王騰毅

亞純函數(shù)系數(shù)微分方程解的復(fù)振蕩性質(zhì)

王騰毅

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州，貴陽 550025）

綜合運(yùn)用Nevanlinna值分布的理論，Wiman-Valiron的理論及其它復(fù)分析中的常用方法研究了復(fù)域上高階微分方程解帶有小函數(shù)時(shí)復(fù)振蕩的性質(zhì)，該文的結(jié)果將二階情形推廣到高階情形。

亞純函數(shù)；微分方程；小函數(shù)

1 引言與主要結(jié)果

1.1 Nevanlinna值分布理論，Wiman-Valiron的理論簡(jiǎn)介

Wiman-Valiron的理論是研究考慮整函數(shù)系數(shù)微分方程的整函數(shù)解性質(zhì)的一個(gè)十分重要的工具。

Picard定理：是復(fù)平面上的解析函數(shù)，并且始終不取值0，1，那么一定是一個(gè)常數(shù)。

1.2 亞純函數(shù)系數(shù)微分方程解的復(fù)振蕩性質(zhì)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀

目前主要研究的是二階復(fù)域微分方程，對(duì)于高階的情況，討論較少。

2006年陳玉研究了二階復(fù)域微分方程亞純解的不動(dòng)點(diǎn)與超級(jí)，得到了如下結(jié)論：

本文研究了一類高階微分方程的亞純解與其小函數(shù)的關(guān)系得到了如下結(jié)論。

和

至多有一個(gè)例外解，其他所有非零解都有無窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且滿足

2 定理證明所需引理

和

則有

即

和

3 定理的證明

把(5)式代入(1)式并整理后得到

把方程(7)式改寫為

把(14)式代入(15)式有

由式(22)及(23)可知

綜上所述

4 總結(jié)

本文主要綜合地運(yùn)用了Nevanlinna值分布的理論，Wiman-Valiron的理論和其它復(fù)分析方法研究復(fù)數(shù)域高階微分方程的解帶有小函數(shù)時(shí)復(fù)振蕩的性質(zhì)，將二階的情形推廣到高階情形中一種特殊情況，帶有小函數(shù)應(yīng)用的情況，得出了高階情形下定理，并證明結(jié)論也成立。

[1] 陳玉,陳宗煊. 二階復(fù)數(shù)域微分方程亞純函數(shù)解的不動(dòng)點(diǎn)與超級(jí)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006,22(6):78-81.

[2] 易才鳳,邊年英. 二階微分方程亞純函數(shù)解的零點(diǎn)收斂指數(shù)和增長(zhǎng)級(jí)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1998,22(1):16-20.

[3] 甘會(huì)林,易才鳳. 高階微分方程亞純函數(shù)解的零點(diǎn)收斂指數(shù)和增長(zhǎng)級(jí)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,27(1):39-41.

[4] Gundersen G. Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function ,plus similar estimates [J].J London Math Soc,1988,37(2):83-104.

[5] Chen Z X. The growth of solutions of second order linear differential equations with meromorphic coefficients [J].Kodai Math J,1999,22(1):208-221.

[6] 陳鴻輝,蔡金華,袁文俊. 涉及零點(diǎn)與多項(xiàng)式的無零點(diǎn)亞純函數(shù)族的正規(guī)性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版;2018,43(8):10-17.

[7] 劉志學(xué),曹廷彬. 多復(fù)空間中亞純函數(shù)在分擔(dān)小函數(shù)情形下的唯一性結(jié)果[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào):理科版;2016, 40(1):1-7.

The complex oscillation properties of the solutionsof differential equations with meromorphic coefficient

WANG Teng-yi

(School of mathematics and statistics, Guizhou University of Finance and Economics, Guiyang, Guizhou 550025, China)

In this paper, we mainly use the Nevanlinna value distribution theory, complex oscillation properties of Wiman-Valiron theory and other complex analysis method to study the characteristics of higher order ordinary differential equation with a small function in complex domain.The results of this paper extend the second-order case to the higher-order case.

meromorphic function differential equation small function

1674-8085(2019)03-0014-05

O174.52

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2019.03.003

2019-01-18；

2019-04-03

王騰毅(1987-)，男，安徽安慶人，助教，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究(E-mail:wangtengyi7009@163.com).