貼附型局域共振聲子晶體雙層板的帶隙特性*

錢登輝， 史治宇， 吳靜紅

(1.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院 蘇州，215011) (2. 南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

引 言

雙層板以其質(zhì)量輕、剛度大以及抗沖擊性能好等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于潛艇、飛機(jī)、汽車以及大型發(fā)電機(jī)組等工業(yè)產(chǎn)品的外殼結(jié)構(gòu)[1-2]。振動(dòng)的傳播大多以固體結(jié)構(gòu)為主要介質(zhì)，其傳播距離遠(yuǎn)、衰減小，且在傳播過程中不斷向外輻射噪聲。以飛機(jī)艙室為例，發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)和空氣動(dòng)力等引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳播至艙室周邊的結(jié)構(gòu)引起其振動(dòng)，繼而向艙室內(nèi)輻射噪聲，從而給乘客的舒適性帶來一定的影響。聲子晶體概念的提出為結(jié)構(gòu)減振降噪的理論研究和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)開辟了新的研究方向。聲子晶體是一種具有彈性波帶隙特性的人工周期材料，在帶隙頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)無法通過聲子晶體傳播，所以在減振降噪領(lǐng)域具備廣闊的應(yīng)用前景。過去幾十年來，聲子晶體的研究大多集中在帶隙計(jì)算方法和特性研究。Bragg散射[3-5]和局域共振[3,6-8]是帶隙能夠被打開的兩種主要機(jī)理，前者的帶隙所對(duì)應(yīng)頻段比后者高兩個(gè)數(shù)量級(jí)[6]，這就意味著只有局域共振型聲子晶體才可以通過較小的周期尺寸來抑制較低頻率的振動(dòng)傳播。因此，通過將傳統(tǒng)局域共振型聲子晶體的設(shè)計(jì)思路引入到雙層板中構(gòu)成局域共振型聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)，并對(duì)其展現(xiàn)出的帶隙特性進(jìn)行詳細(xì)研究，為處理工程上低頻域減振降噪設(shè)計(jì)具有理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

近年來，通過在一些如桿、梁、單板等基本彈性結(jié)構(gòu)中引入局域共振型聲子晶體設(shè)計(jì)思路所構(gòu)成的周期性結(jié)構(gòu)獲得了廣泛的研究。對(duì)于桿梁結(jié)構(gòu)，Wang等[9]研究了縱向彈性波在由周期貼附諧振子的細(xì)長梁所構(gòu)成的準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu)中的傳播特性。Yu等[10]通過實(shí)驗(yàn)和理論相結(jié)合研究了在周期布置諧振子的鐵摩辛柯梁中的彎曲振動(dòng)特性，理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果具備很好的一致性。對(duì)于局域共振型聲子晶體單板結(jié)構(gòu)，在研究過程中形成了兩種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思路：a.填充型系統(tǒng)，主要是通過將單板周期挖孔并填充軟材料而形成；b.貼附型系統(tǒng)，通過在單板表面周期貼附共振單元而形成。文獻(xiàn)[11-12]分別以橡膠和包覆橡膠的硬材料作為共振單元研究了二元和三元填充型局域共振聲子晶體單板結(jié)構(gòu)的帶隙特性，結(jié)果表明，通過一定的參數(shù)調(diào)節(jié)，在低頻域均可獲得一條完整的帶隙，并且通過對(duì)半徑、厚度等相關(guān)參數(shù)的調(diào)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)帶隙的調(diào)控。與填充型系統(tǒng)類似，Oudich等[13]分別研究了在單板表面周期貼附柱狀橡膠共振單元和橡膠-鉛共振單元所構(gòu)成的二元和三元貼附型系統(tǒng)的帶隙特性，并指出低頻帶隙是所貼附共振單元的局域共振與基板Lamb 波模態(tài)相互耦合的結(jié)果。此外，以彈簧振子作為貼附型系統(tǒng)共振單元的簡化模型， Xiao等[14]研究了彎曲波在周期布置彈簧-質(zhì)量塊的單板結(jié)構(gòu)上的傳播特性，并且發(fā)現(xiàn)彈簧-質(zhì)量塊的共振頻率與帶隙存在很大的對(duì)應(yīng)關(guān)系。上述所有關(guān)于貼附型系統(tǒng)的研究均展示了能帶結(jié)構(gòu)可以在低頻域打開一條帶隙，但是由于對(duì)應(yīng)于沿著板面方向振動(dòng)模態(tài)和垂直于板面方向振動(dòng)模態(tài)的能帶錯(cuò)綜交織在一起，因而帶隙寬度很窄。基于此， Ma等[15]提出了一個(gè)由3層球狀共振單元構(gòu)成的新的局域共振型聲子晶體單板結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)由該種結(jié)構(gòu)形成的能帶結(jié)構(gòu)圖中出現(xiàn)了一個(gè)較寬的低頻段帶隙。在填充型系統(tǒng)和貼附型系統(tǒng)的研究基礎(chǔ)上， Li等[16]將這兩種系統(tǒng)的共振單元結(jié)合起來，研究了Lamb波在由該種綜合型共振單元構(gòu)成的聲子晶體單板結(jié)構(gòu)中的傳播特性，發(fā)現(xiàn)該種聲子晶體板的帶隙較原有兩類聲子晶體板的帶隙均有了很大改善。Qian等[17]通過在彈簧振子周圍環(huán)繞附加彈簧，研究了由該類共振單元構(gòu)成的局域共振型聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)傳輸特性。

