劉興元

(邵陽學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽，422000)

二次柱面[1-2]是二次曲面中的一個(gè)重要內(nèi)容，傳統(tǒng)的教學(xué)模式下的教學(xué)過程如下：

定義1 給定一條曲線C及定直線l，則平行于定直線l且沿曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫做柱面的母線(見圖1)。

圖1 柱面示意圖 圖2 柱面示意圖Fig.1 Schematic diagram of a cylinder Fig.2 Schematic diagram of a cylinder

為方便起見，文中僅討論定直線l為z軸的情形。

如果柱面的準(zhǔn)線是xoy面上的曲線C，其方程為f(x，y)=0，柱面的母線平行于z軸，則方程f(x，y)=0就是這柱面的方程，因?yàn)樵诖酥嫔?見圖2)任取一點(diǎn)M(x，y，z)，過點(diǎn)M作直線平行于z軸，此直線與xoy面的交點(diǎn)M0(x，y，0)，點(diǎn)M0是點(diǎn)M在xoy面上的投影，于是M0必落在準(zhǔn)線C上，它在xoy面上的坐標(biāo)(x，y)必滿足方程f(x，y)=0，這個(gè)方程不含z項(xiàng)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y，z也滿足方程

f(x，y)=0

(1)

因此，在空間直角坐標(biāo)系中，方程f(x，y)=0所表示的圖形就是母線平行z軸的柱面。

同理可知，只含y，z而不含x的方程φ(y，z)=0，表示母線平行于x軸的柱面。只含x，z而不含y的方程φ(x，z)=0，表示母線平行于y軸的柱面。

講完上述內(nèi)容及書中的例題后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容掌握不夠，主要表現(xiàn)在對(duì)后續(xù)的投影柱面不能很好的理解和掌握。而Maple軟件[3]具有強(qiáng)大的繪圖功能，其輔助教學(xué)功能也有獨(dú)到之處，Maple軟件的動(dòng)畫制作命令，使得教師可使用animate命令能方便地制作出各種柱面的動(dòng)畫，為此利用Maple軟件的動(dòng)畫功能和多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，用動(dòng)畫的形式給出柱面的動(dòng)態(tài)圖形，從直觀上幫助學(xué)生理解柱面。

2 Maple軟件的動(dòng)畫功能在二次柱面教學(xué)中的應(yīng)用示例

例1 用Maple做出以xoy面上的圓x2+y2=16為準(zhǔn)線，母線平行z的圓柱面的動(dòng)畫圖形。

解 在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：with(plots)：with(plottools)：

a1：=plot3d([4*cos(s)，4*sin(s)，t]，t=0..6，s=0..2*Pi)：

A：=[0，0，0]：B：=[1，0，0]：C：=[0，1，0]：

a2：=project(a1，[A，B，C])：

a3：=animate(plot3d，[[4*cos(s)，4*sin(s)，t]，s=0..x，t=0..6]，x=0..2*Pi，axes=normal，labels=[x，y，z])：

a4：=spacecurve([4，0，t]，t=0..6，color=red，thickness=4)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-5..5，v=0..0.01，thickness=3)：

y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=-5..5，v=0..0.01，thickness=3)：

z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=0..8，v=0..0.01，thickness=3)：

xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

display(xyz，a2，a3，a4)；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖(如圖5)，選中動(dòng)畫基圖在Maple工作窗口中出現(xiàn)動(dòng)畫控制工具條(如圖3).

