題不在多 但求精彩——例談“1+3 作業(yè)模式”習(xí)題精選和設(shè)計(jì)的策略

浙江省江山市城南中學(xué) 陳立順

做習(xí)題，是學(xué)生重溫和組合舊知，去解決“新”課題的過程，這個過程，也是學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析，并不斷調(diào)整策略的過程。因此，做習(xí)題對訓(xùn)練學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)至關(guān)重要。那么教師應(yīng)怎樣精選和設(shè)計(jì)習(xí)題，讓學(xué)生擺脫“題?！?，做到以少勝多呢？多年來，本人探索并踐行了一種“1+3 作業(yè)模式”，即1 本省編作業(yè)本加上3 道提高題供學(xué)生分層作業(yè)。其設(shè)計(jì)策略主要體現(xiàn)在以下三個方面：

一、一題多解，旨在多解歸一，凸顯本質(zhì)

例1 如 圖1，AM ∥BN，求∠APB，∠PAM，∠PBN 三個角之間的數(shù)量關(guān)系（要求至少用三種不同的解法）。

分析：這道題得出三個角的和為360 度的結(jié)論并不難，難就難在要用多種方法求解。解法1：如圖2，過P 作PQ ∥AM ，由平行線的性質(zhì)和周角的意義可得結(jié)論；解法2：如圖3，連接AB，由平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得結(jié)論；解法3：如圖4，在BN 上任取一點(diǎn)Q，連接AQ，由平行線的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和性質(zhì)可得結(jié)論；解法4：如圖5，作QR 與AM，BN 交于R，Q，由平行線的性質(zhì)和五邊形內(nèi)角和性質(zhì)可得結(jié)論；解法5：如圖6，任意作截線QR 與AM，BN 所在直線交于R，Q，再用平行線的性質(zhì)、三角形及四邊形內(nèi)角和性質(zhì)也可獲得結(jié)論。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

當(dāng)然解法遠(yuǎn)不止這些，但解題不應(yīng)到此結(jié)束。一題多解之后要進(jìn)行多解歸一，歸一才能凸顯本質(zhì)。上述解法雖然開始都不同，但走到最后，都需要應(yīng)用平行線性質(zhì)，可見通過構(gòu)造截線或被截線，讓兩直線平行產(chǎn)生至少一對內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角或同位角，從而讓兩直線平行這個條件“英雄有用武之地”是必經(jīng)之路。其次，從結(jié)論來看，添輔助線的目的也是為了把要求和的分散的三個角集中到所熟知的多邊形或者周角、平角及互補(bǔ)的同旁內(nèi)角這些基本圖形中，從而解決問題。另外，從考查的知識看，構(gòu)造的這些圖形無非就是將平行線與各種多邊形或周角等圖形進(jìn)行組合而已。學(xué)生這樣做題，就可切入本質(zhì)，深刻理解知識之間的聯(lián)系，從而做到做一題，通一類，這也正是提升解題能力的根本之道！當(dāng)然其前提是習(xí)題一定要精心選擇和設(shè)計(jì)。

二、題組訓(xùn)練，旨在多題歸一，揭示基本思考規(guī)律

例2 完成下列題組：

1.已知點(diǎn)A（3，7）、B（1，2） 、C （6，4）是坐標(biāo)系中的三個點(diǎn)，點(diǎn)D 是平面上的另一點(diǎn)。若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D 的坐標(biāo)。

圖7

2.如圖7，正三角形ABC 的邊長為 6 cm，射線AG ∥BC，點(diǎn)E 從點(diǎn)A 出發(fā)，沿射線AG 以1cm/s的速度運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)F 從點(diǎn)B 出發(fā)，沿射線BC 以2 cm/s 的速度運(yùn)動，問運(yùn)動多長時(shí)間，以A，F(xiàn)，C，E 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

3.已知拋物線y=ax2+bx+c 過A（-1，0），B（5，0），C（0，5）三點(diǎn)。點(diǎn)M，N 分別為直線BC 和拋物線上的動點(diǎn)，若以M，N，C，O 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)。

分析：平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)有如下規(guī)律：平行四邊形相對頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和相等，縱坐標(biāo)的和相等。第1 題中三個頂點(diǎn)坐標(biāo)是已知的，只要以相對頂點(diǎn)為線索，分三種情況討論即可求得點(diǎn)D 的坐標(biāo)。第2題中平行四邊形兩個頂點(diǎn)是定的（坐標(biāo)未知），則可分別以AC 為對角線和邊分兩種情況進(jìn)行分類求解： 先用時(shí)間t 表示出AE 和 CF，再根據(jù)AE=CF 列出方程求解。第3 題中平行四邊形有兩個頂點(diǎn)定（坐標(biāo)已知），一種解法就是先設(shè)出定直線上點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（m，-m+5），然后以相對頂點(diǎn)為線索用m 表示出點(diǎn)N 的坐標(biāo)，再代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求解。當(dāng)然，這題還可以進(jìn)行一題多變，將拋物線改成雙曲線或圓或直線等。

上述題組旨在多題歸一，揭示出如下動點(diǎn)形成平行四邊形的基本思考規(guī)律：

1.變中抓不變，分析哪些頂點(diǎn)定，哪些頂點(diǎn)動；

2.若三定一動，則以相對頂點(diǎn)為線索分三種情況求解；

3.若兩定兩動，則分兩種情況，一是兩定點(diǎn)坐標(biāo)已知，則可用一個字母先表示第三個頂點(diǎn)坐標(biāo)，再以相對頂點(diǎn)為線索分三類求出第四個頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)第四個頂點(diǎn)滿足的條件進(jìn)行求解。二是兩定點(diǎn)坐標(biāo)不易求得，則以兩定點(diǎn)的連線段為抓手，分別以它為邊和對角線分類進(jìn)行求解……（此規(guī)律還要在實(shí)踐中加以完善）

上述題組訓(xùn)練，關(guān)鍵在于教師能否引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出那些常用的基本圖形、基本數(shù)式及基本思考規(guī)律等。

三、題型齊全，緊扣中考趨勢，全面訓(xùn)練各類解題方法

從現(xiàn)行中考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)看，有選擇題、填空題和解答題三大題型。從具體題型看，有計(jì)算題、作圖題、證明題、規(guī)律探索題、閱讀理解題，新定義題及綜合題等。每一類題型的解題方法也會有差異。特別是選擇題和填空題，只求正確結(jié)論，不必寫出步驟，因此解題策略就顯得非常重要。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分利用題目的有效信息選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行 “巧算”，其主要解法有直接法、猜想法、特殊值法、枚舉法、數(shù)形結(jié)合法、代入驗(yàn)證法、排除法、實(shí)踐操作法、測量法和估算法等。當(dāng)然，有時(shí)解一道題需同時(shí)使用幾種方法，教師要精選好習(xí)題，讓學(xué)生平時(shí)加以訓(xùn)練。

總之，題不在多，但求精彩。只有教師科學(xué)地精選和設(shè)計(jì)習(xí)題，才能讓學(xué)生做到以少勝多，舉一反三，從而切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生全面健康地成長。