陳長(zhǎng)青，解永春，安思穎

(1.北京控制工程研究所，北京100094； 2.空間智能控制技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100094)

1 引言

在交會(huì)對(duì)接過(guò)程中，如何利用盡可能少的燃料完成交會(huì)一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)，而脈沖最優(yōu)交會(huì)是其中的一個(gè)重要內(nèi)容。 典型的最優(yōu)脈沖交會(huì)有4 類(lèi)[1]：基于脈沖校正理論的最優(yōu)脈沖交會(huì)、Lambert 最優(yōu)脈沖交會(huì)、利用數(shù)值方法求解的最優(yōu)脈沖交會(huì)、以及基于鄰近圓軌道交會(huì)理論的最優(yōu)脈沖交會(huì)。 20 世紀(jì)60 年代，Prussing[2-3]針對(duì)于鄰近圓軌道軌道面內(nèi)的交會(huì)問(wèn)題，選擇半徑為兩圓軌道平均軌道半徑的中間軌道建立參考坐標(biāo)系，利用線性方程下最優(yōu)交會(huì)時(shí)共軛方程和狀態(tài)方程的獨(dú)立性，分別對(duì)基向量和邊界值問(wèn)題進(jìn)行求解，完成了最優(yōu)交會(huì)中脈沖時(shí)刻、脈沖方向和脈沖大小的求解，可以得到四脈沖、三脈沖、二脈沖等幾種最優(yōu)交會(huì)類(lèi)型，且這些類(lèi)型在不同的初始條件和交會(huì)時(shí)間下有確定的分布。 80 年代后，Prussing、Carter 等[4-5]進(jìn)一步發(fā)展了該理論，并應(yīng)用到非平面鄰近圓交會(huì)、逃逸、路徑約束等交會(huì)上[6-8]。 從90 年代開(kāi)始，國(guó)內(nèi)學(xué)者在脈沖最優(yōu)交會(huì)上也做了大量的工作，包含動(dòng)力學(xué)[9]、三脈沖[10]等。 陳長(zhǎng)青等[11]把鄰近圓軌道最優(yōu)交會(huì)拓展到圓軌道到橢圓軌道最優(yōu)脈沖交會(huì)上，得到最優(yōu)交會(huì)模式的分布圖。

交會(huì)對(duì)接的尋的段要在燃料優(yōu)化約束下適應(yīng)并消除遠(yuǎn)距離導(dǎo)引段采用絕對(duì)制導(dǎo)帶來(lái)的偏差[12]，同時(shí)采用測(cè)量精度更高的相對(duì)導(dǎo)航設(shè)計(jì)可在軌實(shí)施的制導(dǎo)律，目前國(guó)內(nèi)外沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)做詳細(xì)闡述。 本文從工程實(shí)際出發(fā)，提出一種基于Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的尋的制導(dǎo)方法，設(shè)計(jì)尋的段初始條件以及在軌實(shí)施的制導(dǎo)策略。

2 動(dòng)力學(xué)方程

在尋的段，兩個(gè)航天器的距離比較近，且飛行軌道相對(duì)圓化，可以認(rèn)為是鄰近圓軌道的交會(huì)問(wèn)題。 采用式(1)所示基于圓柱坐標(biāo)系的無(wú)量綱化后的方程描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)[9]：

其中δr 為徑向相對(duì)位置，δθ描述跡向相對(duì)運(yùn)動(dòng)。ax、az分別為徑向和跡向施加的加速度。式(1)寫(xiě)成狀態(tài)方程如式(2)：

在動(dòng)力學(xué)方程(1)、(2)式的基礎(chǔ)上討論相對(duì)運(yùn)動(dòng)的初末狀態(tài)。 記狀態(tài)變量 x ＝如圖1，目標(biāo)器在追蹤器前方，兩者的軌道高度差為δR，初始相位角差為β。則追蹤器的始狀態(tài)為x0＝[- 0.5δR 0 0 0.75δR]T，目標(biāo)器的末端狀態(tài)即追蹤器希望的末端狀態(tài) xF＝ [0.5δR β - 0.75δRtF0 - 0.75δR]T。 通過(guò)方程(1)和追蹤器的初末狀態(tài)，可以討論Hohmann 最優(yōu)交會(huì)。

3 Hohmann 最優(yōu)交會(huì)

3.1 無(wú)漂移段的Hohmann 最優(yōu)交會(huì)

