基于頻率分布波形的最小跳頻間隔估計(jì)算法

周德強(qiáng)

(裝備工程技術(shù)研究實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊050081)

0 引言

目前關(guān)于跳頻信號(hào)的非合作接收，主要涉及三方面的工作：跳頻信號(hào)的檢測(cè)、參數(shù)估計(jì)和網(wǎng)臺(tái)分選。跳頻信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)主要是利用時(shí)頻分析工具來(lái)檢測(cè)跳頻信號(hào)并估計(jì)跳頻信號(hào)的頻率、帶寬、起跳時(shí)間、持續(xù)時(shí)間和電平等參數(shù)，主要的時(shí)頻分析工具有短時(shí)傅里葉變換(STFT)[1-3]、譜圖[4]、平滑偽魏格納-威利分布(SPWVD)[5]和小波變換[6]等。文獻(xiàn)[7-8]將陣列信號(hào)處理與時(shí)頻分析結(jié)合起來(lái)，不僅能給出跳頻信號(hào)的頻率、帶寬等參數(shù)，還能給出跳頻信號(hào)的波達(dá)方向(DOA)，有助于實(shí)現(xiàn)跳頻信號(hào)的網(wǎng)臺(tái)分選。利用這些時(shí)頻工具估計(jì)的跳頻信號(hào)頻率均存在一定的誤差。文獻(xiàn)[9]利用時(shí)域信號(hào)估計(jì)信號(hào)頻率，計(jì)算量大，難以滿足實(shí)時(shí)性要求。

網(wǎng)臺(tái)分選可以估計(jì)出網(wǎng)臺(tái)的數(shù)量、頻率集、跳速和占空比等信息。通常利用跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行網(wǎng)臺(tái)分選，也可以直接利用時(shí)域信號(hào)進(jìn)行網(wǎng)臺(tái)分選。網(wǎng)臺(tái)分選的主要方法有：基于起跳時(shí)間特征[10]、盲源分離[11]、支持向量聚類(lèi)[12]、時(shí)頻投影[13]、稀疏貝葉斯模型[14]和基于功放瞬態(tài)響應(yīng)特征[15]等，這些方法普遍沒(méi)有關(guān)注頻率集估計(jì)的準(zhǔn)確性。

在跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)精度有限的情況下，為了提高頻率集估計(jì)的準(zhǔn)確性，本文提出了一種基于頻率分布波形(Frequency Distribution Waveform，F(xiàn)DW)的最小跳頻間隔估計(jì)算法，該算法能有效估計(jì)跳頻信號(hào)的最小跳頻間隔，有助于網(wǎng)臺(tái)分選中頻率集的估計(jì)。

1 問(wèn)題描述

跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)可以給出跳頻信號(hào)的頻率估計(jì)值，網(wǎng)臺(tái)分選正是利用這些頻率估計(jì)值來(lái)提取頻率集。

對(duì)于跳頻電臺(tái)，任意2個(gè)相鄰信道之間的標(biāo)稱(chēng)頻率之差通常是固定的，稱(chēng)為信道間隔或者最小跳頻間隔[16]。因此，跳頻信號(hào)的頻率可以表示為：

fk=f0+k*Δf，

(1)

式中，k=0，1，2，…，N-1；fk表示第k個(gè)信道的頻率；N表示信道的個(gè)數(shù)；Δf表示最小跳頻間隔，集合{fk，k=0，1，2，…，N-1}是網(wǎng)臺(tái)分選中要提取的頻率集。從式(1)可以看出，估計(jì)出最小跳頻間隔Δf和信道頻率f0就可以估計(jì)出整個(gè)頻率集。

跳頻信號(hào)的頻率估計(jì)值可以看成頻率集中頻率的估計(jì)值，因此可以寫(xiě)成集合為：

(2)

跳頻信號(hào)的頻率估計(jì)值通常有一定誤差，影響網(wǎng)臺(tái)分選中頻率集估計(jì)的準(zhǔn)確性。

2 FDW算法

2.1 理論分析

設(shè)直方圖統(tǒng)計(jì)的步長(zhǎng)為Δt，對(duì)集合F以Δt為步長(zhǎng)進(jìn)行直方圖統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以表示為：

(3)

(4)

本文將頻率估計(jì)值的直方圖統(tǒng)計(jì)s(n)當(dāng)作普通信號(hào)處理，因此將s(n)稱(chēng)為頻率分布波形。為了方便理論分析，假設(shè)對(duì)每個(gè)跳頻頻點(diǎn)fk的估計(jì)值都有相同的直方圖統(tǒng)計(jì)結(jié)果g(n)，相鄰頻點(diǎn)的估計(jì)值不交疊，則s(n)在區(qū)間[P，Q]是周期的，將s(n)平移到以n=0為起點(diǎn)，可以表示為：

s(n)=g(n)?δN(n)，

(5)

