淺析帶電粒子在重力和洛倫茲力作用下的運(yùn)動
——對一道高考題的再思考

賈彥峰 賈雅惠

(河北省井陘縣第二中學(xué) 河北 石家莊 050301) (鄭州輕工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450002)

在筆者的腦海里總有一個問題在縈繞，只要閑下來的時候，總會琢磨它．它就是2008年高考江蘇物理單科卷第14題．各種雜志刊登了許多老師的文章，對該試題從不同角度進(jìn)行了評析，讓筆者受益匪淺．但筆者更想知道：帶電粒子在重力和洛倫茲力作用下做何種運(yùn)動．盡管小球在變力作用下的運(yùn)動不是高中物理探究的問題，但作為一名物理教師應(yīng)該對此問題有所了解．下面是筆者對此問題的思索．

1 提出問題

【原題】(2008年高考江蘇卷第14題)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m，帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動曲線如圖1所示．已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g．求：

(1)小球運(yùn)動到任意位置P(x，y)的速率v；

(2)小球在運(yùn)動過程中第一次下降的最大距離ym；

提出問題：由靜止釋放的帶電小球在水平勻強(qiáng)磁場中做何種運(yùn)動？小球運(yùn)動曲線為什么如圖1所示?此曲線是何種曲線?

圖1 小球的運(yùn)動曲線

2 探究小球運(yùn)動的軌跡方程

沿水平向右方向建立x軸,豎直向下方向建立y軸，z軸垂直紙面向里(未畫出)．

在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m，帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球運(yùn)動到位置P時受力如圖2所示．

圖2 小球運(yùn)動到位置P時受力情況

小球受力

則小球的運(yùn)動微分方程為

(1)

(2)

(3)

由式(1)得

兩邊積分

得

(4)

式(4)代入式(2)整理得

(5)

式(5)對應(yīng)的齊次方程為

它的特征方程為

由于λ=0不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為

y*=b0

代入式(5)得

非齊次方程式(5)的通解為

(6)

代入式(6)得

(7)

式(7)代入式(4)得

兩邊積分得

把t=0時，x=0代入，得C=0，則

(8)

則式(7)、(8)可寫作

y=R(1-cosθ)

(9)

x=R(θ-sinθ)

(10)

由式(3)及初始條件得z=0.

至此，我們得到了小球的軌跡方程．那么小球的軌跡到底是怎樣的曲線呢？

3 擺線的運(yùn)動方程

擺線(cycloid)是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一．它是這樣定義的:一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡稱為擺線,又稱圓滾線、旋輪線．

以圓上定點(diǎn)的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，定直線為x軸．當(dāng)圓滾動t角以后，圓上定點(diǎn)從O點(diǎn)位置到達(dá)P點(diǎn)位置．當(dāng)圓滾動一周，即t從零變動2π時，動圓上定點(diǎn)描畫出擺線的第1拱．再向前滾動一周， 動圓上定點(diǎn)描畫出第2拱，繼續(xù)滾動，可得第3拱，第4拱……，所有這些拱的形狀都是完全相同的 ，每一拱的拱高為2a(即圓的直徑)，拱寬為2πa(即圓的周長),如圖3所示.

圖3 擺線

擺線的方程為

x=a(t-sint)

y=a(1-cost)

其中a為圓的半徑，t是圓的半徑所經(jīng)過的弧度(滾動角)．

4 結(jié)論

由以上討論可知，小球在重力和豎直平面內(nèi)的洛倫茲力共同作用下的運(yùn)動軌跡為擺線．如果把重力換成電場力，可以用同樣的方法討論，得出帶電粒子在電場力和洛倫茲力共同作用下的軌跡方程．