張 淼，于 瀾

(長春工程學院理學院，長春 130012)

靈敏度分析首先要面對的是無阻尼系統(tǒng)和阻尼系統(tǒng)的分類問題，其次要面對的是對稱和非對稱系統(tǒng)的分類問題，再者還要考慮單頻和重頻系統(tǒng)的分類問題。靈敏度分析算法研究的趨勢表明，目前較為活躍的幾種方法是：1)模態(tài)法[1-3]；2)代數(shù)法[4-5]；3)直接法[6-7]；4)迭代法[8-9]。前兩類方法為精確算法，后兩類方法多數(shù)為近似算法。對無阻尼問題，F(xiàn)ox和Kapoor[1]首先推導出了對稱無阻尼特征問題靈敏度的模態(tài)法表達式，Plaut和Huseyin[10]，Garg[11]，Rudisill[12]，Rudisill和Chu[13]研究了針對非對稱無阻尼系統(tǒng)的特征對導數(shù)的模態(tài)法，文獻[14-16]提出了幾種修正模態(tài)算法。Nelson[17]提出了有效計算特征向量導數(shù)的直接法，而張德文等[18]也提出了直接擾動技術(shù)等直接法，F(xiàn)riswell[19]擴展了Nelson的方法來計算特征解的二階及高階導數(shù)。1997年Lee和Jung[20-21]提出了一種針對對稱無阻尼系統(tǒng)的代數(shù)法，通過解一個具有對稱系數(shù)矩陣的代數(shù)方程組來計算特征解的導數(shù)，既可應(yīng)用于單特征系統(tǒng)，也可應(yīng)用于重特征系統(tǒng)。目前的研究顯示，靈敏度分析還要面臨一些新的復雜問題，例如，是否存在標號現(xiàn)象[22]，是否存在虧損問題[23]，是否存在特征向量的正交性退化[24-25]現(xiàn)象等等。

在靈敏度分析中，特征向量之間的正交化是振動系統(tǒng)的固有屬性，它是對振動方程及其衍生而來的方程進行解耦的基礎(chǔ)條件，沒有正交化作為方程解耦或矩陣對角化的基石，則規(guī)范化的意義不大。而當正交化屬性已經(jīng)存在的情況下，規(guī)范化則顯得更為靈活和具有個性，因為不同的需要而使用不同的規(guī)范化條件是目前各種靈敏度算法向前發(fā)展的動力之一。前文提到有關(guān)模態(tài)法的實頻率的二階靈敏度算法公式，使用的均是實模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的加權(quán)正交性作為基礎(chǔ)[2]，本文則采用了一種與之不同的正交規(guī)范化方法，從而提出了實現(xiàn)非對稱系統(tǒng)的靈敏度分析的新的模態(tài)法。數(shù)值算例說明了本文算法的精確性、簡潔性和實用性。

1 實模態(tài)參數(shù)

對N自由度的線性離散振動系統(tǒng)的運動方程為：

(1)

(K+λiM)φi=0。

(2)

實際上方程(2)是關(guān)于矩陣M和K的廣義特征矩陣方程，稱λi與φi(i=1，2，…，N)為實模態(tài)參數(shù)。

2 實模態(tài)參數(shù)的規(guī)范正交化

如果系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣M，C和K具有對稱性，稱為對稱系統(tǒng)，否則稱為非對稱系統(tǒng)。對方程式(2)來說，每階特征值λi都是唯一的，但每階特征值所對應(yīng)的特征向量φi卻有無窮多個，因此，規(guī)定廣義特征矩陣方程輸出的均是滿足下面條件

φiTφi=1(i=1，2，…，N)，

(3)

的特征向量，這樣就保證了特征向量的唯一性。

對對稱系統(tǒng)來說，可以證明不同實頻率所對應(yīng)的實模態(tài)是關(guān)于質(zhì)量和剛度陣加權(quán)正交的，即

因此，可以采取如下規(guī)范化方法：首先規(guī)范化每個振型，規(guī)范化后的振型向量在應(yīng)用中常稱為無阻尼正則固有振型。設(shè)每個正則化系數(shù)為ai，即

記aiφi=ui，則U=[u1，…，uN]為無阻尼正則固有振型矩陣，即有

UTMU=E，UTKU=diag(-λ1，…，-λN)。

(4)

但如果系統(tǒng)為非對稱系統(tǒng)，無法證明不同實頻率所對應(yīng)的實模態(tài)是關(guān)于質(zhì)量和剛度陣加權(quán)正交，則需引入新的向量來實現(xiàn)類似式(4)的規(guī)范正交化。先將方程(2)轉(zhuǎn)化為等價的一般特征問題

λiφi=-M-1Kφi。

令D=-M-1K，則上式寫成

λiφi=Dφi，

(5)

φi(下文中也稱為矩陣D的右特征向量)并不能對角化D，因為D一般為非對稱矩陣，因此需引入左特征向量。

定義1 對向量ψk∈RN，如果有

(6)