Hohmann 變軌針對(duì)圓軌道轉(zhuǎn)移，在過(guò)渡橢圓軌道半個(gè)軌道周期內(nèi)，通過(guò)初末時(shí)刻沿切向方向的兩個(gè)脈沖完成軌道轉(zhuǎn)移。 當(dāng)軌道機(jī)動(dòng)前后兩個(gè)圓的軌道半徑比小于11.94 時(shí)，Hohmann 變軌是最優(yōu)的轉(zhuǎn)移策略。 下面針對(duì)第2 節(jié)中的動(dòng)力學(xué)方程和初末狀態(tài)討論Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的問(wèn)題。

施加的兩個(gè)脈沖均為切向脈沖，則邊界值問(wèn)題為式(3)[2]：

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)和參考軌道Fig.1 Relative motion and reference orbit

其中x0、xF分別為追蹤器的初末狀態(tài)，Φ 為式(2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， B 為定常矩陣。 當(dāng)x0＝ [- 0.5δR 0 0 0.75δR]T，xF＝[0.5δR β -0.75δRtF0 -0.75δR]T，交會(huì)時(shí)間α ＝π 時(shí)，可以得到： xF- ΦF0x0＝[δR β - 1.5δRπ 0 - 1.5δR]T，ΦFoBu1＝求解邊界值問(wèn)題(3)可以得到滿(mǎn)足Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的脈沖大小ΔV1、ΔV2和初始相位角差βH如式(4)：

(4)式給出在動(dòng)力學(xué)方程(1)下Hohmann 最優(yōu)交會(huì)需要的脈沖大小以及追蹤器與目標(biāo)器的初始相位差，只要滿(mǎn)足該條件，且交會(huì)時(shí)間為半個(gè)參考軌道的軌道周期，則可完成Hohmann 交會(huì)，燃料消耗最省且只與軌道高度有關(guān)，為0.5δR。

3.2 帶有漂移段的Hohmann 最優(yōu)交會(huì)

3.1 節(jié)討論了不存在漂移段時(shí)的Hohmann 最優(yōu)交會(huì)，其對(duì)初始相位差和交會(huì)時(shí)間都有很強(qiáng)的約束，實(shí)際任務(wù)中不容易滿(mǎn)足。 通過(guò)讓追蹤器先自由漂移一段或追蹤器到目標(biāo)點(diǎn)后位置保持一段時(shí)間可放松對(duì)相位角和交會(huì)時(shí)間的約束，采用帶有漂移段的Hohmann 最優(yōu)交會(huì)來(lái)實(shí)現(xiàn)，包括只帶初始漂移段、只帶末端漂移段、初末都存在漂移3種Hohmann 最優(yōu)交會(huì)模式。

1)當(dāng)只存在末端漂移時(shí)，即β ＝0.75πδR，交會(huì)時(shí)間tF＞π，在t1＝0、t2＝π 分別施加水平脈沖即可完成交會(huì)任務(wù)，多出的時(shí)間tF- π 為末端漂移。 記目標(biāo)器的末端相位為δθF＝β - 0.75δRtF，則滿(mǎn)足帶末端漂移段Hohmann 變軌的末端相位δθF與交會(huì)時(shí)間tF存在式(5)所示的直線關(guān)系：

2)只存在初始漂移時(shí)，即β ＝1.5δRtF-0.75πδR，tF＞π。 追蹤器先需要漂移tF- π 時(shí)間，在t1＝tF- π、t2＝tF時(shí)施加水平脈沖，完成帶初始漂移段的Hohmann 最優(yōu)交會(huì)。 目標(biāo)器的末端相位δθF與交會(huì)時(shí)間tF存在如式(6)所示直線關(guān)系：

3)如圖2 所示，夾在(5)、(6)兩式表示的直線中間的所有狀態(tài)(陰影部分)可以通過(guò)同時(shí)存在初始和末端漂移的Hohmann 交會(huì)實(shí)現(xiàn)燃料最優(yōu)。

圖2 Hohmann 最優(yōu)交會(huì)區(qū)域Fig.2 Hohmann optimal rendezvous zone

對(duì)于確定的交會(huì)時(shí)間tF和初始相位差β，目標(biāo)器自由漂移直線如式(7)：

式(7)確定的直線與式(5)確定的直線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間tF0滿(mǎn)足該條件下只帶初始漂移段Hohmann 最優(yōu)交會(huì)。 當(dāng)tF＞tF0，則tF-tF0為末端漂移時(shí)間(已經(jīng)完成交會(huì))，這樣兩個(gè)脈沖時(shí)刻由式(8)確定：

