武赫揚

雙曲線是圓錐曲線中的三種曲線之一，也是高考考查的重點，主要考查定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本技能與基本方法的運用。

一、知識掃描

雙曲線的定義：在平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F：F2|且大于零）的點的軌跡（或集合）叫作雙曲線。定點Fr，F(xiàn)。叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作焦距。

中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

中心在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

集合P={M|||MF，|-|MF。||=2a}，|F，F(xiàn)2|=2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0：

①當(dāng)a

②當(dāng)a=c時，P點的軌跡是兩條射線;

③當(dāng)a>c時，P點不存在。

雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈（O，1）。

雙曲線為等軸雙曲線<>雙曲線的離心率e=v2臺雙曲線的兩條漸近線互相垂直（位置關(guān)系）。

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)如表1所示。

二、常見題型

考點一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例1?若實數(shù)k滿足0

（）。

A.焦距相等

B.實半軸長相等

C.虛半軸長相等

D.離心率相等

解析：因為00，25-k>0。

表示焦點在x軸上的雙曲線。

又25+（9-k）=34-k=（25-k）+9，所以它們的焦距相等，故選A。

點評：雙曲線x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的焦點在x軸上，雙曲線y2/a2-x2/b2=1（a>0，b>0）的焦點在y軸上。

例2?已知F為雙曲線C：=1的左焦點，P，Q為C上的點。若PQ的長等于實軸長的2倍，點A（5，0）在線段PQ上，則△PQF的周長為_____。

解析：依題意知|PQl=4a=12>2a。又因為A（5，0）在線段PQ上，所以PQ在雙曲線的右支上。

可得|PF|-|PA|=2a=6，|QF|-|QA|=2a=6。

所以|PFI+lQF|=24。

所以△PQF的周長是|PF|+|QF|+|PQ|=24+12=36。

點評：在應(yīng)用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支。若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支。

例3?已知雙曲線的中心在原點，一個焦點為F1（-√5，0），點P在雙曲線上，且線段PF，的中點坐標(biāo)為（0，2），則此雙曲線的方程是（）

A.x2/3-y3/2=1

B.x2-y2/4=1

C.x2/2-y2/3=1

D.x2/4-y2=1

解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=1=1（a>0，b>0）。

由PF1的中點為（0，2）知，PF2⊥x軸，P（V5，4），所以=4，即b2=4a。

所以5-a2=4a，所以a=1，b=2，所以雙曲線方程為x2-y2/4=1，故選B。

點評：確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件，“定位”是指確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法。若雙曲線的焦點不能確定時，可設(shè)其方程為Ax2+by”=1（AB<0）。若已知漸近線方程為mx+ny=0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2-n°y2=λ（λ≠0）。

考點二：雙曲線的離心率

例4?已知F，F(xiàn)z是雙曲線E：-2-差=1的左，右焦點，點M在E上，MF，與x

軸垂直，sin∠MF，F(xiàn)1=-1則E的離心率為（）。

A.√2?

B.3/2?

C.√3?

D.2

解析：

故雙曲線離心率e=

選A。

點評：應(yīng)區(qū)分雙曲線中a，b，c的關(guān)系與橢圓中a，b，c的關(guān)系，在橢圓中a2=62+c，而在雙曲線中c2=a*+b2。雙曲線的離心率e∈（1，+∞），而橢圓的離心率e∈（0，1）。

例5?過雙曲線a'b1（a>0，b>0）的右焦點F作一條直線，當(dāng)直線傾斜角為”時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點：當(dāng)直線傾斜角為。時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點。則雙曲線離心率的取值范圍為（）。

A.（1，2√3/3）

B.（2√3/3，2）

C.（1，√3）

D.（1，2）

解析：由題意得，當(dāng)直線傾斜角為。時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，所以

又當(dāng)直線傾斜角為時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，所以b/a<√3，所以此

所以雙曲線離心率的取值范圍為（2√3/3，2），故選B。

點評：離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點。這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓或雙曲線的離心率：另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍。無論是哪類問題，其解題關(guān)鍵都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表達，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式。

考點三：雙曲線的漸近線

例6在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，實軸長為8，離心率為5/4，則它的漸近線的方程為（）。

解析：

因此漸近線的方程為

故選D。

點評：

意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2=b2+c，而在雙曲線中c2=a2+b2。

考點四：焦點三角形

例7?點P在雙曲線x2/a2-y2/b2=1=1（a>0，b>0）上，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，∠F1PF2=90，且△F1PF2的三條邊長之比為3：4：5.則雙曲線的漸進方程是（）。

A.y=±2√3x

B.y=±4x

C.y=±2√5x

D.y=±2√6x

解析：

所以

所以雙曲線的漸近線方程是y=±2√6x0故選D。

點評：用雙曲線定義及虛軸長布列方程組即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。在“焦點三角形”中，經(jīng)常用到正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義。另外，還經(jīng)常結(jié)合|PF1|-|PF2||=2a，運用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系。

例8?設(shè)雙曲線x2- 3 -=1的左、右焦點分別為F1， F2。 若點P在雙曲線上，且OF，PF2為銳角三角形，則| PF1|+| PF2|的取值范圍是_____。

解析：由已知得a=1，b=3，c=2，則

點評：先由對稱性可設(shè)點P在右支上，

進而可得|PF.|和|PF，2|，再由△F，PF2為銳角三角形可得|PF1|”+|PF2|2>|F1F2|2，進而可得x的不等式，解不等式可得|PF，|+|PF2|的取值范圍。