一維準(zhǔn)周期晶格中玻色子對的遷移率邊*

徐志浩 皇甫宏麗 張云波

(山西大學(xué)理論物理研究所,太原 030006)

研究了一維非公度的準(zhǔn)周期晶格中的玻色子對的遷移率邊.通過微擾方法,解析推導(dǎo)出強(qiáng)相互作用極限下準(zhǔn)周期晶格中玻色子對遷移率邊的解析表達(dá)式,通過數(shù)值證明在系統(tǒng)參數(shù)b較小時,遷移率邊的解析結(jié)果符合得較好,而當(dāng)b→1時,解析結(jié)果將發(fā)生偏離.

1 引言

60多年前,安德森在一篇標(biāo)志性的文章中預(yù)測了無序系統(tǒng)中的單粒子波函數(shù)具有局域的特性,這一現(xiàn)象被稱為安德森局域化[1],在凝聚態(tài)物理的各個重要分支被廣泛關(guān)注.安德森模型中最為重要的概念之一是存在擴(kuò)展態(tài)與局域態(tài)的遷移率邊[2-7],即費(fèi)米面從位于擴(kuò)展態(tài)區(qū)域穿過遷移率邊進(jìn)入局域態(tài)區(qū)域時系統(tǒng)從金屬相轉(zhuǎn)變?yōu)榻^緣體相[4,8],反之亦然.不同于三維無序系統(tǒng),對于一維和二維的安德森模型[9-11],標(biāo)度理論指出自由粒子總是局域化的,不存在金屬絕緣體轉(zhuǎn)變[12].而三維系統(tǒng)中當(dāng)無序大于某一閾值時將導(dǎo)致局域化,對于弱無序[9],系統(tǒng)則呈現(xiàn)金屬的特性,具有有限的電導(dǎo).最近實驗已經(jīng)能夠在光子晶體和冷原子體系中直接觀測安德森局域化現(xiàn)象以及遷移率邊[13-15].

另一方面,一維具有非公度準(zhǔn)周期調(diào)制勢的Aubry-André (AA)模型[16],展現(xiàn)了完全不同的局域化性質(zhì).由于AA模型的自對偶特性[17],通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù),系統(tǒng)中所有的本征態(tài)要么全為局域態(tài)要么全為擴(kuò)展態(tài),并不存在遷移率邊[16].然而基于AA模型得到遷移率邊的方法一般有兩種,其中一種是破壞系統(tǒng)的自對偶性質(zhì),如增加次近鄰躍遷項等[5]; 另一種是尋找具有能量依賴的自對偶模型[7],這類模型的遷移率邊往往具有非常簡潔的解析形式,受到了廣泛的關(guān)注和研究.

自從無序模型被提出,相互作用在無序系統(tǒng)中如何影響安德森局域化這一問題一直困擾著人們[18-22].2006年,Basko等提出在無序體系中[23],相互作用的多體系統(tǒng)將會經(jīng)歷所謂的多體局域化轉(zhuǎn)變[24-26],在強(qiáng)無序下,相互作用不足以熱化系統(tǒng),所以系統(tǒng)的電導(dǎo)為零.而對于弱無序情況,系統(tǒng)可以被熱化,具有有限的導(dǎo)電率.多體局域化相和多體局域化轉(zhuǎn)變由于其獨特的性質(zhì)對量子統(tǒng)計物理的基本問題發(fā)起了挑戰(zhàn).在多體局域化相,系統(tǒng)的局域可觀測量不能夠被熱化[27],這違背了本征態(tài)熱化假說.最近在這一領(lǐng)域有很多的進(jìn)展,如一維隨機(jī)無序系統(tǒng)[24],AA模型和一維具有Fibonacci序列勢[8,28,29]的系統(tǒng)中的多體局域化轉(zhuǎn)變.一個重要的問題是：在多體局域化系統(tǒng)中是否存在遷移率邊? 雖然一些數(shù)值結(jié)果聲稱在多體系統(tǒng)中存在多體遷移率邊,但是由于系統(tǒng)尺寸的限制,這一問題仍然是一個開放性問題,值得人們繼續(xù)探索.

本文主要研究具有一維準(zhǔn)周期勢的晶格中玻色子對的遷移率邊的性質(zhì),利用微擾方法得到系統(tǒng)遷移率邊的解析表達(dá)式,證明在兩粒子系統(tǒng)中存在遷移率邊,進(jìn)一步與精確對角化結(jié)果比較,該研究對理解多體系統(tǒng)遷移率邊[30-32]有重要意義.

