樊麗麗

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泰勒公式在微分幾何學中的應(yīng)用

樊麗麗

（唐山師范學院 數(shù)學與信息科學系，河北 唐山 063000）

就教學實際談了泰勒公式在微分幾何曲線曲面教學中的應(yīng)用。

泰勒公式；向量函數(shù)；微積分

數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)必修課主要講經(jīng)典的微分幾何，即空間中曲線和曲面的微分幾何。經(jīng)典微分幾何可以看作是數(shù)學分析應(yīng)用的舞臺，在這里微積分的作用發(fā)揮到了極致。尤其是泰勒公式在研究空間曲線與曲面時起著非常重要的作用，而且反復用到，如果在授課過程中注意前后聯(lián)系，強調(diào)方法，會達到很好的效果。本文結(jié)合筆者教學實際探討泰勒公式在經(jīng)典微分幾何中的應(yīng)用。相關(guān)符號完全參照有關(guān)文獻[1]。

微分幾何的主要工具是向量函數(shù)的微積分，向量函數(shù)的微積分是實函數(shù)微積分[2]的推廣。大部分實函數(shù)的微積分結(jié)論都可以直接推過來，但有某些定理卻不可以直接用，需要加以改進，如拉格朗日中值定理在向量函數(shù)中并不成立。設(shè)

但

時

的無窮小向量。

1 用泰勒公式研究曲線

2 用泰勒公式研究曲面

時

的無窮小向量。則距離

事實證明，用二元向量函數(shù)的泰勒展開式去討論曲面的第二基本形式要比課本[1]上的方式更利于學生理解。

3 用泰勒公式研究曲面域的面積

在討論曲面域的面積時，曲面域面積公式的推導過程往往不容易理解，此時若充分利用一元函數(shù)的泰勒展開式去推，可以降低理解的難度。當分割無限加細時[1]，曲邊四邊形可以近似看成是平行四邊形，因此，曲邊四邊形的面積近似等于平行四邊形的面積。

因此曲邊四邊形的面積近似為

因此，曲面域的面積公式為

[1] 梅向明,黃敬之.微分幾何(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008:1-109.

[2] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版上冊)[M].北京:高等教育出版社,2010:134-139.

[3] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版下冊)[M].北京:高等教育出版社,2010:127-135.

Application of Taylor Formula in the Teaching of Differential Geometry

FAN Li-li

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

According to teaching practice, the application of Taylor's formula in the teaching of curve and surface in differential geometry is discussed.

Taylor formulae; vector function; differential and integral calculus

O186.11

A

1009-9115(2019)03-0037-02

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.010

唐山師范學院教育教學改革項目（2017001009）

2018-09-19

2019-03-11

樊麗麗（1981-），女，河北保定人，碩士，講師，研究方向為微分幾何。

（責任編輯、校對：趙光峰）