劉久成

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)中“平行線”未涉及“平行公理”，這對(duì)教材編制和教學(xué)都帶來挑戰(zhàn)。然而平行線的認(rèn)識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的重要載體。為此，教師應(yīng)依托學(xué)生實(shí)際，把握概念本質(zhì)，深度理解教材，為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)創(chuàng)造有利條件。

【關(guān)鍵詞】平行線 教學(xué)理解 核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力，以及情感態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。具體包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)雖未明確核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和要素，但應(yīng)與高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一脈相承。數(shù)學(xué)教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體。如何深度理解教材，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，挖掘教材中的核心素養(yǎng)要素，并以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，是擺在一線教師面前的一項(xiàng)任務(wù)。

“平行”是社會(huì)生活中普遍存在的現(xiàn)象，“平行”一詞在日常生活中有多種解釋?，F(xiàn)代漢語詞典解釋為：等級(jí)相同，沒有隸屬關(guān)系（如平行機(jī)關(guān)）;同時(shí)進(jìn)行的（如平行作業(yè)）;還有就是數(shù)學(xué)所說的“平行”，數(shù)學(xué)上的“平行”包括線線平行、線面平行、面面平行等。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中只討論平面內(nèi)的“線線平行”，即“平行線”，內(nèi)容主要包括：平行線的概念、平行線的畫法、平行線的性質(zhì)和平行線的判定。這些內(nèi)容可為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形等有關(guān)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。

由于小學(xué)生抽象思維的局限性，認(rèn)識(shí)圖形主要以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，而非建立在公理體系之上，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)中“平行線”的認(rèn)識(shí)，未涉及“平行公理”，這對(duì)教材內(nèi)容編制的系統(tǒng)性和邏輯性都帶來了挑戰(zhàn)。同時(shí)由于“平行線”以直線、平面概念為基礎(chǔ)，而這兩個(gè)概念都具有無限延伸性特征，這也給學(xué)生理解和教師教學(xué)帶來了困難。我們看到，平行線的認(rèn)識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象能力和訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的重要載體，有助于促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。為此，我們需要依托兒童實(shí)際，通過把握平行線本質(zhì)，深度理解教材內(nèi)容，為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)創(chuàng)造有利條件。

? 一、從有限到無限，激發(fā)直觀想象

平行線的認(rèn)識(shí)一般都安排在小學(xué)四年級(jí)進(jìn)行教學(xué)，現(xiàn)行不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，通常都是利用日常生活中的平行現(xiàn)象，如鐵軌、雙杠，經(jīng)抽象概括，或通過讓學(xué)生任意畫兩條直線進(jìn)行分類討論，形成“平行線”的概念。可是，這些事物對(duì)象都是有限的，都不是“平行線”的真實(shí)原型或狀態(tài)，僅僅是平行線上的兩條線段。每條線段都要分別向兩方無限延長，才能成為平行線。這就需要借助想象，把有限拓展到無限。為此，我們認(rèn)為，讓學(xué)生從研究同一平面內(nèi)兩條線段的三種位置關(guān)系開始：

然后，讓學(xué)生想象每幅圖中的兩條線段向兩方無限延長，成為兩條直線后的情況，從而認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)的兩條直線只有以下兩種位置關(guān)系：

這時(shí)給出“平行線”的定義水到渠成。讓學(xué)生從觀察“有限”的圖形，到認(rèn)識(shí)“無限”的圖形，揭示了“平行線”的本質(zhì)，有助于激發(fā)學(xué)生的直觀想象。

? 二、凸顯平行線特征，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

平行線是指兩條直線的位置關(guān)系，它包含兩個(gè)特征：“在同一平面內(nèi)”“兩條直線不相交”。學(xué)生往往只關(guān)注“不相交”這個(gè)條件，而忽視“在同一平面內(nèi)”。因此，在學(xué)生對(duì)“平行線”有了初步認(rèn)識(shí)之后，教者可以利用正方體中的異面直線AB和FG突出平行線定義中的這個(gè)條件。

師：同學(xué)們想一想，在日常生活中，我們?cè)谀睦镆姷竭^平行線？（告訴學(xué)生：我們見過的事例中存在的“平行線”實(shí)質(zhì)上都只是平行線上的兩條線段。將它們分別向兩方無限延長后，得到的兩條直線才是平行線。）

師：在我們學(xué)過的圖形中，能找到平行線嗎？（如長方形的對(duì)邊，以及正方體中的某些線段。）

為什么說“AB、CD是平行線”呢？（圖4）

在正方體ABCD-EFGH中（圖5），和AB平行的直線有哪些？和AB相交的直線有哪些？另外還有幾條直線和AB的位置關(guān)系如何？如AB和FG怎么樣？（它們雖然不相交，但是因?yàn)椴辉谕粋€(gè)平面內(nèi)，所以不是平行線。）強(qiáng)調(diào)“平行線”必須具備兩個(gè)條件——“在同一平面內(nèi)”和“不相交”。這樣借助于肯定例證和否定例證的討論，進(jìn)一步明確了“平行線”這個(gè)概念的內(nèi)涵。

