集值均衡與Browder變分包含問題解的存在性

張從軍,鞠貴垠,王月虎

(1.南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京210046;2.南京財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京210046)

1.引言

設(shè)C為Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中的非空子集,Y為Banach空間,P ?Y為錐.集值映射?:C×C?Y,集值均衡問題如下：

我們也可考慮弱集值均衡問題如下：

一般均衡問題為：

φ:C×C ?→R為二元映射.

變分不等式問題、最優(yōu)化問題、數(shù)學(xué)規(guī)劃、互補(bǔ)問題及不動點(diǎn)問題等都可轉(zhuǎn)化為均衡問題進(jìn)行統(tǒng)一研究.在對均衡問題的研究中,有些會涉及映射的半連續(xù)性(如[1-3]) 在這方面,文[4]對映射的定義域加上強(qiáng)制性條件情況下,去掉半連續(xù)性的假設(shè),得到了解的存在性結(jié)果.文[5]中引進(jìn)了自段密集的概念,對集值均衡問題進(jìn)行了推廣,文[6] 中去掉集合的凸性,討論集值均衡問題.

受以上工作的啟發(fā),本文進(jìn)一步討論集值均衡問題和變分包含問題.利用集值映射的上、下半連續(xù)性,凹凸性及Ky Fan引理,結(jié)合錐和自段密集的概念,研究了集值均衡問題解的存在性,推廣了文[7]的相關(guān)結(jié)論.并將集值均衡問題解的存在性結(jié)果運(yùn)用到變分包含問題之中.

2.預(yù)備知識

本文中,設(shè)X為局部凸的拓?fù)湎蛄靠臻g,Y為Banach空間.

定義2.1[1]設(shè)F:X?Y集值映射,F的圖為

定義2.2設(shè)F:X?Y集值映射,對任意集合B ?Y,稱

為B關(guān)于F的下原象.

為B關(guān)于F的上原象.

定義2.3設(shè)Y為實(shí)的Banach空間,P是Y中的非空閉凸集,稱P是Y中一個(gè)錐,如果滿足：

以下我們引進(jìn)強(qiáng)錐的概念.

定義2.4設(shè)P為Y中一個(gè)錐,若對任意有限集{z1,z2,···,zn},ziP且我們有

則稱P是強(qiáng)錐.

例2.1令Y=R2,P={(x,y)|x ≥0},易驗(yàn)證P為一個(gè)強(qiáng)錐.

定義2.5設(shè)X為Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,D ?X,集值映射F:D?Y,

1)稱F在D上為凸的：對任意的有限集

2)稱F在D上為凹的：對任意的有限集使得

定義2.6凸集V ?X,U ?V,U為V中的自段密集,滿足下列條件：

1)V ?cl(U);

2)?x,y ∈U,[x,y]?cl([x,y]∩U).

注2.1[x,y]={λx+(1?λ)y|λ ∈[0,1]}.

引理2.1[7]設(shè)集值映射F:X?Y,S為X的子集,下列條件等價(jià)：

1)F在X上為下半連續(xù);

2)對任意的開集V ?Y,有

3)對任意的閉集B ?Y,有

特別地,F在S上為下半連續(xù),則對任意的開集V ?Y,F?(V)∩S為S中開集；對任意的閉集B ?Y,F+(B)∩S為S中閉集.

注2.2cl(S),int(S)分別表示S的閉包、內(nèi)部.

引理2.2[7]設(shè)集值映射F:X?Y,S為X的子集,下列條件等價(jià)：

1)F在X上為上半連續(xù);

2)對任意的開集V ?Y,有

3)對任意的閉集B ?Y,有

引理2.3[7]設(shè)X為局部凸的Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,凸集V ?X,U ?V為自段密集,則對任意的有限集{x1,···xn}?U,有cl(conv{x1,x2,···,xn}∩U=conv{x1,x2,···,xn}.

