洪汪寶

我們知道，橢圓上任意一點（除去長軸端點）與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為橢圓的焦點三角形。那么該三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢？本文對橢圓的焦點三角形的性質(zhì)進行探究并舉例說明其應(yīng)用。

一、性質(zhì)探究

為了研究問題的方便，我們以焦點在x軸上的橢圓為例。有興趣的讀者，可模仿推導(dǎo)焦點在y軸上的橢圓的情況。

性質(zhì)1：△PF1F2的周長為定值，其值為2a+2c。

性質(zhì)2：△PFF2的面積為c|y0|，其最大值為bc，當點P位于短軸端點時焦點三角形的面積取到最大值。

性質(zhì)3：若∠F1PF2=a，則△PF1F2的面積為b2tana/2。

證明：

故

故

性質(zhì)4：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。

證明：

根據(jù)此性質(zhì)可知橢圓上的點到焦點的最大距離為a+c，最小距離為a-c，此時該點是橢圓長軸的端點。

性質(zhì)5：∠F1PF2=a，則當點P位于上、下頂點時，a最大。

證明：由余弦定理知：

當且僅當|PF1|=|PF2|即當點P位于上、下頂點時cosa取到最小值，又余弦函數(shù)在[0，π]上單調(diào)遞減，此時a最大。

由以上證明過程不難得出cosa≥2b2/a2-1=1-2e2。

性質(zhì)6：設(shè)∠PF1F2=β，∠PF2F1=θ，則橢圓的離心率e=- sin（β+θ）/sin β +sin θ

證明：

性質(zhì)7：如圖1，作∠F1PF2的補角的平分線PF，過F，2作PF的垂線，垂足為D點，則點D的軌跡是一個圓。

證明：

所以點D的軌跡是一個以原點為圓心，半徑為a的圓。

性質(zhì)8：如圖2，作圓與線段F、P的延長線、線段F2P、線段F1F2的延長線分別切于點D、E、F，則點F為橢圓的右頂點。

證明：

解得xF=a。

所以點F為橢圓的右頂點。

二、性質(zhì)應(yīng)用

例1?已知

△PF1F2的面積為_____。

解：根據(jù)性質(zhì)3可知△PF1F2的面積為9tan 45°=9。

例2?已知橢圓

0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上存在點P使∠F，PFz= 120° ，則該橢圓C的離心率的取值范圍為_____。

解：由性質(zhì)5的所得結(jié)論cos a≥1 - - 2e2知cos 120°≥1-2e2 ，解得e∈ 「v32

例3已知F1，F(xiàn)2是橢圓; 40 20的左、右焦點，P是橢圓上一點，若△PF，F(xiàn)2為直角三角形，則這樣的點P有____個。

解：若點P為直角頂點，根據(jù)性質(zhì)5由a=.2b知P為上下頂點;若F、為直角頂點，過F;作F1F2的垂線交橢圓于兩點，此兩點即為所求;同理，若F。為直角頂點，則滿足條件的點P也有兩個。綜上所述，符合條件的點P有6個。

例4 已知橢圓C：- z=1（a>b>>0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上存在點P使∠PF：F2=75°，∠PF2F1=15°，則該橢圓C的離心率為______。

解：由性質(zhì)6知該橢圓的離心率為sin（75°+ 15°）√⑥sin 75°+sin 15 2sin 45 cos 30°

例5橢圓=1的左焦點為F，”4直線x=m與橢圓相交于點A、B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是_____。

解：設(shè)該橢圓的右焦點為F1，則△FAB的周長為|AF | +| BFI+IAB|≤lAF |+|BFI+|AF1I+|BF11=8，當且僅當直線 x=m經(jīng)過點F1時等號成立，此時|AB|=3，OFAB的面積為1/2X3X2=3。