)課的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)達(dá)到了高潮，充滿了思辨.

5.歸納小結(jié)，教學(xué)相長(zhǎng)

問題8：請(qǐng)你談一談本節(jié)課的收獲與感想.

生1：今天學(xué)習(xí)了不等式的概念、利用不等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的不等式，認(rèn)識(shí)了不等式的整數(shù)解、解集的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

生2：今天學(xué)習(xí)不等式的流程是“定義—解法—簡(jiǎn)單應(yīng)用”，為我們今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)提供了研究的途徑.

生3：今天使用到的數(shù)學(xué)思想方法：類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合，為我們今后解決其他數(shù)學(xué)問題提供了解題的策略.

師：今天這節(jié)課實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)遷移：（1）從生活向數(shù)學(xué)的遷移，（2）從方程向不等式的遷移.正是這層層遷移化解了教學(xué)的難點(diǎn)，落實(shí)了教學(xué)的重點(diǎn)，完成了教學(xué)的目標(biāo).

師：習(xí)近平在2018年博鰲論壇開幕演講中說：“他山之石，可以攻玉”“積土而為山，積水而為?！薄俺晒儆谟乱愣V行的人”.這三句話分別對(duì)應(yīng)著三種力量：“借鑒的力量”“累積的力量”“行動(dòng)的力量”，就是在勉勵(lì)大家要掌握方法、日積月累、勇敢前行！這就是儀式的威力！只有我們共同用情投入，才能共建美好的、溫情的數(shù)學(xué)課堂.

評(píng)注：學(xué)生簡(jiǎn)短的歸納小結(jié)，將知識(shí)、方法做了很好的梳理；教師的“兩個(gè)遷移”把過程、策略做了有效的提煉，特別是最后一段充滿力量的結(jié)束語，讓數(shù)學(xué)課堂突然變得有儀式感，有愛、有情、有溫暖，有詩(shī)意，有遠(yuǎn)方.

德國(guó)哲學(xué)家雅思貝爾斯說：“什么是教育？就是一顆樹搖動(dòng)另一棵樹，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂.”而靈魂的喚醒，需要放手的底氣、容錯(cuò)的情懷、建立儀式的意識(shí).讓我們不懈努力，謹(jǐn)懷深深的責(zé)任感，去營(yíng)造一個(gè)充滿生機(jī)感和幸福感的教育小世界，營(yíng)造一個(gè)個(gè)充滿靈性的，具有“馴服”溫潤(rùn)感的初中數(shù)學(xué)課堂，和諧、溫馨、有哲理、有創(chuàng)造.W