(北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院， 北京 100044)

引言

液壓伺服系統(tǒng)具有響應(yīng)快、精度高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、船舶操縱和工業(yè)過程控制中。而在控制系統(tǒng)研究中，穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)研究中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在閥控缸系統(tǒng)的研究中，控制方法均為無限時(shí)間穩(wěn)定,而對(duì)于控制系統(tǒng),收斂性能是控制系統(tǒng)中的關(guān)鍵指標(biāo)，從時(shí)間優(yōu)化的角度實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間控制才是最優(yōu)控制[1-2]。

俞玨等[3]針對(duì)閥控缸系統(tǒng)的強(qiáng)非線性提出了一種反饋線性化控制器。王迪[4]以閥控液壓缸系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于不同負(fù)載工況提出了自抗擾控制算法。林浩等[5]針對(duì)電液伺服系統(tǒng)中非線性和參數(shù)不確定的問題，提出了一種自適應(yīng)Backstepping控制方法。馮亞恒[6]針對(duì)閥控缸系統(tǒng)在參數(shù)波動(dòng)較大時(shí)PID控制效果變差的問題提出了一種魯棒H∞混合靈敏度控制算法，通過仿真驗(yàn)證控制效果優(yōu)于PID控制。但是以上所提出控制算法均為漸近穩(wěn)定，在收斂時(shí)間上為無限時(shí)間收斂。

由于滑?？刂凭哂许憫?yīng)速度快、對(duì)參數(shù)及擾動(dòng)變化不靈敏和物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等特點(diǎn),越來越多的被應(yīng)用在液壓控制領(lǐng)域[7-8]。在傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制中，滑模面為線性滑模面，系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，跟蹤誤差漸近收斂至0，通過選擇滑動(dòng)模態(tài)參數(shù)來調(diào)整漸近收斂的速度。在液壓控制領(lǐng)域中，各種滑模變結(jié)構(gòu)控制方法被提出，提高了液壓控制系統(tǒng)的控制性能，推動(dòng)和發(fā)展了滑模變結(jié)構(gòu)控制在液壓系統(tǒng)中的應(yīng)用[9-10]。然而，無論如何調(diào)整滑模參數(shù)，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差都不會(huì)在有時(shí)間內(nèi)收斂至0。為了解決無限時(shí)間收斂的問題獲得更好的性能，Terminal滑?？刂撇呗员惶岢霾⑹艿綄W(xué)者廣泛關(guān)注。

1 閥控缸系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 閥控缸系統(tǒng)描述

閥控缸系統(tǒng)按輸出信號(hào)可分為位置控制系統(tǒng)、速度控制系統(tǒng)、加速度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等，在工程應(yīng)用中閥控缸系統(tǒng)的位置控制尤為重要。然而，在閥控缸系統(tǒng)位置控制中又分為閥控對(duì)稱缸與閥控非對(duì)稱缸2種。由于閥控對(duì)稱缸具有一定普適性，因此選取閥控對(duì)稱缸為建模對(duì)象。

在分析閥控缸系統(tǒng)的特性之前需對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。為了便于物理模型的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，借鑒前人在閥控液壓缸建模過程中考慮或者忽略的因素，在一些條件理想情況下，建立閥控缸模型[13]，系統(tǒng)原理圖如圖1所示。

以圖1所示閥控缸系統(tǒng)為研究對(duì)象，分別建立閥的流量方程、流量連續(xù)性方程和力平衡方程。

1) 閥的流量方程

QL=Kqxv-KcpL

(1)

式中，Kq—— 閥在穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近的流量增益

xv—— 閥芯位移

Kc—— 穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近流量-壓力系數(shù)

pL—— 負(fù)載壓降

圖1 電液伺服系統(tǒng)原理圖

2) 液壓缸連續(xù)性方程

(2)

式中，A—— 活塞的有效面積

y—— 活塞位移

Cte—— 總泄漏系數(shù)

βe—— 油液彈性模數(shù)