同時(shí)可以求得兩個(gè)脈沖大小分別為ΔV1＝ΔV2＝0.25δR。

帶漂移段Hohmann 最優(yōu)交會(huì)實(shí)際上是通過(guò)自由漂移獲得Hohmann 最優(yōu)交會(huì)所滿(mǎn)足的相位和交會(huì)時(shí)間的要求，兩個(gè)脈沖之間的時(shí)間間隔為半個(gè)參考軌道的軌道周期，施加第一個(gè)脈沖時(shí)，兩航天器的相位差是固定的，即βH＝0.75πδR， 其燃料消耗都為0.5δR。

4 Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的應(yīng)用范圍

下面討論在尋的過(guò)程中，交會(huì)時(shí)間為1 個(gè)參考軌道的軌道周期時(shí)，滿(mǎn)足Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的最大、最小軌道高度差。

目標(biāo)器的末端狀態(tài)與交會(huì)時(shí)間的關(guān)系滿(mǎn)足式(7)，而帶末端漂移Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的直線滿(mǎn)足式(5)，所以要完成Hohmann 最優(yōu)交會(huì)，必須β ≥0.75πδR。 直線(6)、(7)相交時(shí)，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為實(shí)際交會(huì)時(shí)間tF， 且tF＝ (β + 0.75πδR)/(1.5δR)。 在一個(gè)軌道周期內(nèi)完成交會(huì)任務(wù)，則可以推導(dǎo)得到β ≤2.25πδR。 記βMin＝ 0.75πδR，βMax＝ 2.25πδR，則綜合上面兩點(diǎn)，滿(mǎn)足Hohmann最優(yōu)交會(huì)的初始相位差β 應(yīng)滿(mǎn)足式(9)：

下面分析在(9)式約束下，兩航天器的軌道高度差與相對(duì)距離dre之間的關(guān)系。 如圖3，點(diǎn)A、C 分別為目標(biāo)器和追蹤器所在的位置，兩者的相位差為β。 β 較小時(shí)，三角形ABC 可近似認(rèn)為是直角三角形，而β 可近似用AB/Rc表示，有兩個(gè)航天器的高度差可以表示如式(10)：

圖3 相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析Fig.3 Relative motion analysis

從式(10)進(jìn)一步可以得到最大高度差、最小高度差與相對(duì)距離存在如式(11)所示線性關(guān)系：

通過(guò)式(11)可以得到給定的相對(duì)距離下，滿(mǎn)足帶漂移Hohmann 交會(huì)的最大最小的軌道高度改變量，且最大最小的軌道高度差與相對(duì)距離成比例關(guān)系。 表1 給出目標(biāo)器的軌道高度為6710 km，滿(mǎn)足Hohmann 最優(yōu)交會(huì)時(shí)追蹤航天器與目標(biāo)航天器的最大、最小軌道高度差。

表1 滿(mǎn)足Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的高度差Table 1 Height Difference satisfying Hohmann Optimal Rendezvous

目標(biāo)器軌道高度確定且在交會(huì)時(shí)間滿(mǎn)足式(10)時(shí)，對(duì)于確定的相對(duì)距離，追蹤器和目標(biāo)器的軌道高度差在最大值與最小值之間，利用Hohmann 最優(yōu)交會(huì)理論能完成燃料最優(yōu)的交會(huì)任務(wù)。 表1 表明：尋的段利用Hohmann 最優(yōu)交會(huì)理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律軌道高度有較大的適用范圍。 該波動(dòng)范圍可以作為尋的段的初始條件設(shè)計(jì)的依據(jù)。

5 交會(huì)對(duì)接實(shí)施方案

實(shí)際工程中測(cè)量、導(dǎo)航、制導(dǎo)和控制等均可能存在誤差；遠(yuǎn)距離導(dǎo)引段的終端與尋的段標(biāo)稱(chēng)位置會(huì)存在偏差；追蹤航天器和目標(biāo)航天器不會(huì)是圓軌道；最主要的是在尋的段一般有相對(duì)測(cè)量敏感器，其提供的導(dǎo)航結(jié)果相對(duì)位置、相對(duì)速度的精度遠(yuǎn)高于Hohmann 變軌中軌道根數(shù)的確定精度；所以采用帶漂移的Hohmann 交會(huì)策略在求解實(shí)際脈沖時(shí)會(huì)存在較大的偏差。