筆者在現(xiàn)有對(duì)形式各異的局域共振型聲子晶體單板結(jié)構(gòu)帶隙特性研究的基礎(chǔ)上，通過在雙層板間周期貼附由軟-硬-軟材料構(gòu)成的共振單元，從而構(gòu)造貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)。采用有限元法研究其帶隙的形成機(jī)制和調(diào)節(jié)規(guī)律，并通過與相應(yīng)單板結(jié)構(gòu)的帶隙特性進(jìn)行對(duì)比，研究了單/雙板的通性以及雙板的特性。此外，還研究了空腔與雙層板間聲振耦合效應(yīng)以及軟材料黏性對(duì)帶隙的影響規(guī)律和機(jī)理。

1 模型和方法

如圖1(a)所示，貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)是通過在雙層板結(jié)構(gòu)的上下板面之間周期貼附2組分圓柱狀局域共振柱體而形成。對(duì)于該柱體，其由上中下3層粘貼而成，其中上層和下層完全一致，由軟材料橡膠構(gòu)成，而中間層由硬材料鉛構(gòu)成。此外，雙層板的上下板完全一致，且由鋁材料構(gòu)成。在晶胞中，晶格常數(shù)、上下板的厚度、圓柱狀柱體的半徑、橡膠層柱體的高度以及鉛層柱體的高度分別為a，e,r,h1和h2，如圖1(b)所示。表1給出了計(jì)算所用到的所有材料參數(shù)。筆者在研究材料為線彈性和各向同性時(shí)該結(jié)構(gòu)的帶隙特性基礎(chǔ)上，繼而研究了軟材料黏性對(duì)帶隙的影響規(guī)律。

對(duì)于貼附型局域共振聲子晶體雙層板的能帶結(jié)構(gòu)，采用有限元法來計(jì)算，并且借助于商業(yè)軟件COMSOL Multiphysics來實(shí)現(xiàn)。對(duì)于有限元網(wǎng)格的劃分，均采用四面體網(wǎng)格且晶胞的有限元模型如圖1(c)所示。從圖中可以看出，在計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)時(shí)只需考慮單個(gè)晶胞，這可以歸因于結(jié)構(gòu)的周期性。對(duì)于邊界條件，非接觸面均采用無壓力自由邊界條件，而相鄰晶胞的交界面采用由Bloch-Floquet定理導(dǎo)出的周期邊界條件[12-13]，即

ui(x+a,y+a)=ui(x,y)e-i(kxa+kya)

(i=x,y,z)

(1)

其中：當(dāng)i取x，y和z時(shí)，ui分別表示沿x方向、y方向和z方向的位移；kx和ky為不可約Brillouin區(qū)邊界上的二維Bloch波矢k沿x方向和y方向的分量(見圖1(d))。

對(duì)于有限元網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格尺寸越小，計(jì)算收斂性越好，但相應(yīng)計(jì)算時(shí)間越長。所以，選擇合適的網(wǎng)格劃分很重要。模型中由于橡膠比環(huán)氧樹脂和鉛軟，變形更大，所以橡膠層的網(wǎng)格劃分必須要更細(xì)化。

將周期邊界條件式(1)代入到自由振動(dòng)的有限元特征方程中，可以得到

(K-ω2M)u=0

(2)

在式(2)中，剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M均含有與Bloch波矢相耦合的項(xiàng)，與傳統(tǒng)有限元特征方程中的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣有所區(qū)別。

