吳曉雄

【摘要】解決百分?jǐn)?shù)實際問題一直以來是教學(xué)中的一個難點，本文敘述了從一次不經(jīng)意間的個別輔導(dǎo)，引發(fā)了暴露錯誤、放大錯誤、經(jīng)歷錯誤直至改正錯誤的一次教學(xué)改進(jìn)行動，這樣的教學(xué)改進(jìn)行動給了我們很多的啟示。

【關(guān)鍵詞】緣起 測試 原因分析 行動 實踐再反思

一、緣起

六年級進(jìn)入單元復(fù)習(xí)階段，在一次復(fù)習(xí)測試中，完成下面這道有關(guān)百分?jǐn)?shù)問題的題目時，有一個學(xué)生遇到困難，對筆者說這道題不會做：

青云小學(xué)下半年用水量比上半年少20%，上半年用水量占全年用水量的幾分之幾？

為了了解學(xué)生的真實想法，筆者與這名學(xué)牛進(jìn)行了交流，部分交流記錄如下（T為老師，S為學(xué)生）：

T：這道題你不會做，你能說說為什么嗎？

S：我想求出全年的用水量，沒法求。

T：你為什么要求出全年的用水量？

S：因為上半年的用水量和全年的用水量都知道了，就能求出上半年用水量占全年用水量的幾分之幾。

T：你為什么沒法求出全年的用水量？

S：因為上半年和下半年的用水量都不知道，沒法求。

T：這道題的單位“1”是什么？

S：這個我知道，是上半年的用水量。

這個學(xué)生面對這道題束手無策，那么，班中其他學(xué)生面對這道題，是否也存在困難？為了了解學(xué)生解決這道題的情況，筆者安排了一次題量不多的專項測試。

二、測試

這次測試內(nèi)容，均為百分?jǐn)?shù)知識的習(xí)題。試題編制形式既有填空題，也有應(yīng)用題。對象為筆者學(xué)校六年級的兩個平行班。其中，在填空題中，筆者安排了這些習(xí)題（以下為測試卷的部分習(xí)題）：

1.學(xué)校圖書館中，科技書比故事書多25%，故事書比科技書少（ ）%。

2.數(shù)a與數(shù)b的比是4：5，那么a是b的（ ）%，b比a多（ ）%。

3.甲數(shù)是乙數(shù)的4/5，乙數(shù)比甲數(shù)多（）%，甲數(shù)比乙數(shù)少（ ）%。

4. 一件商品打九折后，又提價l0%，現(xiàn)在的價格是原來價格的（ ）%。

5.小圓面積是大圓的20%，那么小圓面積和大圓面積的最簡整數(shù)比是（ ）。

為了解學(xué)生在解決上述問題時的思考過程和采用的解決方法，在這張測試卷的末尾，筆者特意安排了這樣一道題：

填空第1題和第3題的答案，你是怎么思考的？請把你思考的過程寫在這張測試卷的下面（用文字、算式或者線段圖等都可以）。

第1題：

第3題：

三、原因分析

從測試的結(jié)果分析，針對這兩道題，兩個班級的成績有一定的差距，六（3）班明顯好于六（2）班，這兩個班級由同一位教師授課，通過對教師的訪談知道這兩個班本來數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有差異，這樣的結(jié)果在情理之中。但這樣的測試匯總結(jié)果，讓筆者不由陷入了思考，究竟是什么原因?qū)е聦W(xué)生在面對這砦題時思維受阻，無從下手呢？問題到底出在哪？是教師教的問題還是學(xué)生學(xué)的問題？測試結(jié)束后，筆者在未對試卷進(jìn)行講評前，訪談了部分存在解答困難的學(xué)生。