則稱ψk為矩陣D的左特征向量。

對式(6)右乘φi，對式(5)左乘ψkT，然后相減，顯然對于λk≠λi，有

(7)

將式(6)右乘φi，并由式(7)可知

上式說明，對不同的實頻率，矩陣D的左、右特征向量不僅滿足正交性，而且滿足關(guān)于D的加權(quán)正交性。

下面適當規(guī)范化這些左特征向量，調(diào)整ψk(k=1，2，…，N)的各維分量比例，使之滿足

(8)

記左、右特征向量矩陣分別為Ψ=[ψ1，…，ψN]和Φ=[φ1，…，φN]，那么左、右特征向量矩陣滿足規(guī)范正交條件為

(9)

(10)

注意此時式(10)中的φ1，…，φN仍為滿足式(3)的方程(2)的原始輸出模態(tài)，因為式(8)的規(guī)范化過程只調(diào)整了左特征向量，所以稱為單側(cè)規(guī)范化。

3 非對稱系統(tǒng)實頻率的一、二階靈敏度算法

3.1 實頻率的一階靈敏度算法

假設(shè)系統(tǒng)(1)可以被一系列m個設(shè)計參數(shù)g=(g1，g2，…，gm)T所描述，稱g為設(shè)計向量，則M，C和K都是關(guān)于g的函數(shù)。當系統(tǒng)發(fā)生變化時，設(shè)計向量g發(fā)生擾動，記為Δg=(Δg1，Δg2，…，Δgm)T，其中Δgj(j=1，…，m)是第j個設(shè)計參數(shù)的擾動量。在設(shè)計參數(shù)產(chǎn)生擾動時，系統(tǒng)的實模態(tài)參數(shù)也會隨之發(fā)生變化，這種變化用靈敏度來反映最為直觀。由于泰勒展開式的緣故，我們需要討論實頻率對設(shè)計參數(shù)的靈敏度及實模態(tài)對設(shè)計參數(shù)的靈敏度。

定義2 實模態(tài)向量φi關(guān)于第j個設(shè)計參數(shù)gj的一階靈敏度為

定義3 實頻率λi關(guān)于第j個設(shè)計參數(shù)gj的一階靈敏度為

對非對稱單頻系統(tǒng)來說，由于所有實頻率均不相同，因此它們所對應(yīng)的實模態(tài)向量φk(k=1，2，…，N)線性無關(guān)，可作為廣義特征空間的基底，也可作為N維向量空間的基底，因此N維向量φi，j(j=1，2，…，m)一定可在N維向量空間內(nèi)表示為基底的某一線性組合

(11)

D，jφi+Dφi，j=λi，jφi+λiφi，j，

那么

(D-λiE)φi，j=λi，jφi-D，jφi，

(12)

把式(11)代入式(12)，可得一階靈敏度系數(shù)的控制方程

(D-λiE)Φa(ij)=λi，jφi-D，jφi。

(13)

(14)

(15)

3.2 實模態(tài)的一階靈敏度算法

由于計算實頻率的二階靈敏度時需用到實模態(tài)的一階靈敏度，因此，先討論實模態(tài)的一階靈敏度算法。在一階靈敏度系數(shù)的控制方程組(14)中除了第i個方程外都可解得N-1個一階靈敏度系數(shù)為

即

(16)

將式(11)代入上式得

用矩陣的列分塊形式改寫上式得

即

把規(guī)范化條件φiTφi=1代入上式可得

即

(17)

這樣就得到了全部一階靈敏度系數(shù)。將式(16)和式(17)代入式(11)可得某個確定的實模態(tài)φi的一階靈敏度。

3.3 實頻率的二階靈敏度算法

由引言中指出求實頻率的靈敏度，往往都伴隨于求模態(tài)或狀態(tài)向量的靈敏度的過程中，為了求實頻率的二階靈敏度，我們展開求實模態(tài)的二階靈敏度的過程。

定義4 實模態(tài)向量φi關(guān)于先是第j個設(shè)計參數(shù)gj然后是第l個設(shè)計參數(shù)gl的二階靈敏度為

定義5 實頻率λi關(guān)于先是第j個設(shè)計參數(shù)gj然后是第l個設(shè)計參數(shù)gl的二階靈敏度為

對非對稱單頻系統(tǒng)來說，實頻率所對應(yīng)的實模態(tài)向量φk(k=1，…，N)雖然不能具有如式(4)般的正交規(guī)范化關(guān)系，但卻能保證無關(guān)性，可作為N維空間的基底，因此N維向量φi，jl(j，l=1，2，…，m)一定可在N維向量空間內(nèi)展開為基底的某一線性組合形式，即

(18)

(D-λiE)，jφi+(D-λiE)φi，j=0，

然后是對第l個設(shè)計參數(shù)gl求二階導數(shù)得(D-λiE)，jlφi+(D-λiE)，jφi，l+(D-λiE)，lφi，j+(D-λiE)φi，jl=0，