式(2)即為關(guān)于ω2的典型廣義特征值問題。對(duì)于每一給定的Bloch波矢k，通過求解特征值可得到相應(yīng)的一系列特征頻率。通過遍歷所有的不可約Brillouin區(qū)邊界上的波矢，最終可得到該貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)。

2 數(shù)值結(jié)果和分析

2.1 能帶結(jié)構(gòu)、位移場及傳輸曲線

圖2(b)給出了貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，其中計(jì)算所用到的材料參數(shù)和幾何參數(shù)分別如表1和表2所示。為了驗(yàn)證計(jì)算所得能帶結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性，相應(yīng)有限雙層板結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)的傳輸曲線分別如圖2(a)和(c)所示。該有限雙層板結(jié)構(gòu)由8×8個(gè)晶胞周期排列而成，并且激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)分別放置在下板的一端和上板的另一端，如圖3所示。

表1 計(jì)算所用到的材料參數(shù)

表2 計(jì)算所用到的幾何參數(shù)

圖2 貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)有限8×8雙層板結(jié)構(gòu)的傳輸曲線Fig.2 Band structure of the proposed double panel structure and transmission power spectrums of the corresponding finite 8×8 system

圖3 由8×8個(gè)晶胞周期排列而成的有限局域共振雙層板結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.3 Meshing of the finite locally resonant double panel structure made of 8×8 unit cells

由圖2(b)可以看到，能帶結(jié)構(gòu)在72～83 Hz之間打開了一條狹窄的帶隙；但是由圖2(a)和(c)可以看到，不論是彎曲振動(dòng)還是縱向振動(dòng)在有限結(jié)構(gòu)中傳遞，傳輸曲線的衰減頻域均非常寬，這與已有研究中所得的無限結(jié)構(gòu)的帶隙頻段和有限結(jié)構(gòu)的衰減頻段相吻合這一結(jié)論[17-19]相違背。為了發(fā)現(xiàn)更多雙層板結(jié)構(gòu)傳輸曲線的衰減特性，當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)均放置在下板時(shí)，縱向振動(dòng)傳輸曲線如圖2(d)所示。由圖可以看出，激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)放置在不同板時(shí)的縱向振動(dòng)傳輸曲線所存在的很寬的衰減頻域并未出現(xiàn)在這里，并且與之對(duì)應(yīng)的頻域內(nèi)的振動(dòng)還有所加強(qiáng)。為了揭示該有限局域共振雙層板結(jié)構(gòu)的傳輸曲線展示出來的典型現(xiàn)象的機(jī)理，作出了與圖2(b)中標(biāo)注的特征模態(tài)相對(duì)應(yīng)的位移場，如圖4所示。

圖4 與圖2(b)中標(biāo)注的特征模態(tài)相對(duì)應(yīng)的位移場Fig.4 The displacement fields of eigenmodes labeled in Fig. 2(b)

對(duì)于模態(tài)B3,B8和B9，位移場為柱體共振單元沿z方向拉伸振動(dòng)的模態(tài)與雙層板垂直板面向外彎曲振動(dòng)的模態(tài)共同作用的結(jié)果。其中：模態(tài)B3中振動(dòng)能量集中在柱體中而雙層板保持靜止；模態(tài)B8和B9則是柱體中的鉛層充當(dāng)靜止層，但不同的是，模態(tài)B8中上下板以相反的相位達(dá)到彎曲振動(dòng)動(dòng)態(tài)平衡,而模態(tài)B9中上下板以相同的相位達(dá)到彎曲振動(dòng)動(dòng)態(tài)平衡?；诖?，模態(tài)B8和B9被分別稱之為對(duì)稱彎曲振動(dòng)模態(tài)和反對(duì)稱彎曲振動(dòng)模態(tài)。這些模態(tài)耦合作用的結(jié)果，一條在模態(tài)B3,B8和B9之間的頻率區(qū)間為72～230 Hz的局部彎曲振動(dòng)帶隙被打開，該帶隙頻段與圖2(a)所示的彎曲振動(dòng)傳輸曲線中的衰減頻段基本吻合。

