量綱理論與量綱分析法的教學(xué)方案的探討

魏 環(huán) 許賀菊

(華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北 唐山 063210)

量綱分析是物理與工程研究中的一種重要的科學(xué)分析方法?？茖W(xué)方法的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)上，所謂“授人以魚，只供一飯之需，授人以漁，則終身受用無(wú)窮”, 就是對(duì)科學(xué)方法的教育價(jià)值的最通俗的表述。學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、研究與解決問(wèn)題的能力乃至創(chuàng)新能力不僅依賴于他們所掌握的知識(shí)，更依賴于他們對(duì)科學(xué)方法的認(rèn)知程度。

量綱分析法在西方許多大學(xué)物理教材中都有較長(zhǎng)篇幅的詳細(xì)介紹[1]，反觀我國(guó)的基礎(chǔ)物理教學(xué)，對(duì)量綱分析理論的重視程度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，趙凱華先生在1991年出版的《定性與半定量物理學(xué)》一書中就談到：“在通常的物理教科書中，量綱理論往往只是順便提及和一帶而過(guò)。關(guān)于量綱的應(yīng)用，在教學(xué)中也只介紹單位的換算、檢查公式的對(duì)錯(cuò)等少數(shù)方面[2]?！睍r(shí)至今日，20多年過(guò)去了，趙先生所談之狀況仍未有多少改變。追尋導(dǎo)致“一帶而過(guò)”這種教學(xué)現(xiàn)狀的原因，本文認(rèn)為，主要是在我國(guó)的大學(xué)和研究生院的課程設(shè)置中，很少有院校把量綱分析當(dāng)作一門課程來(lái)開設(shè)，那些教授和使用量綱分析法的也僅僅是涉及傳熱學(xué)、力學(xué)等極少數(shù)專業(yè)的教師和學(xué)生，因此，許多從事物理教學(xué)的教師本身就對(duì)量綱分析法及其應(yīng)用缺乏了解和研究，物理課堂上的量綱問(wèn)題最終就只能“一帶而過(guò)”了。

量綱分析理論具有重要的教育教學(xué)價(jià)值，這是一個(gè)能夠使學(xué)生長(zhǎng)期受用的知識(shí)和方法，在大學(xué)物理課程中不應(yīng)“一帶而過(guò)”，而要給予足夠的重視，這也是作者撰寫此文的初衷。

1 量綱分析法的理論基礎(chǔ)

1.1 量綱的意義

每個(gè)物理量都有兩個(gè)基本特征，那就是它的大小和屬性，物理學(xué)中的單位和量綱就是與此相關(guān)的兩個(gè)概念。其中，物理量的單位是為了度量物理量的大小而人為規(guī)定的參考標(biāo)準(zhǔn)[3]，而量綱則是為了表征物理量的基本屬性以及辨識(shí)物理量的種類而采用的術(shù)語(yǔ)。在任何一個(gè)單位制中，都會(huì)有一組物理量被選作基本量，每個(gè)基本量均具有獨(dú)立的量綱，導(dǎo)出量的量綱由基本量的量綱組成。

1.2 物理量的量綱式[1，4-6]

一個(gè)導(dǎo)出量的量綱由單位制中基本量綱冪次的乘積來(lái)表示。按照國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)物理量Q的量綱記為dimQ，其量綱式為：dimQ=AαBβCγ…，其中，A，B，C …表示某個(gè)單位制中的基本量綱，α，β，γ…為實(shí)數(shù)，稱為物理量Q的量綱指數(shù)。在國(guó)際單位制中共有7個(gè)基本物理量，對(duì)應(yīng)有7個(gè)獨(dú)立的基本量綱(L、M、T、I、Θ、N、J)。因此，物理量Q的量綱式為

dimQ=LαMβTγIδΘεNξJη

(1)

物理量按其屬性分為兩類：一類是物理量的大小與選用的單位制有關(guān)，稱之為有量綱量，例如長(zhǎng)度、時(shí)間、能量、動(dòng)量；另一類是物理量的大小與所選用的單位制無(wú)關(guān)，這類物理量的特征是其量綱指數(shù)均為零，故稱無(wú)量綱量，例如，兩個(gè)同類物理量的比值、角度、指數(shù)和對(duì)數(shù)等超越函數(shù)的變量、精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，等等，均為無(wú)量綱量，此類物理量均用純數(shù)來(lái)表示。