2 理論模型

考慮兩個具有相互作用的玻色子在一維非公度的準(zhǔn)周期晶格中的運(yùn)動,系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為其中

并且

這里 J 為躍遷強(qiáng)度,它被設(shè)為單位能量 J=1,這里僅考慮最近鄰格點之間的躍遷;為第 j 個格點的產(chǎn)生(湮滅)算符,為第 j 個格點的粒子數(shù)算符.化學(xué)勢項其中 λ 為化學(xué)勢調(diào)制強(qiáng)度,α 用來控制系統(tǒng)的調(diào)制周期.當(dāng) α 為無理數(shù)時,為準(zhǔn)周期調(diào)制,這里取化學(xué)勢為參數(shù) b 的連續(xù)函數(shù),其中b∈(-1,1).可以看出當(dāng) b=±1 時,在格點數(shù)目趨于無窮的情況下存在發(fā)散點; 而當(dāng) b=0 時,哈密頓量回到標(biāo)準(zhǔn)的AA模型,此時如果 λ＜J,所有的單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài),而當(dāng) λ＞J 時,所有本征態(tài)都為局域態(tài),系統(tǒng)不存在遷移率邊.λ=J 是擴(kuò)展態(tài)與局域態(tài)轉(zhuǎn)變點,此處發(fā)生安德森局域化轉(zhuǎn)變,所有的本征態(tài)都處于臨界態(tài)并且體現(xiàn)出多分形的行為[3,16].對于 b/=0 的情況,單粒子系統(tǒng)存在能量依賴的自對偶特性,它的遷移率邊可以寫成一個簡潔的表達(dá)式[7]：

其中 ε 為單粒子能量.相互作用項(2)式為玻色哈伯德相互作用形式,其中 U 為相互作用強(qiáng)度.本文關(guān)注強(qiáng)相互作用極限下粒子對的情形,而 U 的符號并不影響本文的結(jié)果.

3 結(jié)果分析與討論

系統(tǒng)的定態(tài)薛定諤方程可以寫為

其中 ψ (j,j)=〈j,j|ψ〉.而格林函數(shù)算符可以在能量基矢|?r,?s〉中表示為其中的本征態(tài),相應(yīng)的本征能量為因此方程(5)中,

其中?r(j) 表示第r個本征態(tài)中第j個格點上的概率幅.令結(jié)合方程(5)和(6),處理如下的本征值問題：

這里j,k=1,2,···,L,本征值?=1/U.對于能量值小于無相互作用的兩粒子基態(tài)能量( E＜2ε1)的情況,本征值 ? 都為負(fù)值,對應(yīng)于吸引的束縛態(tài).而當(dāng)能量值大于無相互作用的兩粒子最高激發(fā)態(tài)能量( E＞2εL),所有的本征值 ? 都為正值,對應(yīng)于排斥的束縛態(tài).而若波函數(shù) f(j) 能夠?qū)?yīng)于能量為E的吸引的束縛態(tài),那么也能描述能量為-E 的排斥的束縛態(tài).在強(qiáng)相互作用|U|?λ,t下,兩玻色子緊密地結(jié)合為玻色子對,具有相當(dāng)大的有效質(zhì)量.通過將 KE(j,k) 對E-1展開到三階,得到

代入到方程(7),整理得到

(9)式表明,在一階近似下 E～U,即玻色子對能量分布在U 附近.由于討論緊束縛的粒子對,盡管金屬絕緣體轉(zhuǎn)變點λ?1,然而當(dāng) b→±1 時,方程(9)中,4 λ(j)2/E ≈ 4λ(j)2/U 將會無法忽略.因此首先討論b 取值比較小的情況,我們可以放心地忽略方程(9)式中的 4 λ(j)2/E 項.對比于單粒子定態(tài)薛定諤方程

方程(9)具有與無相互作用下推廣的AA模型類似的形式,即有效躍遷概率Jeff=-2/E,有效化學(xué)勢強(qiáng)度λeff=2λ.因此玻色子對的遷移率邊可以由如下方程所描述：

這是本文的中心結(jié)論.接下來圍繞方程(11)討論玻色子對在一維準(zhǔn)周期勢中的遷移率邊.