對(duì)于模態(tài)B1和B2，位移場為柱體共振單元繞xy平面內(nèi)軸線旋轉(zhuǎn)振動(dòng)的模態(tài)與雙層板垂直板面向外剪切振動(dòng)的模態(tài)相互耦合的結(jié)果。其中，模態(tài)B1和B2中振動(dòng)能量集中在柱體中而雙層板保持靜止。對(duì)于模態(tài)B4～B7，位移場為柱體共振單元沿xy平面內(nèi)軸線平移振動(dòng)的模態(tài)與雙層板在板面內(nèi)剪切振動(dòng)的模態(tài)共同作用的結(jié)果。在這4種振動(dòng)模態(tài)中，柱體的中間鉛層均保持靜止。不同的是，模態(tài)B4和B5中上下板以相反的相位達(dá)到縱向振動(dòng)動(dòng)態(tài)平衡，而模態(tài)B6和B7中上下板以相同的相位達(dá)到縱向振動(dòng)動(dòng)態(tài)平衡。相似地，模態(tài)B4～B5和模態(tài)B6～B7被分別稱之為反對(duì)稱縱向振動(dòng)模態(tài)和對(duì)稱縱向振動(dòng)模態(tài)。作為這些模態(tài)耦合作用的結(jié)果，一條頻率區(qū)間為66～83Hz的局部縱向振動(dòng)帶隙被打開，但在圖2(c)和(d)所示的相應(yīng)頻段的縱向振動(dòng)傳輸曲線中的衰減并不明顯，這與文獻(xiàn)[20]所描述的現(xiàn)象一致。

此外，由圖4可以看出，反對(duì)稱縱向振動(dòng)模態(tài)B4中上板的振動(dòng)相位與對(duì)稱縱向振動(dòng)模態(tài)B6中上板的振動(dòng)相位相反。同樣地，反對(duì)稱縱向振動(dòng)模態(tài)B5中上板的振動(dòng)相位與對(duì)稱縱向振動(dòng)模態(tài)B7中上板的振動(dòng)相位相反。于是，當(dāng)振動(dòng)模態(tài)B4～B7相疊加時(shí)，上層板的振動(dòng)便被削弱，這就是圖2(c)所示的激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)分別放置在上下板時(shí)縱向振動(dòng)傳輸曲線中存在很寬頻段衰減域的原因。與此同時(shí)，在疊加過程中，下層板的振動(dòng)會(huì)加強(qiáng)，這同樣是因?yàn)閳D2(d)所示的激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)均放置在下板時(shí)縱向振動(dòng)傳輸曲線中存在很寬頻段加強(qiáng)域。為了進(jìn)一步說明該衰減特性，給出了頻率落在衰減域的有限雙層板結(jié)構(gòu)的振型圖，如圖5所示。這里，計(jì)算所用到的模型如圖3所示，激勵(lì)點(diǎn)施加三個(gè)方向的位移激勵(lì)并且頻率點(diǎn)選為f=140 Hz。由圖5可以看出，當(dāng)彎曲激勵(lì)和縱向激勵(lì)均施加于下板時(shí)，彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)均無法通過上層板傳播，而僅僅縱向振動(dòng)可以通過下層板傳播?？偟膩碚f，當(dāng)振源和響應(yīng)域分別在雙層板結(jié)構(gòu)的異側(cè)時(shí)，以模態(tài)B2和B3對(duì)應(yīng)的更高頻率為起始頻率以及模態(tài)B8對(duì)應(yīng)的頻率為終止頻率的帶隙可以被認(rèn)為是一條在相應(yīng)有限結(jié)構(gòu)中彎曲和縱向振動(dòng)均有衰減的完全帶隙。

圖5 頻率落在衰減域的有限雙層板結(jié)構(gòu)的振型圖(f=140 Hz)Fig.5 The vibration mode of the frequency located inside the frequency range of attenuation(f=140 Hz)

2.2 聲振耦合對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響

圖6 晶胞內(nèi)結(jié)構(gòu)有限元模型及空腔有限元模型Fig.6 Meshing of the structure and cavity in a unit cell

如果不忽略雙板間的空氣，則可進(jìn)一步考慮聲振耦合效應(yīng)對(duì)貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的影響。這里分別對(duì)晶胞內(nèi)結(jié)構(gòu)部分和空腔部分進(jìn)行有限元建模，如圖6所示，并分別在結(jié)構(gòu)和空腔部分的邊界上布置周期邊界條件。計(jì)算用到的結(jié)構(gòu)部分材料參數(shù)和幾何參數(shù)均與表1和表2所示相同。此外，空腔部分空氣的參數(shù)為：密度ρ0=1.29 kg/m3；聲速c0=340 m/s。

