高慧明　張琦

一、概率統(tǒng)計的基本介紹

現(xiàn)代社會是一個信息化的社會，生活中人們常常需要收集各種數(shù)據(jù)，之后對所收集的數(shù)據(jù)進行處理，從而提取有價值的信息，作出合理的決策。統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。隨機現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，它為人們認(rèn)識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時為統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。因此，統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個未來公民的必備常識。

1.概率和統(tǒng)計，是兩個彼此獨立的數(shù)學(xué)分支

這里概率指的是概率論，其萌發(fā)于16世紀(jì)的賭博中“得分問題"。1657年，惠更斯在他和帕斯卡、費馬等人討論的基礎(chǔ)，上，寫成了《論賭博中的計算》一書，標(biāo)志著概率論成為研究隨機現(xiàn)象的一門]獨立學(xué)科。此后，雅各布·貝努利的遺著《推測術(shù)》（1713年出版）的出版，標(biāo)志著概率論成為數(shù)學(xué)的一個重要分支。

統(tǒng)計指的是數(shù)理統(tǒng)計，其萌發(fā)于19世紀(jì)，形成于20世紀(jì)中葉。1946年，英國數(shù)學(xué)家費希爾發(fā)表《統(tǒng)計數(shù)學(xué)方法》，才標(biāo)志數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的成熟。

從這個角度來講，概率和統(tǒng)計，是兩個彼此獨立的數(shù)學(xué)分支。

2.概率是統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，統(tǒng)計是概率的應(yīng)用

概率論是研究隨機現(xiàn)象中某事件發(fā)生的可能性，用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。隨機事件是指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，如概率論最初研究的擲骰子問題。概率論發(fā)展至今在高能物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)、生物數(shù)學(xué)等學(xué)科中具有重要應(yīng)用。許多服務(wù)系統(tǒng)如通信、探測、預(yù)報、自動控制等都要應(yīng)用概率論的內(nèi)容。而在這個過程中，數(shù)理統(tǒng)計的具體模型發(fā)揮著不可替代的作用。

而數(shù)理統(tǒng)計的基本研究過程是：收集數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)，提取信息，作出決策。這些數(shù)據(jù)都是來自同一總體，而我們進行統(tǒng)計分析的目的，并不在于這些數(shù)據(jù)本身，而是把它作為一個樣本，通過它來推測總體的分布規(guī)律。這就必須運用概率論的理論。而在概率論產(chǎn)生之前，要作出數(shù)據(jù)以外的推斷是不可能的，要從抽樣調(diào)查去了解總體分布也是不可能的。從這個角度講，概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)。

二、概率統(tǒng)計中文化元素的梳理

概率統(tǒng)計從其誕生發(fā)展至今都蘊涵著濃厚的數(shù)學(xué)文化色彩，數(shù)學(xué)文化是激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)興趣、養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和提高核心素養(yǎng)的有效途徑。下面我們將對概率統(tǒng)計中的數(shù)學(xué)文化價值進行簡單的梳理。

1.概率統(tǒng)計具有很強的實踐性和應(yīng)用性概率論源自“賭博游戲”，數(shù)理統(tǒng)計基本研究過程是數(shù)據(jù)的收集、處理、理解和分析，這就使得概率統(tǒng)計從誕生的時刻起，就具有明顯的實踐性和應(yīng)用性。比如數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)的是隨機變量的平均水平，數(shù)學(xué)期望可以解決許多實際生活和應(yīng)用現(xiàn)象中的問題，各種媒體中也經(jīng)常用數(shù)學(xué)期望來表達某些社會現(xiàn)象的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。再比如方差是在概率論和統(tǒng)計中衡量隨機變量或一組數(shù)據(jù)的離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。統(tǒng)計中的方差（樣本方差）是每個樣本值與全體樣本值的平均數(shù)之差的平方值的平均數(shù)。在許多實際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。

例1?某中學(xué) 為了解高二年級中華傳

統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況，從高二年級隨機抽取10名學(xué)生進行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學(xué)生的考核成績。記錄的數(shù)據(jù)如表1。

記抽取的10名學(xué)生第一輪測試成績的平均數(shù)和方差分別為x1，sq，考核成績的平均數(shù)和方差分別為x2，s2，試比較x1與x2，S與s2的大小。（只需寫出結(jié)論）