1.3 量綱和諧原理

量綱的運(yùn)算服從指數(shù)運(yùn)算法則：兩個(gè)物理量相乘時(shí)其對(duì)應(yīng)的量綱指數(shù)相加，相除時(shí)其對(duì)應(yīng)的量綱指數(shù)相減。比較物理量的大小只有在屬性相同(即量綱相同)的物理量之間進(jìn)行才有意義，同樣，只有量綱相同的物理量才能相加、相減或相等。

物理規(guī)律必須具有度量單位變換的不變性，因此，一個(gè)正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其等號(hào)兩端必然是量綱一致的，即物理方程式中各代數(shù)項(xiàng)的量綱必須相同。這個(gè)量綱法則又稱“量綱和諧原理”[5,6]。

1.4 量綱分析法

物理規(guī)律指的是在某個(gè)物理現(xiàn)象或物理過(guò)程中，存在于原因與結(jié)果之間的必然聯(lián)系，從量綱的角度看，反映因果規(guī)律的物理方程必然服從量綱和諧原理。當(dāng)選定了某個(gè)單位制后，每個(gè)物理量也隨之有了確定的量綱式，此時(shí)，“量綱和諧”作為法則必然對(duì)原因與結(jié)果的物理量之間的依存關(guān)系構(gòu)成制約，即，量綱和諧原理從量綱的角度已然規(guī)定了一個(gè)過(guò)程中各個(gè)物理量之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。因此，該原理當(dāng)然就能夠成為分析和判斷物理現(xiàn)象中因果關(guān)系的重要依據(jù)，即：從量綱和諧原理出發(fā)能夠分析和尋找物理現(xiàn)象中的客觀規(guī)律，或者依據(jù)該原理可以去尋找解決復(fù)雜問(wèn)題的線索。

所謂量綱分析法，就是利用物理量的量綱所提供的信息，根據(jù)量綱和諧原理這個(gè)法則去確定一個(gè)物理過(guò)程中各個(gè)物理量之間的因果關(guān)系并建立數(shù)學(xué)模型的方法[4-6]。

1.5 兩種常用的量綱分析方法

1) 瑞利分析法

瑞利(L.Rayleigh)積極提倡使用量綱分析法，他給出了一種直接利用量綱和諧原理建立量綱等式來(lái)確定物理量之間因果關(guān)系的分析方法[7]，該方法基本步驟如下：

(1) 對(duì)于待求物理量，確定對(duì)其構(gòu)成控制或影響的相關(guān)物理量以及所涉及的基本量綱。譬如設(shè)p為待求物理量(因變量)，p1，p2，…，pn為影響p的n個(gè)物理量(自變量)，用k表示為自變量和因變量中所涉及到的基本量綱的數(shù)目。

(2) 建立物理量之間指數(shù)乘積形式的因果關(guān)系式。即設(shè)

(2)

其中，λ是無(wú)量綱的未知系數(shù)，a1，a2，…，an為待定冪指數(shù)。

(3) 依據(jù)量綱和諧原理，寫出式(2)的量綱等式：

(3)

(4) 根據(jù)每個(gè)物理量在所選用單位制中應(yīng)有的量綱式以及量綱等式(3)，列出a1，a2，…，an所滿足的方程組。這里以力學(xué)問(wèn)題為例，采用國(guó)際單位制則基本量綱的數(shù)目k=3，涉及到的基本量綱為L(zhǎng)、M、T，因此，可設(shè)

代入式(3)，有

可得以a1，a2，…，an為未知量的方程組：

(4)

(5) 解方程組，確定冪指數(shù)a1，a2，…，an的取值，獲得含有未知系數(shù)λ的因果關(guān)系式(2)。

λ是需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)或理論分析來(lái)求取的，故采用瑞利分析法只能得到定性的因果關(guān)系。此外，基本量綱的數(shù)目k決定了由量綱恒等式列出的代數(shù)方程的個(gè)數(shù)，當(dāng)n>k時(shí)，將無(wú)法唯一確定a1，a2，…，an的取值。因此，瑞利分析法受到物理量個(gè)數(shù)n的限制，它更適合處理n≤k的問(wèn)題。