與圖2類似，圖7給出了考慮聲振耦合效應(yīng)時(shí)的貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)、激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)放置在不同板時(shí)的彎曲振動(dòng)傳輸曲線、激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)放置在不同板時(shí)的縱向振動(dòng)傳輸曲線,以及激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)放置在相同板時(shí)的縱向振動(dòng)傳輸曲線。通過對(duì)比7(b)和2(b)可以發(fā)現(xiàn)，聲振耦合對(duì)帶隙形成的主要能帶B1～B7和反對(duì)稱彎曲振動(dòng)能帶B9基本無影響，但卻對(duì)對(duì)稱彎曲振動(dòng)能帶B8影響較大，使得原有帶隙將不再被打開。但是對(duì)比圖7(a)，(c)，(d)和圖2(a)，(c)，(d)可以發(fā)現(xiàn)，雖然聲振耦合對(duì)傳輸曲線有影響，但是并不影響激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)放置在不同板時(shí)的彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)的傳輸衰減頻域，且同樣激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)放置在相同板時(shí)的縱向振動(dòng)傳輸曲線不存在衰減區(qū)域。由此可見，傳輸曲線展現(xiàn)出的現(xiàn)象與能帶結(jié)構(gòu)展現(xiàn)的現(xiàn)象不一致。為了進(jìn)一步揭示該特性，筆者作出了頻率落在衰減域的有限雙層板結(jié)構(gòu)的振型和空腔內(nèi)的聲壓場。

圖7 考慮聲振耦合效應(yīng)的貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)有限8×8雙層板結(jié)構(gòu)的傳輸曲線Fig.7 Band structure of the proposed double panel structure and transmission power spectrums of the corresponding finite 8×8 system with the coupling between sound and vibration

圖8 頻率落在衰減域的有限雙層板結(jié)構(gòu)的振型圖(f=160 Hz)Fig.8 The vibration mode of the frequency located inside the frequency range of attenuation(f=160 Hz)

圖9 頻率落在衰減域的有限雙層板結(jié)構(gòu)的聲壓場(f=160 Hz)Fig.9 The sound pressure field of the frequency located inside the frequency range of attenuation(f=160 Hz)

圖8和圖9分別給出了頻率落在衰減域的有限雙層板結(jié)構(gòu)的振型和空腔內(nèi)的聲壓場。這里，激勵(lì)點(diǎn)施加三個(gè)方向的位移激勵(lì)并且頻率點(diǎn)選為f=160 Hz。由圖可以看出，在衰減頻域內(nèi)，當(dāng)彎曲激勵(lì)和縱向激勵(lì)均施加于下板時(shí)，彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)均無法通過上層板傳播，而僅僅縱向振動(dòng)可以通過下層板傳播；但是聲壓則可以沿著空腔無限傳播。這就是圖7(b)所示能帶結(jié)構(gòu)中帶隙不能被打開的原因，即能帶B8表征了雙板對(duì)稱彎曲振動(dòng)模態(tài)與空腔內(nèi)聲場相耦合，雖然結(jié)構(gòu)部分振動(dòng)被抑制，但聲場部分卻一直在傳播。對(duì)于外場來講，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和經(jīng)由結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶來的輻射噪聲可以認(rèn)為被很好地抑制。因此，基于減振降噪的應(yīng)用背景，在研究包含空氣聲腔的雙層板能帶結(jié)構(gòu)的帶隙特性時(shí)，聲振耦合效應(yīng)可以完全被忽略。

2.3 同參數(shù)下雙板結(jié)構(gòu)與單板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)對(duì)比

若圖1(a)所示的貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的上層板和上層柱體橡膠層被取走，則可形成貼附型局域共振聲子晶體單板結(jié)構(gòu)。該單板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)如圖10(a)所示。其中，計(jì)算用到的參數(shù)與圖2(b)所示的參數(shù)一致，具體如表1和2所示。為了便于對(duì)比，再次給出了圖2(b)所示同參數(shù)下的雙層板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，如圖10(b)所示。此外，給出了與圖10(a)中標(biāo)注的特征模態(tài)相對(duì)應(yīng)的位移場，如圖11所示。

圖10 同參數(shù)下局域共振型聲子晶體Fig.10 Band structures of the locally resonant single plate and the locally resonant double panel with the same parameters

圖11 與圖10(a)中標(biāo)注的特征模態(tài)相對(duì)應(yīng)的位移場Fig.11 The displacement fields of eigenmodes labeled in Fig. 10(a)