引理2.4[8]若集值映射F:N?X滿足下列條件：

1)F為KKM映射;

2)F(x)為閉集,對任意x ∈N;

3)存在x0∈N,使得F(x0)為緊集.則有

3.集值均衡問題解的存在性

定理3.1設(shè)X為局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,C ?X為非空閉凸集,D ?C為自段密集.Y為Banach空間,P ?Y為強(qiáng)錐,集值映射?:C×C?Y,滿足下列條件：

1)?x ∈D,?(x,x)?P;

2)(x,y) 為凸的在D上;

3)(x,y)為下半連續(xù)在CD;

4) 存在緊集K ?C,y0∈D使得

5)(x,y) 為下半連續(xù)在K上.

則集值均衡問題(SVEP)有解.

證設(shè)集值映射?+:C?C,其中?+(y)={x ∈C|?(x,y)?P},?y ∈C.則x0∈C為集值均衡問題(SVEP)的解當(dāng)且僅當(dāng)由條件1)?+(y)?,?y ∈D.令集值映射cl(?+) :D?C,其中cl(?+)(y)=cl(?+(y))=cl({x ∈C|?(x,y)?P}),?y ∈D.顯然cl(?+(y))為閉集,由條件4)可得?y ∈D,cl(?+(y0))為K中的緊集.

下面證明cl(?+):D?C為KKM映射.

對任意有限集{y1,y2,···,yn} ?D,設(shè)利用條件1)與條件2)則有

則必存在i0∈{1,2,· · ·,n},使得?(y′1,yi0)?P.反證法,若對?i,?(y′1,yi)則存在zi∈?(y′1,yi) 且ziP.由(1.1)式,有與P為強(qiáng)錐矛盾.所以?i0使得?(y′1,yi0)?P有

若y′1,即y′1∈CD,則有

由引理2.3,有

所以集值映射cl(?+)為KKM映射.

由條件5)cl(?+(y))∩K,因?yàn)閥0∈D,?+(Y0)?K,所以從而有因此存在x0∈C,使得

下面我們推廣到C上.令y ∈C D,D ??+(x0,P)={y′∈C|?(x0,y′)?P}.D在C上稠密,y ∈C ?cl(D)?cl(?+(x0,P)),有

由條件3)可得到y(tǒng) ∈cl(?+(x0,P))∩(CD)=?+(x0,P)∩(CD),因此

結(jié)合(3.4)與(3.5),所以?x0∈C,使得?(x0,y)?P,?y ∈C.

注3.1在定理3.1中,令Y=R,P=R+即是文[7]中定理3.1(見下面推論3.1),因此我們這里把實(shí)數(shù)情形的結(jié)論推廣到錐的形式.

推論3.1設(shè)X為局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,C ?X為非空閉凸集,D ?C為自段密集.集值映射?:C×C?R,滿足下列條件：

1)?x ∈D,?(x,x)?R+;

2)(x,y) 在D上為凸的;

3)(x,y) 在CD為下半連續(xù);

4)存在緊集K ?C,y0∈D,使得

5)(x,y) 在K上半連續(xù).則存在x?∈C,使得?(x?,y)?R+,?y ∈C.

下面討論弱集值均衡問題解的存在性.

定理3.2設(shè)X為局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,C ?X為非空閉凸集,D ?C為自段密集.Y為Banach空間,P ?Y為強(qiáng)錐.集值映射?:C×C?Y,滿足下列條件：

1)?x ∈D,?(x,x)∩P?;

2)(x,y) 在D上為凹的;

3)(x,y) 在CD上半連續(xù);

4)存在緊集K ?C,y0∈D,使得?(x,y0)?(?P {θ}),?x ∈CK;

5)(x,y) 在K上半連續(xù).

則弱集值均衡問題(SVEP(W))有解.