整理得

(D-λiE)φi，jl=(λiE-D)，jlφi+(λiE-D)，jφi，l+(λiE-D)，lφi，j。

將式(18)代入上式得二階靈敏度系數(shù)的控制方程

(D-λiE)Φa(ijl)=(λiE-D)，jlφi+(λiE-D)，jφi，l+(λiE-D)，lφi，j。

(19)

將式(19)左乘ΨT，并根據(jù)規(guī)范正交關(guān)系(9)和式(10)得二階靈敏度系數(shù)控制方程的解耦形式為

(20)

即

(21)

(22)

4 數(shù)值算例

設(shè)p∈R，某機翼振動模型的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣分別是

這是一個非對稱系統(tǒng)，本文取p作為設(shè)計參數(shù)，為了更好地展示算法的可行性，在求二階靈敏度時，仍視p為設(shè)計參數(shù)，那么設(shè)計參數(shù)向量為g=(p，p)T，設(shè)計參數(shù)擾動量為Δg=(Δp，Δp)T。

首先將p從0.25變化至1.05，利用式(5)每隔0.1作為節(jié)點采樣系統(tǒng)實頻率λ1和λ2的數(shù)據(jù)，并利用三次樣條插值繪制這些實頻率的擬合曲線圖，如圖1。

圖1 實頻率曲線圖

再計算在上述節(jié)點處的兩階實頻率的一階靈敏度值，同樣利用三次樣條插值繪制這些實頻率的一階靈敏度的擬合曲線圖，如圖2。其中在每個節(jié)點處有必要檢查非對稱性對實模態(tài)解耦性能的影響：

1)在每個節(jié)點處的系統(tǒng)的實模態(tài)均能滿足

φiTφi=1(i=1，2)。

2)在每個節(jié)點處的系統(tǒng)的實模態(tài)均不能滿足式(21)～(23)：

φiTφj=0(i≠j；i，j=1，2)；

(21)

(22)

(23)

圖2 實頻率的一階靈敏度曲線圖

顯然這些實模態(tài)本身并不具有良好的解耦性，這也是非對稱系統(tǒng)的特性。因此，按本文的算法，在計算各階靈敏度時，需引入左特征向量來實現(xiàn)解耦功能。

在圖1～2中，我們發(fā)現(xiàn)實頻率λ1，λ2的一階靈敏度曲線圖反映的是實頻率曲線的幾何性態(tài)。接著執(zhí)行算法流程中第(8)～(9)步，計算在上述節(jié)點處的兩階實頻率的二階靈敏度值，同樣利用三次樣條插值繪制這些實頻率的二階靈敏度的擬合曲線圖，如圖3所示。

圖3 實頻率的二階靈敏度曲線圖

由圖1～3可知，我們所繪制的這些擬合曲線圖給我們提供了有效的信息。首先由圖2可見節(jié)點處的實頻率的一階靈敏度能準確地反映實頻率曲線在節(jié)點處的單調(diào)性。其次由圖3可見節(jié)點處的實頻率的二階靈敏度能準確地反映了實頻率在節(jié)點處的一階靈敏度函數(shù)的單調(diào)性，同時反映了節(jié)點處的實頻率曲線的凹凸性。最重要的一點是它們說明了本文算法計算結(jié)果的良好精度和應(yīng)用性。

5 結(jié)語

在本文的研究中表明，無論是實頻率的一階還是二階靈敏度，均伴隨于與其相對應(yīng)的實模態(tài)的一階或二階靈敏度的求解過程中。在求解實模態(tài)的一階或二階靈敏度的全模態(tài)展開式中的一階或二階靈敏度系數(shù)時，由于它們的靈敏度系數(shù)控制方程的降秩現(xiàn)象，雖然絕大多數(shù)靈敏度系數(shù)是可求的，卻有一個靈敏度系數(shù)不能由靈敏度系數(shù)控制方程求得，但是由靈敏度系數(shù)控制方程相容性卻可以確定實頻率的一階或二階靈敏度。

本文的主要工作如下：

1)針對非對稱系統(tǒng)提出了一種新的規(guī)范化方法，它包括對輸出實模態(tài)的規(guī)范化，以及對與之正交的左特征向量的規(guī)范化，明確了規(guī)范化實模態(tài)的唯一性；

2)利用這種規(guī)范正交化關(guān)系解耦了一階靈敏度系數(shù)的控制方程，從而同時求得了實模態(tài)的一階靈敏度及實頻率的一階靈敏度；

3)利用這種規(guī)范正交化關(guān)系解耦了二階靈敏度系數(shù)的控制方程，從而獲得了實頻率的二階靈敏度算法公式；

4)提供了本文算法的流程和步驟，顯示了本文算法的簡潔性、緊湊性和實用性；

5)利用多節(jié)點計算靈敏度的數(shù)據(jù)處理方法，使數(shù)值算例的分析更加清楚直觀。