與雙層板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)相似，位移場為柱體共振單元沿z方向拉伸振動(dòng)的模態(tài)與單板垂直板面向外彎曲振動(dòng)的模態(tài)耦合作用的振動(dòng)模態(tài)b3和b6在51～235 Hz之間打開了一條局部彎曲振動(dòng)帶隙。此外，位移場為柱體共振單元繞xy平面內(nèi)軸線旋轉(zhuǎn)振動(dòng)的模態(tài)與單板垂直板面向外剪切振動(dòng)的模態(tài)耦合作用的振動(dòng)模態(tài)b1和b2以及位移場為柱體共振單元沿xy平面內(nèi)軸線平移振動(dòng)的模態(tài)與雙層板在板面內(nèi)剪切振動(dòng)的模態(tài)耦合作用的振動(dòng)模態(tài)b4和b5的共同作用下,在47.2～-83 Hz之間打開了一條局部縱向振動(dòng)帶隙。因此，在彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)的共同作用下一條較為狹窄的帶隙在51～83Hz之間被打開。

圖12 用于幫助理解振動(dòng)模態(tài)的“基底-彈簧-質(zhì)量塊”簡化模型Fig.12 The simplified base-spring-mass models applied to help understand the vibration modes

總的來說，同參數(shù)下局域共振型聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)和單板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)之間有很多相似之處，且相應(yīng)能帶的整體趨勢(shì)大致相同。此外，一些雙層板結(jié)構(gòu)的能帶可以被認(rèn)為是單板結(jié)構(gòu)的能帶分開而形成的。但是從減振降噪的角度來說，當(dāng)激勵(lì)和響應(yīng)域在結(jié)構(gòu)的不同側(cè)時(shí)，雙層板結(jié)構(gòu)所擁有的很寬的完整帶隙這一性質(zhì)是單板結(jié)構(gòu)所遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能比擬的。

2.4 各參數(shù)對(duì)雙層板結(jié)構(gòu)帶隙的影響規(guī)律

振源和接收者常常處于雙層板結(jié)構(gòu)的不同板的一側(cè)。因此，在下面的研究中由能帶B2,B3和B8所打開的帶隙被用來作為研究對(duì)象。這里柱體橡膠層的高度h1、柱體鉛層的高度h2、柱體半徑r、上下板的厚度e以及晶格常數(shù)a被選取為影響參數(shù)，用來研究幾何參數(shù)對(duì)帶隙的起始頻率f2(或f3)、終止頻率f8和帶隙寬度fw的影響規(guī)律。在研究過程中，除了影響參數(shù)外別的參數(shù)均與圖2(a)所示算例的參數(shù)一致，具體如表1和表2所示。

圖13 帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw與柱體橡膠層高度h1之間的關(guān)系Fig.13 The influences of rubber layer height in the pillar h1 on f2,f3,f8 and fw

圖14給出了柱體鉛層高度h2對(duì)帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw的影響關(guān)系，fw同樣由起始頻率f3和終止頻率f8決定。由圖可以看出，f2和f3均隨著h2的增大而減小，這是因?yàn)橹w鉛層的等效質(zhì)量m隨著h2的增大而增大。而f8基本不受h2的影響，這是因?yàn)樵趫D4所對(duì)應(yīng)的B8振動(dòng)模態(tài)中鉛層是靜止不動(dòng)的。于是，h2對(duì)f3和f8的影響關(guān)系使得fw隨h2的增大而增大，如圖14所示。

圖14 帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw與柱體鉛層高度h2之間的關(guān)系Fig.14 The influences of Pb layer height in the pillar h2 on f2, f3, f8 and fw

圖15 帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw與柱體半徑r之間的關(guān)系Fig.15 The influences of pillar radius r on f2,f3,f8 and fw

柱體半徑r對(duì)帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw的影響關(guān)系如圖15所示。由圖可以看出，隨著r的增大，f2和f3緩慢地增大，這是因?yàn)榈刃偠萲和等效質(zhì)量塊質(zhì)量m均隨著r的增大而增大，并且k的增大幅度略大于m的增大幅度。此外，隨著r的增大，f8急速地增大，這是因?yàn)槌洚?dāng)質(zhì)量塊的鉛層在這里保持靜止，僅僅k的增大使得f8的增長幅度比f2和f3大得多。于是，終止頻率f8的急速增大和起始頻率f3的緩慢增大使得fw隨著r的增大而增大。

圖16 帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw與上下板厚度e之間的關(guān)系Fig.16 The influences of base plate thickness e on f2,f3,f8 and fw