Vt—— 2個(gè)油腔的總?cè)莘e

3) 液壓缸與負(fù)載的力平衡方程

不考慮庫(kù)倫摩擦等非線性負(fù)載并且忽略油液的質(zhì)量，液壓缸與負(fù)載的力平衡方程：

(3)

式中，F(xiàn)g—— 液壓缸產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力

m—— 活塞負(fù)載的總質(zhì)量

Bc—— 活塞負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)

K—— 負(fù)載的彈簧剛度

F—— 作用在活塞上的任意外負(fù)載力

通過式(1)～式(3)即可得到閥控缸系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

1.2 閥控缸系統(tǒng)建模

在閥控液壓缸系統(tǒng)作為位置控制的輸出元件時(shí)，一般沒有彈性負(fù)載，因此K=0[14]。由于伺服閥和液壓缸的泄漏產(chǎn)生的阻尼系數(shù)一般大于活塞負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)Bc，所以Bc(Kc+Cte)/A2≤1，可以忽略，因此數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)化為：

(4)

選取狀態(tài)變量[15]：

(5)

在不考慮外界干擾的情況下，狀態(tài)方程為：

(6)

其中，

Kce=Kc+Cte

式中，ωh—— 液壓缸固有頻率

ζh—— 液壓阻尼比

Kce—— 總的流量-壓力系數(shù)

存在干擾的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(7)

其中，

u=xv

式中，u—— 控制器輸入

βe—— 體積彈性模量

d(t) —— 外界干擾

2 有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

2.1 有限時(shí)間滑模面設(shè)計(jì)

對(duì)閥控缸系統(tǒng)進(jìn)行位置伺服中采用一種新型的全局快速終端滑?？刂频姆椒?。定義誤差向量為：

(8)

式中，e為跟蹤誤差，滑模面設(shè)計(jì)為：

s=C(E-P)

(9)

終端函數(shù)向量P(t)的構(gòu)造是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)間T內(nèi)進(jìn)行跟蹤的關(guān)鍵。終端函數(shù)向量P(t)需要滿足以下三個(gè)條件：

(1) 在t=0時(shí)，s=0即E(0)=P(0)；

(3)P(t)存在一階微分并且有界。

(10)

由于閥控缸系統(tǒng)模型為三階，所以n=3，因此p(t)可寫為：

(11)

(12)

2.2 有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)閥控缸模型的狀態(tài)方程可得控制律為：

(14)

控制器設(shè)計(jì)為：

(15)

選擇Lyapunov函數(shù)為：

(16)

對(duì)時(shí)間t求微分，由控制率式(15)以及式(9)和式(14)可得：

=-c3ηssgn(s)

=-c3ηs

(17)

3 MATLAB仿真與分析

3.1 慣性負(fù)載下MATLAB仿真

由于在t=0時(shí)，E(0)=P(0),可以看出系統(tǒng)在初始狀態(tài)時(shí)已在滑模面上，消除了到達(dá)階段，保證了系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。為了測(cè)試所提出的終端滑?？刂撇呗圆⒀芯颗c圖1中閥控系統(tǒng)控制相關(guān)的基本問題，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行仿真，相關(guān)參數(shù)如表1所示。

分別選取參考函數(shù)xd=sint，xd=sin2πt，xd=5sint+sin2πt+sinπt/6以及xd=cost對(duì)系統(tǒng)及其控制方法進(jìn)行仿真研究。設(shè)定初始條件為X0=[0.5，0，0]T，在不考慮外界干擾的情況下選取η=0.1。對(duì)閥控缸系統(tǒng)進(jìn)行位置跟蹤，得到仿真結(jié)果。

由圖2、圖3可以看出，本研究設(shè)計(jì)的控制器不僅解決了閥控缸系統(tǒng)中位置跟蹤的非有限時(shí)間收斂到0

表1 模型參數(shù)