證設(shè)集值映射??:C?C,其中??(y)={x ∈C|?(x,y)?},?y ∈C.則x0∈C為弱集值均衡問題(SVEP(W))的解當(dāng)且僅當(dāng)

令集值映射cl(??) :D?C,其中cl(??)(y)=cl(??(y)),?y ∈D.由條件(1),??(y)?,?y ∈D,顯然cl(??)(y)為閉集,由條件4)可得cl(??)(y0) 為K中的緊集.

下證明cl(??):D?C為KKM映射.

則必存在i0∈{1,2,···,n},使得?(y′1,yi0)?.利用反證法,若?i,?(y′1,yi)∩P=?.?zi∈?(y′1,yi)且ziP.由P為強(qiáng)錐.對任意zi,與(3.6)式矛盾.因此存在?i0,使得?(y′1,yi0)?.由對任意的有限集所以

由條件5),??(y)∩K=cl(??(y))∩k,y0∈D,??(y0)?K,所以有

下面我們推廣到C上.?y ∈CD,設(shè)所以D ???(x0,P).因?yàn)镈在C上稠密,我們有

因此y ∈cl(??(x0,P))∩(CD).根據(jù)條件3),

所以y ∈??(x0,P),即?(x0,y)?,?y ∈CD結(jié)合(2.3)式,可得到?(x0,y)?,?y ∈C.

注3.2令Y=R,P=R+,即可得到文[7]中定理3.2,也就是我們這里的推論3.2.

推論3.2設(shè)X為局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,C ?X為非空閉凸集,D ?C為自段密集.集值映射?:C×C?R,滿足下列條件：

1)?x ∈D,?(x,x)∩R+?;

2)(x,y) 在D上為凹的;

3)(x,y)在CD上半連續(xù);

4) 存在緊集K ?C,y0∈D,使得?(x,y0)?R??,?x ∈CK;

5)(x,y)在K為上半連續(xù).則存在x?∈C,使得?(x?,y)∩R+?,?y ∈C.

4.應(yīng)用

本節(jié),我們給出Browder變分包含解的存在性及應(yīng)用.變分包含問題作為變分不等式的推廣,已經(jīng)在文[9-11]中研究,下面將文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行了相應(yīng)的推廣.

X為賦范線性空間,X?為X的對偶空間,Y為Banach空間,A ?X?,我們定義?A,x?={?x?,x?|x?∈A},B(X,Y)表示X到Y(jié)全體有界線性泛函,B?(X,Y)為B(X,Y)上的所有線性泛函.

定理4.1設(shè)X為賦范線性空間,C ?X為非空閉凸集,Y為Banach為空間,P ?Y為強(qiáng)錐.集值映射F:C?B(X,Y),滿足下列條件：

1) 存在緊集K ?C,y0∈C,使得

2)F在K上半連續(xù);

3)F在K上為弱緊集;

4)?φ ∈B?(X,Y),存在f ∈Y ?,x ∈X,使得φ(T)=f(T(X)),?T ∈B(X,Y).則存在x0∈K,使得?

證易驗(yàn)證滿足定理3.2條件1),3),4).下證明滿足定理3.2條件2).設(shè)有限集{y1,···,yn}?C,且我們有

有x的任意性,所以因此,

下證明滿足定理3.2條件5).固定y ∈D,V為Y中開集,令先證明存在δ >0,使得

取δ=min1≤i≤nεx?i,若則存在i=1,· · ·,n.所以再令

其中∥F(x)∥?=max{∥x?∥?|x?∈F(x)},設(shè)U=BX(x,η1)∩C.下證明?z ∈U,?(z,y)?V.我們設(shè)z ∈U,z?∈F(z),?x?0∈F(x),使得z?∈F(z)?BB(X,Y)(x?0,δ1).則有

注4.1我們考慮特殊情形,令Y=R,P=[0,+∝),得到下面的推論4.1.

推論4.1設(shè)X為賦范線性空間,C ?X為非空閉凸集,X?為X的對偶空間.集值映射F:C?X?滿足:

2)F在K上半連續(xù);

3)F在K上為f?緊值的.

則存在x0∈K,使得