圖17 當(dāng)e分別取3和7 mm時(shí)振動(dòng)模態(tài)B2 和B3所對(duì)應(yīng)的位移場Fig.17 The displacement fields of modes B2 and B3 when e takes the value of 3 and 7mm respectively

圖16給出了上下板的厚度e對(duì)帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw的影響關(guān)系。由圖可以看出，e=3.42 mm是臨界值。當(dāng)板的厚度小于該值時(shí)，fw由起始頻率f2和終止頻率f8決定；而當(dāng)板的厚度大于該值時(shí)，fw由起始頻率f3和終止頻率f8決定。此外，f2和f3均隨著e的增大而增大，這可以借助于圖17來幫助理解。該圖分別展示了當(dāng)e取3和7 mm時(shí)振動(dòng)模態(tài)B2和B3所對(duì)應(yīng)的位移場。由圖可以看出，振動(dòng)模態(tài)B2和B3中上下板并非絕對(duì)靜止，并且當(dāng)e取3 mm時(shí)上下板的振動(dòng)更容易展現(xiàn)出來，這是因?yàn)閷?shí)際振動(dòng)中板存在一定的剛度，并且該剛度隨著板的厚度的減小而減小。因此，在這里等效彈簧剛度k可以進(jìn)一步認(rèn)為是板與柱體橡膠層共同作用的結(jié)果。由于隨著e的增大，板的彎曲剛度增大，繼而k也增大，這就導(dǎo)致f2和f3也隨之增大。此外，由于隨著e的增大，板的等效質(zhì)量M也增大，因此f8隨之減小。于是，終止頻率f8的減小和起始頻率f2(或f3)的增大使得fw隨著e的增大而減小。

圖18 帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw與晶格常量a之間的關(guān)系Fig.18 The influences of lattice constant a on f2,f3,f8 and fw

圖19 當(dāng)a分別取85和200 mm時(shí)振動(dòng)模態(tài)B2和B3所對(duì)應(yīng)的位移場Fig.19 The displacement fields of modes B2 and B3 when a takes the value of 85and 200 mm respectively

圖18給出了晶格常量a對(duì)帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw的影響關(guān)系。從圖中可以看出，a=0.132m是臨界值。當(dāng)晶格常量小于該值時(shí)，fw由起始頻率f3和終止頻率f8決定；而當(dāng)晶格常量大于該值時(shí)，fw由起始頻率f2和終止頻率f8決定。此外，隨著a的增大，f2基本保持不變，而f3減小，這同樣可以借助于圖19所示的當(dāng)a分別取0.085和0.2 m時(shí)，振動(dòng)模態(tài)B2和B3所對(duì)應(yīng)的位移場來幫助理解。由圖可以看出，板的等效剛度隨著a的增大而減小，但是振動(dòng)模態(tài)B2中板的等效剛度的變化不是很明顯，而振動(dòng)模態(tài)B3中板的等效剛度的變化則很大，這就是f2和f3隨著a的增大分別保持不變和減小的原因。另外，由于隨著a的增大，板的等效質(zhì)量M也增大，所以f8隨之減小。于是，終止頻率f8的快速減小和起始頻率f2的基本不變(或f3的緩慢減小)使得fw隨著e的增大而減小。

2.5 柱體橡膠層黏性對(duì)雙層板結(jié)構(gòu)帶隙的影響規(guī)律

當(dāng)考慮復(fù)合板軟材料的黏性作用時(shí)，在頻域內(nèi)，軟材料的各模量是與頻率相關(guān)的，方程(2)的特征值問題需要通過迭代過程來求解，具體計(jì)算流程可參照文獻(xiàn)[21-23]。

圖20(a)，(b)和(c)顯示了橡膠層松弛時(shí)間為τ=3×10-5s，初始-終止值比α分別取1.5，2.0和3.0時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)圖。其中，計(jì)算用到的參數(shù)如表1和表2所示。由圖可以看出，α對(duì)所有能帶均有顯著影響。為了進(jìn)一步說明該影響規(guī)律，作出了帶隙臨界頻率f2，f3，f8和帶隙寬度fw隨α的變化曲線圖，如圖20(d)所示。由圖可以看出，隨著α的增大，頻率f2,f3和f8均減小。此外，帶隙終止頻率f8的減小速率大于起始頻率f2的減小速率，這是因?yàn)樵谘芯康念l域內(nèi)(300 Hz以下)，軟材料的材料參數(shù)的變化率隨著頻率的增大而增大[23]，導(dǎo)致帶隙寬度fw也隨著α的增大而減小。由此可見，通過增大黏彈性軟材料的初始-終止值比對(duì)降低貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)的帶隙起始頻率起到積極作用，但同時(shí)也會(huì)縮減其帶隙寬度。

