陶印修 陳超

【摘要】今年反向過(guò)年是熱話題，反向過(guò)年好理解，而逆運(yùn)算就不好理解。教師把書(shū)教明白那是必須的基本功。教師若能由淺入深地教會(huì)學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，往往能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文試圖從小學(xué)數(shù)學(xué)的加法與減法來(lái)理解互逆運(yùn)算的概念，函數(shù)的概念，反函數(shù)的概念。所謂的逆運(yùn)算是相對(duì)于正運(yùn)算而言，加法是正運(yùn)算，減法就是加法的逆運(yùn)算。把函數(shù)理解為正運(yùn)算有助于理解反函數(shù)概念，反函數(shù)就是函數(shù)的逆運(yùn)算。顯見(jiàn)正運(yùn)算簡(jiǎn)單，而逆運(yùn)算復(fù)雜，正逆運(yùn)算的結(jié)果是還原。

【關(guān)鍵詞】還原 互逆運(yùn)算 正運(yùn)算 逆運(yùn)算

一、簡(jiǎn)單的加法與減法

我們都知道等式2+3=5是一種加法運(yùn)算，由該等式可得另一等式5-3=2是一種減法運(yùn)算。

二、減法是加法的逆運(yùn)算

把上面的加法運(yùn)算與減法運(yùn)算中的2換成x，5換成y，可以抽象地把上面兩個(gè)等式寫(xiě)成x+3=y與y-3=x。

1.還原與互逆運(yùn)算

以上兩個(gè)等式不僅可以相互推導(dǎo)，而且其關(guān)鍵問(wèn)題是，原來(lái)的x經(jīng)過(guò)加法運(yùn)算“+”與減法運(yùn)算“-”兩種運(yùn)算后x又還原回來(lái)啦，這樣的兩種運(yùn)算就是互逆運(yùn)算。

2.正運(yùn)算與逆運(yùn)算

我們把加法運(yùn)算理解為正運(yùn)算，那減法運(yùn)算就是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算。

三、函數(shù)是帶未知量的運(yùn)算

函數(shù)概念比較抽象，若把函數(shù)理解為帶未知量的運(yùn)算就簡(jiǎn)單了。

在x+3=y中，y=x+3就是帶未知量x的加法運(yùn)算，故y=x+3就是函數(shù)。

容易理解x叫自變量，y叫因變量。自變量的允許取值范圍的全體叫函數(shù)的定義域。因變量的取值范圍叫函數(shù)的值域。

自變量是一個(gè)的函數(shù)叫一元函數(shù)，本文把一元函數(shù)作為研究對(duì)象。

y是函數(shù)，運(yùn)算通常用，來(lái)表示，函數(shù)y通常記作y=f（x）。本例中的運(yùn)算f的含義是f（）=（）+3。

函數(shù)y=f（x）的實(shí)質(zhì)，即運(yùn)算f是作用在函數(shù)y=f（x）定義域上的函數(shù)。

四、反函數(shù)

雖然函數(shù)概念比較抽象，那反函數(shù)概念更抽象。

1.本義反函數(shù)

在函數(shù)y=f（x）中，是用x表示y。所謂函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)就是反過(guò)來(lái)表示的函數(shù)，即用y表示x。函數(shù)y=（x）反函數(shù)的專(zhuān)用記號(hào)為x=f^-1（y），把函數(shù)x=f^-1（y）稱(chēng)為函數(shù)y=f（x）的本義反函數(shù)。

由前面的兩個(gè)等式知x=y-3就是y=x+3的本義反函數(shù)。即

案例1y=x+3的本義反函數(shù)為x=f^-1（y）=y-3。

需要強(qiáng)調(diào)指出，實(shí)際中用的就是本義反函數(shù)。

2.矯形反函數(shù)

習(xí)慣上自變量用字母x表示，因變量用字母y表示，但本義反函數(shù)x=f^-1（y）中的自變量與因變量的記法與習(xí)慣表示不一致，為了與習(xí)慣表示保持一致，需要把本義反函數(shù)x=f^-1（y）中的自變量與因變量互換位置，得y=f^-3（x），把函數(shù)y=f^-3（x）稱(chēng)為函數(shù)y=f（x）的矯形反函數(shù)（矯形反函數(shù)只是好看而已）。

案例2y=x+3的矯形反函數(shù)為y=f^-1（x）=x-3。

3.本義反函數(shù)與矯形反函數(shù)是同一函數(shù)

因運(yùn)算f^-1是作用在函數(shù)y=f（x）值域上的反函數(shù)，故本義反函數(shù)x=f^-1（y）與矯形反函數(shù)y=f^-1（x）實(shí)質(zhì)上是同一函數(shù)，正如趙本山與宋丹丹演的小品中說(shuō)的，你脫了馬甲我也認(rèn)識(shí)你是一樣一樣的。

案例3案例1與案例2是同一函數(shù)。其實(shí)質(zhì)為f^-1（）=（）-3。

五、反函數(shù)就是函數(shù)的逆運(yùn)算

我們把函數(shù)理解為正運(yùn)算，那反函數(shù)就是函數(shù)的逆運(yùn)算。事實(shí)上f^-1[f（x）]=f^-1（y）=x，x經(jīng)過(guò)正運(yùn)算“f”與逆運(yùn)算“f^-1”兩種運(yùn)算后x又還原回來(lái)啦，這樣的兩種運(yùn)算就是互逆運(yùn)算。