采用綜合帶漂移Hohmann 交會(huì)和CW 制導(dǎo)相結(jié)合的多脈沖制導(dǎo)策略。 先用帶漂移Hohmann交會(huì)策略求尋的段的初始和末端狀態(tài)、以及尋的段飛行時(shí)間；再利用帶漂移Hohmann 交會(huì)策略求第一個(gè)變軌點(diǎn)時(shí)間th0和最后一個(gè)變軌點(diǎn)時(shí)間thF；最后采用CW 多脈沖制導(dǎo)策略求脈沖大小，CW制導(dǎo)的飛行時(shí)間為thF- th0，CW 制導(dǎo)可以采用兩脈沖制導(dǎo)策略，在精度要求比較高的情況下，可以在兩脈沖制導(dǎo)中增加1～3 個(gè)修正脈沖。 Hohmann交會(huì)的兩個(gè)脈沖設(shè)定如式(12)：

在Hohmann 初始條件下，CW 兩脈沖制導(dǎo)平面內(nèi)的兩個(gè)脈沖為式(13)：

式(12)～(13)中x 軸方向的分量與Hohmann最優(yōu)脈沖交會(huì)中的脈沖近似表達(dá)式是一樣的。 兩個(gè)脈沖的x 方向和z 方向的分量的數(shù)量級(jí)比為ωh/(πωh2/rB)＝ rB/(πh)，約為100，其對(duì)應(yīng)姿態(tài)角在0.57°左右，可以近似認(rèn)為是水平脈沖。

6 仿真分析

6.1 尋的段兩種制導(dǎo)策略精度分析

追蹤器和目標(biāo)器的軌道半徑分別為rA＝6689 km、rB＝6710 km， 目標(biāo)器與追蹤器的初始相位角差為β ＝0.007371°， 滿(mǎn)足Hohmann 交會(huì)，交會(huì)時(shí)間為tH＝2728.6 s。 可以求得相對(duì)狀態(tài)為： x ＝49.3054 km/s，z ＝21.18172 km/s，x·＝- 36.2096 m/s，z ＝-0.26691 m/s。 CW 兩脈沖制導(dǎo)可以求得兩個(gè)脈沖分別為：ΔVx1＝- 6.368 m/s，ΔVz1＝0.082 m/s，ΔVx2＝- 6.0828 m/s，ΔVz2＝- 0.095 m/s。 兩個(gè)脈沖水平分量與速度方向的夾角分別為0.73779o、0.89699o，兩個(gè)脈沖基本上水平的，不需要調(diào)姿，與Hohmann 交會(huì)的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)。

6.2 尋的段多脈沖制導(dǎo)仿真分析

尋的段初始時(shí)刻兩個(gè)航天器的軌道設(shè)定如表2，采用半長(zhǎng)軸a、偏心率E、軌道傾角i、升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω、近地點(diǎn)幅角ω 和真近點(diǎn)角f6 個(gè)軌道根數(shù)描述：

表2 兩個(gè)航天器初始軌道Table 2 Initial orbits of two spacecraft

尋的段典型的仿真曲線如圖4～5。

圖4 尋的段x-z 平面的位置曲線Fig.4 Position Curve in x-z plane for Homing

圖5 尋的段相對(duì)速度變化曲線Fig.5 Relative Velocity Curve for Homing

從上圖4～5 可以看到，采用Hohmann 最優(yōu)交會(huì)和CW 制導(dǎo)結(jié)合的多脈沖制導(dǎo)策略能比較精確的把追蹤航天器導(dǎo)引到預(yù)定的位置上。

7 結(jié)論

本文提出了一種基于Hohmann 最優(yōu)交會(huì)的尋的制導(dǎo)方法，確定了相對(duì)距離下滿(mǎn)足Hohmann最優(yōu)交會(huì)時(shí)，兩個(gè)航天器最大、最小軌道高度差與相對(duì)距離成正比。 針對(duì)近距離交會(huì)特點(diǎn)，提出了一種CW 制導(dǎo)和Hohmann 最優(yōu)交會(huì)模式結(jié)合的多脈沖尋的制導(dǎo)策略，CW 制導(dǎo)和Hohmann 最優(yōu)脈沖交會(huì)的在制導(dǎo)脈沖大小、制導(dǎo)精度等方面基本相當(dāng)。 仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的尋的段初始條件適應(yīng)范圍較大、制導(dǎo)方法是合理有效的、制導(dǎo)精度高，能把追蹤航天器高精度地導(dǎo)引到預(yù)定的位置，滿(mǎn)足任務(wù)要求。

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