圖20 黏彈性材料松弛時(shí)間為τ=3×10-5 s時(shí)不同初始-終止值比下的能帶結(jié)構(gòu)對(duì)帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw的影響關(guān)系Fig.20 Band structures with the viscidity of soft material considered when relax time τ=3×10-5 s, the influences of initial-final value ratio α on critical frequencies f2,f3,f8 and bandgap width fw

圖21 黏彈性材料初始-終止值比為α=2.0時(shí)不同松弛時(shí)間下的能帶結(jié)構(gòu)對(duì)帶隙臨界頻率f2,f3,f8和帶隙寬度fw的影響關(guān)系Fig.21 Band structures with the viscidity of soft material considered when initial-final value ratio α=2.0, the influences of relax time τ on critical frequencies f2,f3,f8 and bandgap width fw

圖21(a)，(b)和(c)顯示了軟材料初始-終止值比為α=2.0，松弛時(shí)間τ分別取3×10-5，1×10-4，5×10-4s時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)圖。其中，計(jì)算用到的參數(shù)同樣如表1和表2所示。由圖可以看出，τ對(duì)高頻段能帶影響顯著，但對(duì)低頻段能帶幾乎沒影響。為了進(jìn)一步說明該影響規(guī)律，作出了帶隙臨界頻率f2，f3，f8和帶隙寬度fw隨τ的變化曲線圖，如圖21(d)所示。由圖可以看出，隨著τ的增大，頻率f8增大，而f2和f3幾乎不變，這可以歸因于在研究的頻域內(nèi)(300 Hz以下)，軟材料的材料參數(shù)的變化率隨著頻率的增大而增大，并且在低頻段不同的松弛時(shí)間所對(duì)應(yīng)的軟材料參數(shù)均趨于同一定值，為黏彈性軟材料參數(shù)的終止值[23]。由于終止頻率f8的增大以及起始頻率f2幾乎不變，所以帶隙寬度fw也隨著τ的增大而增大。由此可見，通過增大黏彈性軟材料的松弛時(shí)間對(duì)增大貼附型局域共振聲子晶體雙層板結(jié)構(gòu)帶隙寬度起到積極作用，且不會(huì)提高帶隙起始頻率。

3 結(jié) 論

1) 當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)位于上下異側(cè)板時(shí)，通過對(duì)能帶結(jié)構(gòu)和傳輸曲線進(jìn)行分析，一條起始頻率低并且?guī)秾挼耐耆珟犊梢员淮蜷_。通過對(duì)帶隙邊界能帶的特征模態(tài)相對(duì)應(yīng)的位移場進(jìn)行分析，不論是彎曲振動(dòng)還是縱向振動(dòng)，都展現(xiàn)出對(duì)稱與反對(duì)稱振動(dòng)模式。帶隙的打開可以認(rèn)為是共振單元的振動(dòng)模態(tài)和上下板的板振動(dòng)模態(tài)相互耦合作用的結(jié)果。通過對(duì)比分析，雙板結(jié)構(gòu)的能帶可以被考慮為在上下板作用下單板相對(duì)應(yīng)能帶分開而導(dǎo)致的。研究還表明，由空氣聲腔所帶來的聲振耦合效應(yīng)可以不考慮。

2) 分析相應(yīng)幾何參數(shù)對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響，可以歸納為：a.通過增加鉛層柱體的高度或者減小上下基板的厚度，可以降低帶隙起始頻率且增大帶隙寬度；b.通過增加橡膠層柱體高度，帶隙起始頻率和帶隙寬度同時(shí)獲得增長；c.通過增加柱體半徑或者減小晶格常數(shù)，可以增大帶隙寬度且對(duì)帶隙起始頻率影響不大。所有上述影響規(guī)律均可借助于“基底-彈簧-質(zhì)量塊”簡化模型獲得相應(yīng)解釋。此外，當(dāng)考慮軟材料黏性時(shí)，通過增大黏彈性軟材料的初始-終止值比或者減小黏彈性軟材料的松弛時(shí)間可以降低帶隙起始頻率，但同時(shí)也會(huì)縮減其帶隙寬度。