T：解答這道題時，你是怎樣想的？

Sl：我覺得科技書比故事書多25%.故事書就比科技書少25%。

T：為什么呢？

Sl：因為科技書比故事書多25本的話，故事書就比科技書少25本。

T：解答這道題時你是怎樣想的？

S2：甲數(shù)可以看作4，乙數(shù)可以看作5。

T：如果這里告訴你的不是分?jǐn)?shù)，是百分?jǐn)?shù)，你還能算出甲數(shù)看作幾嗎？

S2：可以。

T：怎么算呢？

S2：把這個百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，就是幾分之幾了。

T：要計算甲比乙少百分之幾，應(yīng)該怎么算？

S2：4÷5=80%、

T：為什么這樣算？

S2：用甲數(shù)除以乙數(shù)就行了。

從上面的訪談里，可以探尋出學(xué)生緣何無法正確、順利地解決問題的根源來。

1.理解不透：分?jǐn)?shù)意義的掌握還欠透徹

分?jǐn)?shù)關(guān)系是刻畫幾個數(shù)量關(guān)系之間的又一種方式，有別于整數(shù)關(guān)系的是，它以其中一個數(shù)量作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，能更靈活、細(xì)致、準(zhǔn)確地表示各部分量之間的關(guān)系，與高年級“比”“百分?jǐn)?shù)”等數(shù)學(xué)知識聯(lián)系十分緊密。有專家指出：“分?jǐn)?shù)概念的獲得，使兒童對數(shù)的理解有了一個突破性的進(jìn)展，這為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)來解決實際問題提供了有力的保證?！崩斫?、掌握分?jǐn)?shù)的意義，能有效地培養(yǎng)、提高學(xué)生的邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的逐步完善?？梢?，五年級的“分?jǐn)?shù)的意義”，是學(xué)生學(xué)習(xí)并解決測試卷中這類習(xí)題的重要知識基礎(chǔ)。借用奧蘇伯爾的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備原理來說，分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）意義的相關(guān)知識，是解決這類習(xí)題的認(rèn)知準(zhǔn)備。對于“甲數(shù)是乙數(shù)的4/5，乙數(shù)比甲數(shù)多（ ）%，甲數(shù)比乙數(shù)少（ ）%”來說，對于，4/5意義的理解越深刻、透徹，越有利于學(xué)生對這個問題的解決。存在解決障礙的學(xué)生，因為對分?jǐn)?shù)意義的理解不深刻，無法順利提取相關(guān)的知識儲備，對數(shù)的認(rèn)識還不能從具體數(shù)量過渡到對關(guān)系的考慮上，所以學(xué)生對這類沒有具體數(shù)量的計算顯得力不從心。在本次測試卷中，同樣的含有具體數(shù)量的習(xí)題，學(xué)生完成情況就普遍好于第1、3兩題。

書法興趣小組有女生l6人，男生人數(shù)比女生人數(shù)多25%，女生占書法興趣小組全部人數(shù)的幾分之幾？

題中“男生比女生多25%”的條件與第4題是一致的，但因為有“女生16人”這個具體數(shù)量的存在，所以學(xué)生很容易計算女生占法興趣小組的4/9。從與學(xué)生的訪淡中可以印證這一點，從正確解答的學(xué)生身上也可以印證這一點。

2.方法不足：問題解決的策略缺乏指導(dǎo)

在平時的教學(xué)中，對“一件上衣，原價200元，現(xiàn)在降價l/5，現(xiàn)在售價多少元？”“食堂運來120千克面粉，是運來的大米的40%，面粉和大米一共運來多少千克”這類問題的教學(xué)，教師所花的精力和時間比較多，理解題意，確定方法等分析過程細(xì)致、具體，但對本文所述的這種習(xí)題，欠缺解決方法的指導(dǎo).缺少對學(xué)生如何正確解答這些問題的思考過程的關(guān)注和分析。無法正確解答的學(xué)生如何思考并解決這類問題？測試卷上學(xué)生給出了這些解決方法（如圖）：

可見，解題的策略與分析問題的思考方法的應(yīng)用在這個問題的解決過程中起著極為重要的作用。學(xué)生對策略應(yīng)用的女好壞，對“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾”應(yīng)用題分析的正確與否，直接影響著他對于問題的解決。這也正是本類習(xí)題在這次測試中解答成功與否的又一重要原因。

四、行動

有了以上的認(rèn)識與分析，筆者對這部分百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題進(jìn)行了課堂練習(xí)設(shè)汁，并進(jìn)行了教學(xué)改進(jìn)實踐。

第一步：聯(lián)系中復(fù)習(xí)

①學(xué)校羽毛球隊共有20人，其中男生12人，女生人數(shù)是男生的（ ）/（ ），男生比女生多（ ）%。

②學(xué)校乒乓球隊男生人數(shù)占全隊人數(shù)的3/5，男生人數(shù)與女生人數(shù)的最簡整數(shù)比是（ ）：（ ）。男生人數(shù)是女生人數(shù)的（ ）/（ ），男生比女生多（ ）%。

學(xué)生自主完成，課堂交流填空結(jié)果。問：要求男生人數(shù)是女生的幾分之幾，可以怎樣汁算？男生人數(shù)比女生多百分之幾，可以怎樣計算？

小結(jié)得出：求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，可以用“一個數(shù)÷另一個數(shù)（單位‘1）=百分之幾”進(jìn)行計算;一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾，可以用“兩數(shù)相差數(shù)÷另一個數(shù)（單位‘1）=多（少）百分之幾”進(jìn)行計算。

第二步：課堂重點練習(xí)