2) Π定理與無(wú)量綱化分析法

在量綱分析法中，對(duì)相似的物理現(xiàn)象的共同特征，也采用一組相似特征數(shù)來(lái)表征。但是，與對(duì)幾何相似性的描述不同的是，由于控制或影響一個(gè)物理現(xiàn)象的物理量可以有多個(gè)，而且屬性也不同，因此，這組無(wú)量綱的相似特征數(shù)通常是由屬性不同的物理量組合而成的[4]。

由于過(guò)程中相關(guān)物理量之間有著確定的因果聯(lián)系，因此表征該過(guò)程的相似特征數(shù)之間也必然存在著確定且等價(jià)的函數(shù)關(guān)系。1914年，E. Buckingham從量綱和諧原理出發(fā)，推導(dǎo)和證明了“有量綱的物理量之間的因果關(guān)系與無(wú)量綱的相似特征數(shù)之間因果關(guān)系的等價(jià)性”[8]，該定理表述如下。

如果某個(gè)物理問(wèn)題中涉及n+1個(gè)物理量p0，p1，p2，…，pn(其中可以包含物理常數(shù))和k個(gè)基本量綱(n+1>k)，則由此可以組成n+1-k個(gè)無(wú)量綱的量Πi(i=0，1，2，…，n-k)。而在物理量p0，p1，p2，…，pn之間存在的函數(shù)關(guān)系式

p0=f(p1，p2，…，pn)

(5)

可以等價(jià)地表達(dá)成相應(yīng)的無(wú)量綱形式

Π0=F(Π1，Π2，…，Πn-k)

(6)

Πi即相似特征數(shù)(由于它們都用Π表示，此定理又稱Π定理)，式(6)也稱相似特征數(shù)方程。Π定理表明，任何一個(gè)有量綱的物理方程改寫為無(wú)量綱量組成的方程時(shí)，其規(guī)律性不變。

相似特征數(shù)Πi的構(gòu)成方法如下：如果問(wèn)題中共涉及k個(gè)基本量綱，則可在n+1個(gè)物理量p0，p1，p2，…，pn中選擇k個(gè)具有獨(dú)立量綱的物理量作為一組基本量去度量其余的物理量，即可得到n+1-k個(gè)無(wú)量綱量。比如，取p1，p2，…，pk作為一組基本量，則

其中ai1，ai2，…，aik為一組待定冪指數(shù)，可以根據(jù)每個(gè)物理量的量綱式以及Πi的零指數(shù)性質(zhì)，確定出ai1，ai2，…，aik的取值。結(jié)合式(6)、式(8)，有:

(9)

由于相似特征數(shù)均獨(dú)立于單位制，也與實(shí)際問(wèn)題中物體本身的大小和運(yùn)動(dòng)規(guī)模等具體物理量無(wú)關(guān)，具有客觀性，因此，相似特征數(shù)方程反映的是彼此相似的同一類物理現(xiàn)象所遵循的規(guī)律。

3) 模型試驗(yàn)與物理相似原理

利用三角形的幾何相似性，古埃及人測(cè)出了金字塔的高度。同樣，對(duì)于那些不適于直接針對(duì)實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜的工程技術(shù)問(wèn)題，人們采取了用模型實(shí)驗(yàn)來(lái)代替對(duì)原型(即工程實(shí)物)直接進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的研究策略。模型實(shí)驗(yàn)是指在模擬的環(huán)境中，針對(duì)經(jīng)過(guò)縮減的實(shí)物模型、運(yùn)用簡(jiǎn)化及可控制的方法再現(xiàn)和研究實(shí)物實(shí)際發(fā)生的物理現(xiàn)象。由Π定理可知，相似特征數(shù)方程代表了同一類物理現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，因此，當(dāng)模型實(shí)驗(yàn)和原型實(shí)驗(yàn)滿足物理相似的條件時(shí)，就可以通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)來(lái)發(fā)現(xiàn)原型的規(guī)律。