首先討論 b=0 的情況.在無相互作用時,系統(tǒng)為標(biāo)準(zhǔn)的AA模型,不存在遷移率邊.然而根據(jù)方程(11),在AA模型中的玻色子對存在遷移率邊為λ=-1/E.為了驗證本文的結(jié)果,引入標(biāo)準(zhǔn)參與率(normalized participation ratio,NPR)η(E) 來表征多體態(tài)是否局域化[26],表示為

其中 VH表示希爾伯特空間的維度,ψE({n1,n2,···,nL})表示為哈密頓量在?？嘶碌谋菊髂芰繛镋 的多體本征波函數(shù).在熱力學(xué)極限下,η (E) 趨于零時,多體波函數(shù)為局域態(tài),而當(dāng) η (E) 為有限值時,波函數(shù)為擴(kuò)展態(tài).圖1展示了 b=0 時,標(biāo)準(zhǔn)參與率 η (E) 在不同的相互作用強(qiáng)度 U 下隨無序強(qiáng)度λ變化的情況.圖1(a)—(d)分別對應(yīng)于 U=-15,-20,-40和-100,這里 L=150,圖中藍(lán)色實線為解析結(jié)果(11)式.

由圖1可以看到在不同的相互作用下,隨著λ的增加系統(tǒng)確實存在從擴(kuò)展態(tài)到局域態(tài)的轉(zhuǎn)變.當(dāng)U=-15時,已經(jīng)可以明顯看到遷移率邊的存在,通過解析求解,具有遷移率邊的區(qū)間大約為λ∈[0.0637,0.0675],即圖中藍(lán)色實線并不垂直于λ軸.隨著|U|的增大,這個區(qū)間逐漸變小,在U=-100時,圖中的遷移率邊幾乎變?yōu)?λ ≈0.01 的一條直線.由此可以推測,在|U|趨于無窮大時,系統(tǒng)的遷移率邊和擴(kuò)展區(qū)將逐漸消失.圖2(a)展示了b=0,U=-100時,擴(kuò)展態(tài)與局域態(tài)的轉(zhuǎn)變點λ≈0.01兩側(cè)的格點密度分布ρj=〈j〉的情況.紅色五角星實線表示 λ=0.008,E=-100.044 的密度分布,它展現(xiàn)了擴(kuò)展的特性,而藍(lán)色方塊實線為λ=0.012,E=-100.044的密度分布情況,這時密度分布為局域的.為了進(jìn)一步證明本文的結(jié)果,我們對轉(zhuǎn)變點兩側(cè)的NPR做標(biāo)度分析.以b=0,U=-100為例,分別計算了擴(kuò)展區(qū)間λ=0.008,E≈-100,-100.04,-100.0732和局域區(qū)間λ=0.012,E ≈-100,-100.04,-100.08 所對應(yīng)的本征態(tài)的NPR隨尺寸變化的情況,如圖2(b)所示.圖中實線為擬合的結(jié)果,其表達(dá)式可以寫為

圖1 b=0 時,N PR 在不同的相互作用強(qiáng)度 U 下隨無序強(qiáng)度 λ 和能量本征值E的變化 (a) U=-15 ; (b) U=-20 ;(c) U=-40 ; (d) U=-100 ; 藍(lán)色的實線對應(yīng)遷移率邊的表達(dá)式; 這里取L=150Fig.1.NPR varying with the disorder strengths λ and the energy eigenvalues E for b=0,L=150 and different U： (a) U=—15;(b) U=—20; (c) U=—40; (d) U=—100.The blue solid line represents the analytical expression of the mobility edges.

圖2 (a)b=0,U=-100,E=-100.044時,λ 分別為 0 .008和0 .012 所對應(yīng)本征態(tài)的密度分布; (b) b=0,U=-100時,不同λ和E所對應(yīng)的本征態(tài)的NPR隨1/L的變化Fig.2.(a) Density distributions for b=0,U=-100,E=-100.044,λ=0.008 and 0 .012,respectively ; (b) NPR varying with 1/L for b=0,U=-100 and different λ and E.

其中對于不同本征態(tài)的NPR隨尺寸變化的擬合參數(shù)分別為 p,q和l.在局域區(qū)間,波函數(shù)的NPR 隨著 1 /L2衰減到零,即參數(shù) l=0.而在擴(kuò)展區(qū)系統(tǒng)的NPR是隨著 1 /L 線性衰減到一個有限的值,約為 1 0-5量級,即 p=0,q /=0和l ～10-5.

圖3 (a) NPR在 L=150 時隨無序強(qiáng)度 λ 和能量本征值E的變化,藍(lán)色的實線對應(yīng)遷移率邊的表達(dá)式; (b)λ=0.048,L=150 時,能 量 E=-20和-20.37 所 對應(yīng) 的 密 度分布; (c) 不同能量的NPR在 λ=0.048 時隨 1 /L 的變化.這里我們選取 b=0.2,U=-20Fig.3.(a) NPR varying with the disorder strength λ and the eigenvalues E with L=150,the blue solid line represents the analytical expression of the mobility edges;(b) density distributions for λ=0.048,L=150 and different E=-20 and-20.37 ; (c) scaling of the NPR with system size for λ=0.048 and different energies.Here,we choose b=0.2 and U=-20.