問題， 還實(shí)現(xiàn)了零誤差跟蹤。 實(shí)際信號(hào)將在所設(shè)定收斂時(shí)間T=3 s時(shí)穩(wěn)定。 通過圖2與圖3對(duì)比可以看出，在參考信號(hào)頻率增大時(shí)， 3.0 s之前會(huì)出現(xiàn)較大超調(diào)，但是控制器跟蹤性能不受影響。

圖2 xd=sint時(shí)閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線

當(dāng)參考信號(hào)xd=5sint+sin2πt+sinπ/6t時(shí)，位置跟蹤軌跡與跟蹤誤差如圖4所示。本研究所設(shè)計(jì)控制器可實(shí)現(xiàn)對(duì)不同頻率信號(hào)的跟蹤。在收斂時(shí)間3.0 s之前，跟蹤誤差隨參考信號(hào)頻率的增加而增加。

通過圖2～圖5可以看出，此控制方法不僅適用于參考信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí)，同時(shí)也適用于余弦信號(hào)。當(dāng)參考信號(hào)為余弦信號(hào)時(shí)，在未完全收斂之前，系統(tǒng)位置跟蹤誤差較小，魯棒性較強(qiáng)。

圖3 xd=sin2πt閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線

圖4 xd=5sint+sin2πt+sinπt/6的閥控缸位置跟蹤曲線及跟蹤誤差曲線

3.2 存在外界干擾情況下系統(tǒng)仿真

在存在外界干擾的情況下，采用控制律(15)，假設(shè)外界干擾d(t)是一個(gè)有界函數(shù)，即d(t)≤D。取η=50并用飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)及控制器進(jìn)行MATLAB仿真。分別選取參考信號(hào)xd=sint，xd=cost。

在存在外界干擾且參考信號(hào)為和時(shí)，MATLAB仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖可以看出，期望軌跡與實(shí)際軌跡并未完全重合，但都是有界的并且跟蹤誤差控制在一個(gè)很小的范圍內(nèi)。

圖5 xd=cost的閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線

圖6 xd=sint時(shí)閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線

通過圖8比較傳統(tǒng)滑?？刂频母櫩刂菩Ч徒K端滑模控制位置跟蹤誤差曲線，可以看出傳統(tǒng)的滑?？刂瓶蓪?shí)現(xiàn)位置跟蹤漸近收斂，并且誤差較大。對(duì)于終端滑模控制，液壓缸伸出桿位置跟蹤誤差可實(shí)現(xiàn)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，跟蹤誤差控制在一個(gè)小范圍內(nèi)。

圖7 xd=cost的閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線

圖8 xd=sint終端滑模與傳統(tǒng)滑模跟蹤誤差曲線

4 結(jié)論

建立了有無外界干擾情況下閥控缸系統(tǒng)模型，并基于控制系統(tǒng)的滑?？刂品椒▽?duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析提出了一種終端滑模控制方法可實(shí)現(xiàn)位置跟蹤在有限時(shí)間內(nèi)完全收斂。由于在液壓系統(tǒng)中，正弦信號(hào)和基于正弦信號(hào)的衍生信號(hào)常被應(yīng)用于對(duì)產(chǎn)品的測(cè)試中。最終應(yīng)用閥控缸系統(tǒng)模型對(duì)控制方法進(jìn)行MATLAB仿真，得出以下結(jié)論。

(1) 通過設(shè)計(jì)終端函數(shù)使得系統(tǒng)初始狀態(tài)位于滑模面上，消除了達(dá)到階段，保證了系統(tǒng)的全局魯棒性和穩(wěn)定性;

(2) 終端滑?？刂品椒ǖ目刂平Y(jié)構(gòu)及控制率具有普適性，可應(yīng)用于高階系統(tǒng)，并且收斂時(shí)間可根據(jù)系統(tǒng)規(guī)格設(shè)定;

(3) 仿真結(jié)果表明，在位置參考信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí)可獲得良好的收斂性能。終端滑?？刂撇呗钥梢杂行Ы鉀Q此類型參考信號(hào)的軌跡跟蹤問題，并表現(xiàn)出良好魯棒性和抗干擾性能。