由式(6)可知，當(dāng)模型(用下標(biāo)m表示)與原型(用下標(biāo)p表示)中同名的相似特征數(shù)對(duì)應(yīng)相等時(shí)，即

(10)

模型與原型必然遵循相同的規(guī)律，故，同名的相似特征數(shù)大小相等是兩個(gè)物理現(xiàn)象相似的充分必要條件。式(10)是模型實(shí)驗(yàn)必須遵循的相似原則，也稱物理相似原理[2，4，9-10]。

針對(duì)飛機(jī)模型、高速列車模型所設(shè)計(jì)的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)，針對(duì)水壩模型、橋梁模型所設(shè)計(jì)的水流實(shí)驗(yàn)等等皆屬模型實(shí)驗(yàn)。利用模型實(shí)驗(yàn)，人們一方面可以再現(xiàn)原型實(shí)際會(huì)發(fā)生的物理現(xiàn)象，另一方面，人們還可以通過(guò)對(duì)模型的改動(dòng)來(lái)達(dá)到對(duì)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的原始設(shè)計(jì)要求。在實(shí)踐中，相似特征數(shù)可以通過(guò)量綱分析獲得，其具體數(shù)值則由模型實(shí)驗(yàn)來(lái)確定，這些數(shù)值可以直接應(yīng)用于原型以及其他相似的物理現(xiàn)象中?？梢?jiàn)，Π定理與物理相似原理是模型實(shí)驗(yàn)的理論依據(jù)。

4) 對(duì)兩種量綱分析法的評(píng)析

第一，無(wú)論是瑞利分析法還是無(wú)量綱化分析法，都是將量綱和諧原理作為探尋事物間因果規(guī)律的根本原則。這種觀察和分析問(wèn)題的視角、原則與邏輯，不需要已知具體的物理定律和機(jī)理，甚至并不要求研究者具備足夠的專業(yè)知識(shí)，因此，當(dāng)人們面對(duì)那些物理機(jī)理尚不清楚、亦無(wú)現(xiàn)成數(shù)學(xué)模型可用的復(fù)雜現(xiàn)象時(shí)，量綱分析將能提供行之有效的建模途徑。

第二，在上述兩種分析法中，式(2)中的系數(shù)λ及式(6)中函數(shù)F的具體形式均不能依靠量綱分析法來(lái)確定，而是需要通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)或理論分析才能獲得。因此，量綱分析法僅限于對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行定性的分析。

第三，在瑞利法中只需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定一個(gè)系數(shù)λ即可，而Π定理提供的無(wú)量綱化分析法可以使自變量的個(gè)數(shù)由n個(gè)減少為n-k個(gè)，二者均能夠大幅減少實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的工作量。

2 量綱分析理論的三層次教學(xué)方案

2.1 確立“完整且有深度”的教學(xué)目標(biāo)

從教學(xué)的角度看，量綱分析理論的特點(diǎn)之一可以用“基本”二字概括：首先是概念基本，量綱是對(duì)一個(gè)物理量屬性的描述，而屬性是每個(gè)物理量的基本特征之一；其次是原理基本，量綱和諧原理是任何一個(gè)正確反映客觀規(guī)律的物理方程都要遵從的基本法則；第三是應(yīng)用基本，利用量綱概念可以在同一單位制中進(jìn)行單位換算，利用量綱和諧原理可以檢驗(yàn)方程中各個(gè)物理量之間的關(guān)系是否正確。量綱概念及其基本法則是每個(gè)物理學(xué)習(xí)者登堂入室所必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)。