(6)

式中，?表示圓周卷積；C=Δf/Δt；序列s(n)的長(zhǎng)度為M=Q-P+1=N*C；記g(n)的離散傅里葉變換(DFT)為G(k)；δN(n)的DFT為：

(7)

根據(jù)DFT的性質(zhì)[17-18]，s(n)的DFT可以表示為：

(8)

從式(8)可以看出，s(n)的DFT存在等間隔分布的離散譜線，譜線的位置是：

(9)

譜線位置處的幅度是G(nk)N。最小跳頻間隔Δf可以表示為：

(10)

根據(jù)式(10)，可以估計(jì)最小跳頻間隔。

在實(shí)際條件下，各個(gè)跳頻頻點(diǎn)的信號(hào)數(shù)量不均勻，這導(dǎo)致每個(gè)頻點(diǎn)的g(n)函數(shù)不一致，但是頻率分布波形s(n)仍存在周期性的起伏，s(n)的DFT仍然有等間隔的譜線，因此仍然可以用式(10)估計(jì)最小跳頻間隔。

2.2 實(shí)現(xiàn)步驟

在FDW算法的實(shí)現(xiàn)中，可以使用快速傅里葉變換(FFT)來(lái)代替DFT，以便提高計(jì)算速度。FDW算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

① 設(shè)置直方圖統(tǒng)計(jì)步長(zhǎng)Δt；

② 根據(jù)頻率估計(jì)值集合F構(gòu)造頻率分布波形s(n)；

③ 計(jì)算s(n)的FFT，得到其頻譜S(k)，取 其絕對(duì)值得到|S(k)|；

④ 在|S(k)|上搜索譜線，確定其位置ni，i=0，1，…；

⑤ 將譜線幅度較高的譜線位置代入式(10)計(jì)算出若干個(gè)最小跳頻間隔的估計(jì)值，這些最小跳頻間隔估計(jì)值的平均值即為最終的最小跳頻間隔的估計(jì)值。

2.3 性能分析

從2.1節(jié)的理論分析可以看出：FDW算法的性能取決于頻率分布波形的周期性。當(dāng)頻率估計(jì)誤差較小時(shí)，頻率估計(jì)值分布比較集中，頻率分布波形的周期性較好，則FDW算法的性能較好；反之，頻率估計(jì)值分布比較分散，頻率分布波形的周期性較差，則FDW算法的性能較差。

假設(shè)頻率估計(jì)值在統(tǒng)計(jì)特性上是以真值為均值的高斯分布。根據(jù)高斯分布的“3σ原則”[19]：頻率估計(jì)值幾乎都(99.73%)在距真值±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。因此，當(dāng)最小跳頻間隔≥6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，相鄰頻點(diǎn)的估計(jì)值幾乎不交疊，頻率分布波形的周期性較好，此時(shí)FDW算法的效果較好。

綜上，從理論上來(lái)說(shuō)當(dāng)頻率估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)最小跳頻間隔的1/6(≈16.7%)時(shí)，F(xiàn)DW算法性能較好。在實(shí)際情況中，大部分頻率估計(jì)值集中在真值附近，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差比最小跳頻間隔的16.7%稍大些時(shí)，頻率分布波形的周期性沒(méi)有被嚴(yán)重破壞，F(xiàn)DW算法的性能惡化不明顯，第3節(jié)的仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了這一點(diǎn)。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真試驗(yàn)

仿真參數(shù)設(shè)置：假設(shè)頻率估計(jì)值在統(tǒng)計(jì)特性上是以真值為均值的高斯分布。跳頻信號(hào)的頻點(diǎn)數(shù)量為256，最小跳頻間隔設(shè)置為25 kHz，跳頻信號(hào)的頻率估計(jì)值數(shù)量為5 000，直方圖統(tǒng)計(jì)步長(zhǎng)Δt設(shè)置為1 kHz。