在小 b 情況下,玻色子對的遷移率邊由方程(11)所描述,通過求解方程(11)能夠得到遷移率邊的結(jié)果,如圖3(a)藍(lán)色實線所示.

圖3(a)給出了b=0.2,U=-20,L=150時,隨著化學(xué)勢強(qiáng)度 λ 的增加,不同能量的NPR.由圖可以看出,解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果符合得很好,藍(lán)色實線以上所有的態(tài)都為局域態(tài),而實線以下的部分都為擴(kuò)展態(tài),存在遷移率邊的區(qū)間為λ∈(0.0373,0.0638).以 λ=0.048 為例,相應(yīng)的遷移率邊所對應(yīng)的能量約為-20.17,我們分別計算了 E ≈-20 和-20.37所對應(yīng)的本征態(tài)的密度分布,如圖3(b)所示.當(dāng)能量處于遷移率邊以下時,相應(yīng)的密度展現(xiàn)擴(kuò)展的特性,而能量處于遷移率邊以上時,相應(yīng)的密度分布為局域的.圖3(c)展示了b=0.2,U=-20,λ=0.048時,不同能量所對應(yīng)的NPR隨尺寸變化的情況.其擬合曲線仍然符合方程(13),在遷移率邊以下的擴(kuò)展態(tài),其NPR線性依賴于 1 /L,在L→∞時,NPR為有限大的值 l ～10-5,而對于能量處于遷移率邊以上的局域態(tài),隨著 L 的增加,η(E)～ (1/L)2衰減到零.

由于調(diào)制勢在 b →1 時趨近于發(fā)散,方程(9)中的 4 λ(j)2/E 項對比于 2 λ(j) 將不再是小量.圖4(a)和圖4(b)分別展示了 b=0.5和0 .96 時,在格點上的分布情況.在b=0.5時,因此方程(11)仍然適用.通過對NPR的計算,我們發(fā)現(xiàn)此時數(shù)值和解析結(jié)果符合得很好然而對于相比方程(9)中 4 λ(j)2/E 不能被忽略,系統(tǒng)不存在自對偶特性,從而無法推導(dǎo)出遷移率邊的解析形式.圖4(d)展示了 b=0.96,U=-20 時,系統(tǒng)的NPR隨著調(diào)制強(qiáng)度 λ 變化的情況,其中藍(lán)色實線為方程(11)給出的結(jié)果.可以看出數(shù)值結(jié)果和解析結(jié)果發(fā)生了較大偏離.然而通過數(shù)值計算,我們發(fā)現(xiàn)即使在b→1情況下,玻色子對系統(tǒng)仍然存在遷移率邊.

圖4 (a),(b)分別為λ=0.08,b=0.5,0.96時,|2 λ(j)|與在格點上的分布情況;(c),(d) NPR在L=150 時隨無序強(qiáng)度λ和能量本征值E的變化,其參數(shù)與(a),(b)相同; 藍(lán)色的實線對應(yīng)遷移率邊的表達(dá)式Fig.4.(a),(b)|2 λ(j)|andch anging with different sites j for λ=0.08,b=0.5 and 0.96,respectively; (c),(d) NPR varying with λ and E for L=150 and with the same parameters as (a) and (b),respectively.The blue solid line represents the analytical expression of the mobility edges.

4 結(jié) 論

多體遷移率邊是研究多體局域化系統(tǒng)的過程中被提出的,已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注,但是由于數(shù)值能力等限制,它的存在性仍然是一個開放問題.本文證明了捕陷于一維準(zhǔn)周期晶格的緊束縛的玻色子對系統(tǒng)存在遷移率邊.在強(qiáng)相互作用極限下利用微擾方法擴(kuò)展到三階,得到了一個有效的玻色子對的哈密頓量,它具有和單粒子薛定諤方程相類似的形式,通過對比,給出 b 較小時遷移率邊的解析形式.數(shù)值結(jié)果和解析結(jié)果符合得很好.然而在b→1時,由于化學(xué)勢趨于發(fā)散導(dǎo)致解析結(jié)果發(fā)生偏離.數(shù)值結(jié)果表明,即使在 b →1 極限,系統(tǒng)仍然存在遷移率邊.我們希望本文的結(jié)果對研究多體遷移率邊有一定的幫助.進(jìn)一步的研究是在實驗上如何去探測玻色子對系統(tǒng)中的遷移率邊.