特點(diǎn)之二，作為一種研究方法，量綱分析法有著獨(dú)特的視角和非常規(guī)的思維方式：它既不依賴已知的物理定律，也不采用從已知物理定律出發(fā)進(jìn)行邏輯分析最后得出結(jié)論的常規(guī)思維方式，而是選擇量綱作為考察與分析問(wèn)題的視角、將“量綱和諧”這一基本法則作為在探尋客觀規(guī)律時(shí)進(jìn)行邏輯分析與判斷的基本依據(jù)。正是這種獨(dú)特的視角和非常規(guī)的思維方式，使之成為人們?cè)谔幚頇C(jī)理尚不清楚且無(wú)現(xiàn)成數(shù)學(xué)模型可用的復(fù)雜的物理和工程問(wèn)題時(shí)首選的研究方法[4，11-15]，事實(shí)表明，這種方法往往能夠發(fā)揮非常重要而有效的作用。

此外，量綱分析不受具體專業(yè)的限制，是具有普適性的方法，這是其特點(diǎn)之三。

對(duì)于量綱分析這個(gè)基本且重要的科學(xué)方法，大學(xué)物理課程理應(yīng)對(duì)其作出完整且有深度的介紹。在此，“完整”是指對(duì)量綱不能只介紹它的基本功能，還要介紹量綱分析法的核心理論——Π定理；而 “深度”是強(qiáng)調(diào)，在教學(xué)環(huán)節(jié)中不僅要有通透的理論分析以揭示方法的內(nèi)涵，還要有恰當(dāng)?shù)氖纠哉宫F(xiàn)其應(yīng)用的價(jià)值。只有這樣才可能讓學(xué)生對(duì)這種方法形成良好的認(rèn)知。深度與完整是相互關(guān)聯(lián)的，不完整則無(wú)法有深度。

2.2 關(guān)于“三層次教學(xué)設(shè)計(jì)方案”

基于上述目標(biāo)，并且依照量綱分析理論的內(nèi)在邏輯，設(shè)計(jì)如下3個(gè)教學(xué)層次：

第一個(gè)層次，介紹量綱的基本概念、原理和最基礎(chǔ)的應(yīng)用功能，使學(xué)生建立起量綱的概念，接受量綱和諧的思想和量綱分析的基本法則；

第二個(gè)層次，介紹瑞利分析法?；讦岸ɡ淼臒o(wú)量綱化的分析方法雖然更為基本，但它同時(shí)也很抽象，而瑞利分析法邏輯簡(jiǎn)潔明了，是對(duì)量綱和諧原理的直接運(yùn)用，把對(duì)它的討論作為第二個(gè)教學(xué)層次，會(huì)讓學(xué)生在邏輯思維的銜接上感覺(jué)連貫和順暢，既有利于學(xué)生的理解，也有助于鞏固和強(qiáng)化學(xué)生對(duì)量綱法則的認(rèn)知。

第三個(gè)層次，介紹Π定理及物理相似原理。由Π定理提供的無(wú)量綱化的分析方法更加普適，特別是它與相似原理的聯(lián)合運(yùn)用，不僅成為模型實(shí)驗(yàn)的理論依據(jù)，也成為了目前廣泛應(yīng)用的數(shù)值模擬方法的理論基礎(chǔ)。因此，介紹Π定理與相似原理是量綱分析理論在當(dāng)今的大學(xué)物理課程中應(yīng)該達(dá)到的教學(xué)深度。

上述3個(gè)教學(xué)層次是按照量綱分析法的內(nèi)在邏輯組織構(gòu)建的，因此，知識(shí)脈絡(luò)清晰分明。此外，盡管量綱分析法需要學(xué)習(xí)者具備一些基本的物理常識(shí)，但是方法本身并不需要依賴具體的物理規(guī)律，所以，完全可以在大學(xué)物理課程之初的力學(xué)部分中，將這3個(gè)教學(xué)層次集中作為一個(gè)獨(dú)立授課單元去講授。因?yàn)?，?duì)于有著高中物理基礎(chǔ)的大學(xué)生而言，介紹量綱分析法無(wú)需更多知識(shí)來(lái)鋪墊。