3.1.1 算法驗(yàn)證

分別設(shè)置高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差為0 Hz和4 kHz，計(jì)算頻率分布波形和其頻譜，結(jié)果分別如圖1和圖2所示。從這2幅圖可以看出：不管標(biāo)準(zhǔn)差是0 Hz還是4 kHz，F(xiàn)DW的頻譜上都存在離散譜線，譜線間隔為328，F(xiàn)FT長(zhǎng)度為8 192，因此最小跳頻間隔的估計(jì)值=8 192/328*1 kHz=24.975 6 kHz，與真值25 kHz非常接近。從圖1和圖2還可以看出，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，F(xiàn)DW的頻譜中存在的譜線較多且幅度較高；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差較大時(shí)，F(xiàn)DW的頻譜中存在的譜線較少且幅度較低。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，頻率估計(jì)值的分布較為集中，g(n)波形“瘦且高”，其頻譜G(k)衰減的比較緩慢，因此譜線幅度下降得慢；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差較大時(shí)，頻率估計(jì)值的分布較為分散，g(n)波形“胖且矮”，其頻譜G(k)衰減的比較快速，因此譜線幅度下降得快。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)差為0 Hz時(shí)的FDW及其頻譜

圖2 標(biāo)準(zhǔn)差為4 kHz時(shí)的FDW及其頻譜

3.1.2 算法性能

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差太大時(shí)，頻率估計(jì)值分布得特別分散，此時(shí)譜線的幅度可能很低甚至1根譜線都檢測(cè)不到，這時(shí)就無(wú)法估計(jì)出最小跳頻間隔，此時(shí)的估計(jì)就是失敗的，因此有必要測(cè)試估計(jì)成功率與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系。均方誤差代表了估計(jì)值的平均偏差，測(cè)試其與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系也很有必要。在區(qū)間[0，10 kHz]中每隔500 Hz取1個(gè)數(shù)作為待測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差，在每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差下進(jìn)行10 000次蒙特卡洛仿真統(tǒng)計(jì)成功率和均方誤差，測(cè)試結(jié)果分別如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)最小跳頻間隔的18%(即4.5 kHz)時(shí)，估計(jì)的成功率可以達(dá)到100%，驗(yàn)證了2.3節(jié)的分析結(jié)果。

圖3 不同標(biāo)準(zhǔn)差下的估計(jì)成功率

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差不大于4.5 kHz時(shí)估計(jì)成功率才能達(dá)到100%，因此只統(tǒng)計(jì)了標(biāo)準(zhǔn)差不大于4.5 kHz時(shí)最小跳頻間隔估計(jì)的均方誤差，結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出，隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增大，均方誤差在趨勢(shì)上也是增大的。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差等于2 kHz時(shí)，均方誤差特別小，這是因?yàn)闄z測(cè)到的譜線數(shù)與FFT的頻率分辨共同導(dǎo)致此時(shí)的估計(jì)值與真值特別接近。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)最小跳頻間隔的18%時(shí)，最大的均方誤差為594.9，這意味著最小跳頻間隔估計(jì)值與真值的平均偏差不超過(guò)24.390 6 Hz。

圖4 不同標(biāo)準(zhǔn)差下最小跳頻間隔估計(jì)的均方誤差

3.2 實(shí)收效果

某電臺(tái)信號(hào)的最小跳頻間隔是150 kHz，直方圖統(tǒng)計(jì)步長(zhǎng)Δt設(shè)置為1 kHz，對(duì)其13 689個(gè)頻率估計(jì)值的處理結(jié)果如圖5所示。FDW的頻譜中譜線間隔為437，F(xiàn)FT的長(zhǎng)度為65 536，則最小跳頻間隔的估計(jì)值=65 536/437*1 kHz=149.968 0 kHz，與真值相差32 Hz，可見(jiàn)FDW算法對(duì)實(shí)際的電臺(tái)信號(hào)也是適用的。從圖5(a)中可以看出，電臺(tái)有6個(gè)同步頻率出現(xiàn)的非常頻繁，所以這6個(gè)同步頻率的估計(jì)值的數(shù)量比其他頻點(diǎn)多很多，這也導(dǎo)致了FDW的頻譜中噪底幅度較高。如果對(duì)FDW做削峰處理，可以大大抑制噪底幅度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了估計(jì)最小跳頻間隔的FDW算法，推導(dǎo)了算法的原理，給出了算法的實(shí)現(xiàn)步驟，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試了算法性能，驗(yàn)證了FDW算法對(duì)實(shí)際電臺(tái)信號(hào)的適用性。當(dāng)頻率估計(jì)值是以真值與均值的高斯分布并且標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)最小跳頻間隔的18%時(shí)，F(xiàn)DW算法的估計(jì)成功率可以達(dá)到100%，估計(jì)的平均誤差不超過(guò)25 Hz，估計(jì)精度很高，這對(duì)于網(wǎng)臺(tái)分選中頻率集的提取具有重要意義。