分析：本題答案很簡單，顯然x1=x2，si>s2。但怎么就顯然了呢？其實，如果同學(xué)們對數(shù)據(jù)進行一下處理，先計算出來考核成績，如表2，再將所有成績按從小到大順序排列一下（不關(guān)注具體的學(xué)號），如表3，此時自然能得結(jié)論，x1=x2，原因是第一輪測試成績與第二輪測試成績完全相同，平均數(shù)自然相同。s>s2，則是因為明顯第一輪測試成績波動程度要遠遠大于考核成績波動程度。本題非常完美地體現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理的過程，需要同學(xué)們對平均數(shù)和方差概念有深入的理解，計算反而退居末位了。

2.概率統(tǒng)計思維特點——隨機性、偶然性、似然性

隨機性、偶然性、似然性的思維方式是概率統(tǒng)計的主要思維特點，但這些特點又具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達形式，這使得對于習(xí)慣了確定性、必然性、唯一性的思維方式的同學(xué)而言是極具挑戰(zhàn)的。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾云：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題。”我們看個糅合著必然與偶然、確定與隨機的具體例子：給定一根木棒，誰都不會懷疑它有自身的“客觀”的長度，長度是多少？我們可以用各種儀器去測量，但是不管我們的儀器多么精確，你得到的數(shù)據(jù)也總是穩(wěn)定在木棒真實長度的附近。

例2預(yù)計某地區(qū)明天“降水概率為70%”，你是怎么理解的？

分析：比如說沒有學(xué)過概率論的人，可能會認(rèn)為“該地區(qū)有70%的地方會下雨，或是降水概率越大雨就下得越大”。但是即使學(xué)過概率論系統(tǒng)知識的數(shù)學(xué)老師，也經(jīng)常會發(fā)出這樣的感慨：“天氣預(yù)報不準(zhǔn)……”其實，降水概率一詞有兩種理解方式：一是指某地的歷史氣候降水概率，完全是依據(jù)歷史氣候資料統(tǒng)計計算分析得出的結(jié)果：二是在天氣預(yù)報中應(yīng)用科學(xué)技術(shù)依靠各種知識、信息和技能建立數(shù)學(xué)模型對未來天氣進行分析和預(yù)測。但是受到技術(shù)手段的限制，后一種建立模型的方法往往更不精確，所以現(xiàn)在我們都是采取第一種方法來預(yù)測。那么從統(tǒng)計的角度而言，“降水概率為70%”的含義可以近似理解為與明天天氣情況類似的某些日子里，有70%的日子有降水，而明天是否降水，則需要你自己去判斷。所以有人說“天氣預(yù)報不準(zhǔn)……”這句話本身就是有問題的。

3.概率統(tǒng)計中蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想方法概率統(tǒng)計學(xué)習(xí)的核心可以簡單地概括為：處理數(shù)據(jù)而不是研究數(shù)字：關(guān)注活動而不只是死記概念：強調(diào)過程而不是只看結(jié)果。概率論屬于不確定性的數(shù)學(xué)，是為了尋找隨機現(xiàn)象中的規(guī)律性，這與我們平時強調(diào)的數(shù)學(xué)、幾何、向量從思維到學(xué)習(xí)方法上都是不一樣的。

如同其他數(shù)學(xué)學(xué)科一樣，概率統(tǒng)計也具有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如隨機思想、公理化思想、化歸思想、模型化思想、推斷思想等。概率統(tǒng)計的思想方法往往蘊含在日常生活和概率統(tǒng)計的教學(xué)內(nèi)容中，可以幫助同學(xué)們提高分析和解決實際問題的能力。我們不妨來看下面這個例子。

例3?如圖1，面積為s的正方形AB-CD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落人M中，則M的面積的估計值m為“S，假設(shè)正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落人M中的點的數(shù)目。

（I）求X的均值EX：

（II）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間（-0.03，0.03）內(nèi)的概率。

附表（如表4）：

分析：每個點落入M中的概率均為

本題是標(biāo)準(zhǔn)的二項分布模型，熟練掌握二項分布的相關(guān)知識是解決本題的必要條件。本題能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計中的模型化思想。

在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計時，引人數(shù)學(xué)文化的相關(guān)知識，不僅能使我們體驗到數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，同時還會使我們感受到數(shù)學(xué)的進展是腳踏實地的，是一步一個腳印的。