物理學(xué)是具有方法論性質(zhì)的基礎(chǔ)學(xué)科，科學(xué)知識(shí)與科學(xué)方法應(yīng)該是大學(xué)物理課程中兩個(gè)平行的主體內(nèi)容?？茖W(xué)方法涉及的是人們認(rèn)識(shí)世界的思維方式與行為方式，承載著與知識(shí)不同的教育內(nèi)涵與教育價(jià)值[16]。教育的一個(gè)重要特點(diǎn)就是有意識(shí)、有目的的影響人。拿出一定的學(xué)時(shí)明確完整地教授一種科學(xué)研究方法，這種具有明確目的的教學(xué)設(shè)計(jì)可以促使學(xué)生有意識(shí)地接受科學(xué)方法的訓(xùn)練，也有助于學(xué)生對(duì)科學(xué)方法形成全面和系統(tǒng)的認(rèn)知[17]。

3 3個(gè)量綱分析示例的教學(xué)賞析

例題分析的作用重在點(diǎn)化學(xué)生，教師通過(guò)對(duì)精心挑選的示例展開分析討論，以期達(dá)到啟迪學(xué)生心智、深化其認(rèn)知和拓展其思維的教學(xué)目的。

示例1：用量綱分析法證明勾股定理[2，11]。

證明：面積S的量綱為dimS=L2，由圖1可知，當(dāng)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度一定時(shí)，其面積還取決于銳角θ的函數(shù)f(θ)。由于角度θ及其函數(shù)f(θ)均無(wú)量綱，根據(jù)量綱和諧原理，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形的面積可表示為S=c2f(θ)。

圖1 直角三角形的面積

圖2 證明勾股弦a、b、c的關(guān)系

如圖2所示，對(duì)直角三角形的斜邊做垂線，可將該三角形分成左右兩個(gè)與之相似的直角三角形，這兩個(gè)小的直角三角形的面積亦可以表示為

S左=a2f(θ)，S右=b2f(θ)

由于S=S左+S右，得到：c2f(θ)=a2f(θ)+b2f(θ)，消去f(θ)，即有c2=a2+b2成立。

教學(xué)賞析：

示例1運(yùn)用量綱分析的思想、以簡(jiǎn)潔明快的物理方法對(duì)學(xué)習(xí)者早已熟悉的數(shù)學(xué)定理給出了精彩的證明，這讓初學(xué)者在對(duì)量綱分析法的功能感覺(jué)奇妙和興奮的同時(shí)，也大大激發(fā)了他們進(jìn)一步了解和學(xué)習(xí)這種方法的興趣，這樣的教學(xué)效果在作者多年的教學(xué)實(shí)踐中屢試不爽，將此示例作為激發(fā)學(xué)生興趣的首例當(dāng)是絕佳選擇。

此示例依據(jù)量綱和諧原理以及面積和角度這兩個(gè)物理量的量綱完成了對(duì)直角三角形面積的數(shù)學(xué)表達(dá)，這是整個(gè)邏輯推理過(guò)程的第一步也是最為關(guān)鍵的一步，它對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)從量綱的視角觀察和分析問(wèn)題具有引導(dǎo)和示范的作用。另外，邏輯分析的線索是量綱，論證過(guò)程也與單位無(wú)關(guān)，表明量綱的“功能”是無(wú)法由單位取代的，在此可引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)量綱的意義、厘清量綱與單位在功能上的分別。

示例2：利用瑞利分析法研究物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

解：由于地球引力導(dǎo)致了物體下落，故根據(jù)經(jīng)驗(yàn)推測(cè)，物體自由下落的時(shí)間t應(yīng)該與物體的下落高度h、物體的質(zhì)量m以及當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)，可設(shè)：t=λhαmβgγ，采用國(guó)際單位制，有量綱等式

T=LαMβ(LT-2)γ=Lα+γMβT-2γ

結(jié)論：第一，自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與下落物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)；第二，如果在考慮地球引力作用對(duì)時(shí)間的影響時(shí)，選擇的是地球質(zhì)量 而非重力加速度，則此方法無(wú)解，這是量綱分析法本身的局限性，準(zhǔn)確找出影響和控制物理過(guò)程或現(xiàn)象的因素是有效運(yùn)用量綱分析法的前提和關(guān)鍵。

教學(xué)賞析：

示例2不僅展現(xiàn)了量綱分析法本身的邏輯順序，同時(shí)也將它的許多特性展現(xiàn)給了學(xué)生：(1)定性分析的特征；(2)不依賴已知的物理規(guī)律；(3)方法本身的局限性。