? 三、利用方向直覺，力求“混而不錯(cuò)”

心理學(xué)研究表明，畫圖有助于感受圖形特征，加深對(duì)圖形概念的理解。在平行線的教學(xué)中，畫平行線不僅可以更好地理解平行線的概念，也為后續(xù)畫平行四邊形、梯形等奠定基礎(chǔ)。教材中對(duì)畫平行線的要求不高，似乎關(guān)注不夠。一般只要求在方格紙上畫，或者用直尺的兩邊畫，沒有提出一種通行的畫法。實(shí)際教學(xué)中，我們看到有些教師會(huì)補(bǔ)充介紹用直尺和三角板“推”的方法畫平行線，但這種畫法的依據(jù)是什么呢？教師一般不做解釋，實(shí)質(zhì)上是依據(jù)“同位角相等，兩直線平行”的判定定理，而這一判定定理是建立在“平行公理”基礎(chǔ)之上的，對(duì)小學(xué)生來說，還沒有此理論依據(jù)。此時(shí)，如何說明用“推”的方法畫平行線的合理性呢？張奠宙先生提出“方向直覺”的建議：兩條方向相同的直線不會(huì)相交，因而是互相平行的。特別地，與同一直線垂直的兩條直線互相平行。這就如同沿著同一方向行走的人不會(huì)相交一樣，人人都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)。這樣處理明確易懂，并且與中學(xué)數(shù)學(xué)里“同位角相等，兩直線平行”的判定法則相銜接，也符合蘇步青先生在20世紀(jì)60年代編寫中小學(xué)教材時(shí)提出的“混而不錯(cuò)”的思想。這樣，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活現(xiàn)象，是對(duì)生活世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)和理性思維。

? 四、改進(jìn)教學(xué)思路，培養(yǎng)邏輯思維

現(xiàn)行教材中，一般都沒有給出“平行線段”的概念，但在書后的習(xí)題中都毫無例外地用到了這一概念。事實(shí)上，實(shí)際應(yīng)用中所涉及的“平行”問題也基本上都是平行線段問題，在此對(duì)“平行線段”稍作交待：“兩條線段所在的直線互相平行，這兩條線段就叫作互相平行。”這樣，在不增加學(xué)生過多負(fù)擔(dān)的情況下，能使教材內(nèi)容的邏輯性和系統(tǒng)性增強(qiáng)，更重要的是有助于學(xué)生養(yǎng)成有根有據(jù)地思考問題的習(xí)慣。

中學(xué)數(shù)學(xué)里有關(guān)于兩直線平行的判定定理，而小學(xué)沒有。概念的定義通常可以作為判定的依據(jù)，但平行線的定義中，由于直線具有向兩方無限延伸的特性，延伸以后是否相交，需要超經(jīng)驗(yàn)的想象，這是難以做到的。因此，平行線的定義難以用于判定兩直線是否平行。我們看到，人教版數(shù)學(xué)教材做了如下處理（四年級(jí)下冊(cè)第59頁，例3（2））：

很顯然，這里是通過“畫”“量”實(shí)驗(yàn)的方法得出“與平行線垂直的所有線段都相等”，然而這一結(jié)論未必可靠，但考慮到小學(xué)生實(shí)際，這里暫且不作嚴(yán)格證明。進(jìn)一步地，教材在“做一做”中，要求學(xué)生利用上述結(jié)論檢驗(yàn)兩直線是否平行，這就出現(xiàn)了邏輯問題。

由例3（2）得到的結(jié)論是：“如果兩直線平行，那么它們間的垂直線段相等”（原命題），這是平行線的性質(zhì)，而依據(jù)該命題做不出兩條直線互相平行的推斷。如果是依據(jù)其逆命題：“如果兩條直線間的垂直線段相等，那么兩條直線平行”來進(jìn)行判斷，那么逆命題成立的依據(jù)何在？原命題成立是不能保證其逆命題成立的。這種把平行線性質(zhì)定理當(dāng)作判定兩條直線平行的準(zhǔn)則，容易造成學(xué)生思維上的混亂。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)沒有直線平行的判定定理，而且平行線的定義又不能用作判定的依據(jù)，如何判定直線平行似乎成了一個(gè)難題。為此，我們建議利用在“方向直覺”的基礎(chǔ)上建立起來的平行線畫法，即用直尺和三角板“推”的方法去檢驗(yàn)兩直線是否平行。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念都是最基本的概念，基本概念常常都是很重要的，具有很高的教學(xué)價(jià)值，教師在研究概念教學(xué)時(shí)，需要有數(shù)學(xué)上的高觀點(diǎn)，弄清其現(xiàn)實(shí)原型和科學(xué)意義，也需要重心向下，為學(xué)生所理解，基于學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性處理。