（l）對比練習(xí)。

①學(xué)校田徑隊有男生lO人，女生比男生多20%，男生占田徑隊總?cè)藬?shù)的幾分之幾？

②學(xué)校田徑隊中女生比男生多20%，男生占田徑隊總?cè)藬?shù)的幾分之幾？

課堂重點反饋第②題的解答方法：

方法1：畫線段圖（略）。

方法2：把男生看作100人，女生就是100×（1+ 20%）=l20人了。這樣就能算出男生占田徑隊總?cè)藬?shù)的幾分之幾。

方法3：我把男生人數(shù)看作單位“1”，女生人數(shù)就是l+20%=1.2，l÷（1.2+1），也能算出男生占徑隊總?cè)藬?shù)的幾分之幾。

方法4：我把20%化簡成分?jǐn)?shù)是1/5，男生人數(shù)可以看作5，女生人數(shù)就是6，也能算出男生占田徑隊總?cè)藬?shù)的幾分之幾。

師：通過計算，你認(rèn)為這兩道題的題目一樣嗎？（生有的說一樣，有的說不一樣）請你說一說：相同的地方在哪里，不同之處又在哪里？這兩道題的解法一樣嗎？它們相同的地方在哪里，不同之處又在哪里？遇到?jīng)]有具體數(shù)量的題可以怎樣想？這些方法中你最喜炊哪種方法？為什么？

（2）回顧應(yīng)用。

你能用上剛才同學(xué)們介紹的解答方法，完成并訂正上面這些習(xí)題嗎？

方法總結(jié)：呈現(xiàn)并提煉出解答方法。

（3）錯例分析。

（課堂呈現(xiàn)測試卷上的錯題）他們這樣思考對嗎？請你說說錯的原因。

第三步：方法鞏固

（l）填空：大圓周長是小圓周長的l20）%，小圓，周長與大圓周長的最簡整數(shù)比是（ ）：（ ），大圓周長比小圓周長長（ ）%。。

（2）判斷：甲數(shù)比乙數(shù)少1/3，甲數(shù)與乙數(shù)的比是4：3。（ ）

（3）選擇：大圓的面積比小圓的面積大l/5，那么，小圓的面積比大圓的面積小（ ）。

A.1/5

B.1/6

C.1/4

這三步舉措，主要基于如下思考：

l.遷移中聯(lián)系舊知

眾所周知，分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比和除法之間的聯(lián)系十分緊密，但學(xué)生的思維特點仍處在由形象思維向抽象思維不斷過渡的過程中。在上述教學(xué)中，考慮到學(xué)生需要具體數(shù)量參與才能正確進(jìn)行計算的表現(xiàn)和思維特點，筆者把問題解決的起點，設(shè)定在復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義、百分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系等舊知中，通過練習(xí)遷移舊知，溝通并強(qiáng)化三者之間的聯(lián)系;把釋疑解困的教學(xué)干預(yù)的著力點，集中在既有聯(lián)系又有區(qū)別的對比練習(xí)上。通過這個對比練習(xí)，學(xué)生得以明確：

①既可以根據(jù)具體數(shù)量來解決問題.也可以根據(jù)幾個量之間的關(guān)系來解決問題。

②如果沒有具體數(shù)量，可以采用其他辦法，根據(jù)這幾個量之間的關(guān)系也能解決“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾”等問題。

③分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比都能表示出幾個量之間的關(guān)系，這三者之間也可以相互轉(zhuǎn)化。

2.共享中習(xí)得方法

從試卷上學(xué)生給出的解決方法不難看出，學(xué)生的想法是多樣的。這些源于學(xué)生且閃現(xiàn)著學(xué)生智慧火花的方法，正是解決這類問題的典型、有效、易于理解的方法。有位哲人說：“你有一個蘋果，我有一個蘋果，交換后每人還是一個蘋果;你有一種思想，我有一種思想，交換后每人有兩種思想?！睂@些方法的課堂展示、共享與交流反饋，在引導(dǎo)學(xué)生改正錯誤的同時，增進(jìn)了對比、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的理解，更重要的是，豐富了這一類問題的解決策略。

3.練習(xí)中形成技能

緊隨其后的練習(xí)，則重在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生懂得習(xí)得方法后的應(yīng)用與反思。既有對測試題思考過程的回顧，也有對前面所學(xué)的他人新方法的應(yīng)用，更有對這些錯例的錯因所在而進(jìn)行的分析與反思。在這樣回顧—應(yīng)用—糾錯—練習(xí)的過程里，解決方法的提煉水到渠成：可以畫圖計算，也可以假設(shè)舉例，還可以應(yīng)用關(guān)系進(jìn)行解答。

五、實踐再反思

俯下身來才能察覺學(xué)生的思維視角。一次不經(jīng)意間的個別輔導(dǎo)，引發(fā)了暴露錯誤、放大錯誤、經(jīng)歷錯誤直至改正錯誤的一次教學(xué)改進(jìn)行動。本文開頭的學(xué)生，經(jīng)后續(xù)了解，她已經(jīng)掌握了用多種計算方法來解決此類問題。