圖3 船舶的阻力

解：在水面行進(jìn)的船舶所受到的阻力F由兩部分組成，一是由水施加的黏滯阻力，二是行進(jìn)中的船舶造成水面波浪因消耗能量而形成的波浪阻力，為重力效應(yīng)。因此，與阻力F有關(guān)的是表征船舶外形的特征長(zhǎng)度l、與載重量有關(guān)的排水體積D、船舶行進(jìn)速度v、水的密度ρ、水的黏性系數(shù)μ及重力加速度g。故，

F=f(l,D,v,ρ,μ,g)

本例只涉及力學(xué)的3個(gè)基本量綱，根據(jù)Π定理，在影響阻力F的6個(gè)變量中選取l、v、ρ這 3個(gè)具有獨(dú)立量綱的量為基本量，則阻力F的無(wú)量綱表示式為

必須要求：

(1)Fp=503×0.02=2500(N)

教學(xué)賞析：

示例3是流體力學(xué)中的一個(gè)典型模型實(shí)驗(yàn)問(wèn)題，對(duì)它的分析與推理，既涉及了對(duì)Π定理和物理相似原理的具體運(yùn)用，也涉及了在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)對(duì)物理學(xué)的近似原則與方法的運(yùn)用，因此，這是一個(gè)能夠較為全面地展示如何運(yùn)用量綱分析法解決復(fù)雜的物理與工程問(wèn)題的理想的教學(xué)示例。

本示例不是一個(gè)純粹的物理學(xué)基礎(chǔ)理論問(wèn)題，而是一個(gè)與模型實(shí)驗(yàn)相關(guān)的具體工程案例。這樣設(shè)計(jì)的宗旨如下：第一，展示運(yùn)用量綱分析法解決工程技術(shù)問(wèn)題的邏輯和步驟。量綱分析理論在基礎(chǔ)物理學(xué)中有著許多重要的應(yīng)用，但是此方法在研究物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律時(shí)具有獨(dú)特的作用，為非物理專業(yè)的理工科學(xué)生提供用量綱分析法解決工程問(wèn)題的案例，對(duì)他們的吸引力以及思維方式的影響會(huì)更大。第二，通過(guò)對(duì)實(shí)例的感受，化解理論的抽象。由于以Π定理為代表的無(wú)量綱化分析法較為抽象，因此，選擇此示例的目的，是希望通過(guò)對(duì)這個(gè)具體案例的教學(xué)分析，能夠起到化解理論的抽象性、降低學(xué)生認(rèn)知難度的作用。

本示例主要不是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)流體力學(xué)的相關(guān)理論而是展示無(wú)量綱化的分析方法，盡管學(xué)生對(duì)于描述流體黏性的物理量比較陌生，但是不會(huì)因此增加他們對(duì)方法本身在應(yīng)用方面的理解難度?？梢詫⑵浞旁诖髮W(xué)物理的力學(xué)部分，完成對(duì)量綱分析法的第3個(gè)教學(xué)層次的教學(xué)目標(biāo)。

本文為三層次教學(xué)方案推薦了3個(gè)示例，一層一例，由淺入深，由簡(jiǎn)到繁，能夠基本實(shí)現(xiàn)完整且有深度的介紹量綱分析法的教學(xué)宗旨。

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)理工科學(xué)生而言，是否具備了運(yùn)用科學(xué)知識(shí)、科學(xué)的思維方式和行為方式分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是評(píng)判其科學(xué)素質(zhì)優(yōu)劣的一個(gè)重要尺度。本文以加強(qiáng)科學(xué)方法教育、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力為目的，針對(duì)目前在物理教學(xué)中仍被忽視的量綱分析法，闡述了量綱分析法的核心教學(xué)內(nèi)容與教育教學(xué)價(jià)值，同時(shí)，結(jié)合作者多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及相關(guān)研究成果[15]，對(duì)完整而有深度的講授量綱分析法提出了教學(xué)建議，希望本文能夠?qū)ν苿?dòng)量綱分析法的物理教學(xué)研究發(fā)揮一定的作用。