無限長雙曲柱面帶電導(dǎo)體的場分布

張拴柱

(長治學院電子信息與物理系，山西 長治 046011)

在一般的電磁學教科書中，討論無限大的帶電導(dǎo)體平板的例題、習題很多，但對帶電導(dǎo)體不是平板而是其他“曲面”板的問題很少涉及到。本文采用橢圓柱面坐標系，直接求解拉普拉斯方程，推導(dǎo)出了無限長帶電體為理想導(dǎo)體薄片制成的雙曲柱面場分布的解析式，畫出了等勢(面)線和電力線分布、計算出了雙曲柱面上電荷密度分布以及由雙曲柱面組成電容器的電容，在此基礎(chǔ)上還討論了一些其他特殊情形下的場的分布和電荷的分布。

1 無限長雙曲柱面帶電導(dǎo)體的場分布

設(shè)有用理想導(dǎo)體薄片制成的無限長帶電雙曲柱面導(dǎo)體，垂直于z軸平面與雙曲柱面相截，得的是一條雙曲線，它有A、B兩條曲線，如圖1所示。A導(dǎo)體上電勢V1，B導(dǎo)體電勢V2，且V1>V2。在xOy平面截得的A、B曲線方程為

(1)

兩支分別為：x>0為A支雙曲線；x<0為B支雙曲線。

圖 1

引進橢圓柱面坐標系，它與直角坐標系的關(guān)系為

(2)

拉梅系數(shù)

(3)

在橢z圓柱面坐標系中，坐標曲面是ξ=常數(shù)：為橢圓柱面

(4)

η=常數(shù)：為雙曲柱面

(5)

z=常數(shù)：為平行于xOy面的一族平面

z=C(常數(shù))

(6)

在橢圓柱坐標系中，兩“曲面”板之間的電勢φ滿足拉普拉斯方程

(7)

帶電導(dǎo)體為雙曲柱面且無限長，由對稱性可知這是一個平行平面場問題。又因為帶電導(dǎo)體雙曲柱面在xOy面上與橢圓柱坐標系中的雙曲線重合，在帶電導(dǎo)體雙曲柱面上，電勢φ是與ξ和z無關(guān)的常量，因此φ若只是η的函數(shù)，就可以滿足該問題的邊界條件，故取電勢φ分布函數(shù)只與η有關(guān)，與參量ξ、z無關(guān)，即

φ=φ(η)

(8)

因此，電勢φ的拉普拉斯方程變成了

(9)

解方程得

φ=Aη+B

(10)

其中：A和B是兩個積分常數(shù)，由邊界條件確定。

由邊界條件確定A和B兩個常數(shù)：

V1=Aη1+B

(11)

V2=Aη2+B

(12)

聯(lián)解

(13)

而

(14)

所以

φ=Aη+φ0

(15)

將帶電導(dǎo)體A雙曲線方程(1)(x>0)，與一族雙曲線方程(5)比較可得

同理，將帶電導(dǎo)體B雙曲線方程(1)(x<0)，與一族雙曲線方程(5)比較可得

由此可求得

(20)

所以

(21)

電場強度E的分布。由E=-φ兩“曲面”板之間的電場分布

(22)

而

(23)

代入式(22)，得

(24)

當討論的點是在帶電A雙曲柱面上，即取η=η1，把式(16)、(17)代入式(24)得

(25)

當討論的點是在帶電B雙曲柱面上，即取η=η2，把式(18)、(19)代入式(24)得

(26)

下面求等勢面和電力線分布函數(shù)。

電勢等勢面：

當φ=Aη+B=常數(shù)時，則一定有η=常數(shù)，而η=常數(shù)，則為一族雙曲柱面組成

(27)

因此等勢面是一族雙曲柱面，與帶電雙曲柱面有共同的焦點，在與垂直于z軸的平面相截得到的是一族等勢雙曲線。

電力線：

由正交曲線坐標系知識可知，電力線應(yīng)該滿足微分方程

(28)

由于Eξ=0，所以dξ=0，則ξ=常數(shù)，而ξ=常數(shù)，對應(yīng)是一族橢圓柱面，其方程

(29)

同理，由于Ez=0，所以dz=0，則z=常數(shù)，而z=常數(shù)，對應(yīng)的是一族平面

z=C

(30)

式(29)和式(30)聯(lián)立即是電力線方程，是一族橢圓曲線(一部分)，如圖2所示。

圖 2

結(jié)論：兩“曲面”板之間的雙曲柱面、橢圓柱面與z=常數(shù)相截所得的兩族交線：一族雙曲線(等勢線)，另一族橢圓線(電力線)，它們有共同的焦點。

2 雙曲柱面導(dǎo)體上的電荷分布

下面求雙曲柱面上的電荷分布，由電磁場邊值關(guān)系

(31)

而

(32)

所以在帶電A雙曲柱面上

(33)

由此看出，雙曲柱面上的電荷分布不均勻。下面看兩個特殊的點：

(1) 雙曲線的弧頂點處(a,0)

(34)

(2) 當y2→∞，即開口無限大時，此處看作平面

σmin→0

(35)

3 若有A、B兩個雙曲柱面導(dǎo)體薄片組成電容器，計算電容

如圖1所示，A、B兩個雙曲柱面組成電容器。首先求出帶電A雙曲柱面所帶電荷QA。

(36)

在橢圓柱面坐標系中，若帶電導(dǎo)體雙曲柱面A正好是當坐標系中η=η1為常數(shù)時的一個坐標曲面，由此可知，存在常數(shù)η1使得

(37)

所以沿軸線方向L長雙曲柱面的電荷

(38)

由x=cchξcosη得

(39)

所以

(40)

故沿軸方向長為l的雙曲柱面電容器的電容

(41)

討論

圖 3

所以

由式(38)得

(44)

而S=ly0等效于平行板電容器的極板面積，d=2a兩板之距，結(jié)果與平行板電容器的結(jié)果一致。

4 帶電雙曲面導(dǎo)體退化成兩半無限大平面

如圖4所示，當帶電雙曲面導(dǎo)體退化成相隔2a距離的兩個半無限大導(dǎo)體平面，求該導(dǎo)體平面的電場分布和電荷分布。

圖 4

半無限大平面可以看作是雙曲面是在b→0時形成的，因此，當b→0則c→a則

(45)

由式(33)得

(46)

上式是雙曲面導(dǎo)體上的電荷面密度。如果將上面和下面電荷量的面密度算在一起，則有

(47)

由式(25)得

(48)

方向垂直于導(dǎo)體平面。若用電荷密度來表示電場，則有

(49)

與預(yù)期結(jié)果一致。

5 帶電雙曲面導(dǎo)體退化成互相垂直的兩無限大平面

如圖5所示，當帶電雙曲面退化成相隔2a距離且互相垂直的一個無限大、另一個半無限大的導(dǎo)體平面，求該導(dǎo)體平面的電場分布和電荷分布。

A面，可以看作是雙曲面是在b→0時形成的的半無限大平面，因此在該面上的電荷密度、電場強度還是式(47)、式(48)。

圖 5

(50)

所以B面的電荷密度為

(51)

電場強度為

(52)

若用電荷密度來表示電場，則有

(53)

與預(yù)期結(jié)果一致。