圖3 maple 動(dòng)畫播放工具Fig.3 Maple animation player

為了便于觀察，可以降低柱面動(dòng)畫的速度，將動(dòng)畫速度每秒幀數(shù)10更改為1(見圖4)。

圖4 低速動(dòng)畫播放工具Fig.4 Low-speed animation player

基圖5中顯示有三條坐標(biāo)軸，xoy面上的圓即準(zhǔn)線，平行于z軸的母線(紅色的直線段)，在Maple窗口中，選中圖5，然后單擊動(dòng)畫控制工具條中的“插放”按鈕，可以觀看圓柱面形成動(dòng)畫過程，插放完畢即得圓柱面的圖形見圖7。也可選擇“分幀播放”按鈕，圖6是其第16帖的形狀,此例的程序命令中涉及到曲面和曲線的參數(shù)方程及其參數(shù)范圍的確定，具體方法見參考文獻(xiàn)[4-8]。

圖5 圓柱面基圖Fig.5 A cylindrical base graph

圖6 圓柱面分幀顯示圖Fig.6 A cylindrical framed display

圖7 圓柱面圖Fig.7 A cylindrical diagram

例2 用Maple做出以xoy面上的拋物線y2=x為準(zhǔn)線，母線平行z的拋物柱面的動(dòng)畫圖形。

解 在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：with(plots)：with(plottools)：

a1：=plot3d([s，s^2，t]，t=0..6，s=-2..2)：

A：=[0，0，0]；B：=[1，0，0]；C：=[0，1，0]：

a2：=project(a1，[A，B，C])：

a3：=animate(plot3d，[[s，s^2，t]，s=-2..x，t=0..6，color=yellow]，x=-2..2，axes=normal，labels=[x，y，z])：

a4：=spacecurve([-2，4，t]，t=0..6，color=red，thickness=4)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-2.5..2.5，v=0..0.01，thickness=3)：

y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=0..4，v=0..0.01，thickness=3)：

z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=0..6，v=0..0.01，thickness=3)：

xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

display(xyz，a2，a3，a4)；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖(如圖8)，選中圖8，單擊動(dòng)畫控制工具條中“插放”按鈕，可以觀看拋物柱面形成動(dòng)畫過程，插放完畢即得拋物柱面的圖形見圖10。也可選擇“分幀播放”按鈕，圖9是其第18幀時(shí)的形狀。

圖8 拋物柱面基圖Fig.8 A parabolic cylindricalbase graph

圖9 拋物柱面分幀顯示圖Fig.9 A parabolic cylindricalframed display

圖10 拋物柱面Fig.10 A parabolic cylindricaldiagram

例3 用Maple做出以xoy面上的雙曲線x2-y2=1為準(zhǔn)線，母線平行z的雙曲柱面的動(dòng)畫圖形。

解 在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：with(plots)：with(plottools)：

a1：=plot3d([sqrt(1+s^2)，s，t]，t=0..6，s=-2.2..2.2)：

A：=[0，0，0]；B：=[1，0，0]；C：=[0，1，0]：

a2：=project(a1，[A，B，C])：

a3：=animate(plot3d，[[sqrt(1+s^2)，s，t]，s=-2..x，t=0..6]，x=-2..2，axes=normal，labels=[x，y，z])：

b1：=plot3d([-sqrt(1+u^2)，u，t]，t=0..6，u=-2..2)：

a：=[0，0，0]；b：=[1，0，0]；c：=[0，1，0]：

b2：=project(b1，[a，b，c])：

b3：=animate(plot3d，[[-sqrt(1+u^2)，u，t]，u=-2..x，t=0..6]，x=-2..2)：

a4：=spacecurve([-2.4，-sqrt(5)，t]，t=0..6，color=red，thickness=4)：

a5：=spacecurve([2.1，-sqrt(5)，t]，t=0..6，color=red，thickness=4)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-2.5..2.5，v=0..0.01，thickness=3)：y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=-2.5..2.5，v=0..0.01，thickness=3)：z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=0..6，v=0..0.01，thickness=3)：xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

display(xyz，a2，a3，b2，b3，a4，a5)；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖，如圖11，在Maple窗口中選中圖11，單擊動(dòng)畫控制工具條中“分幀播放”按鈕，圖12是其第18幀的形狀，插放完畢即得雙曲柱面的圖形，見圖13。

圖11 雙曲柱面基圖Fig.11 A hyperbolic cylindricalbase graph

圖12 雙曲柱面分幀顯示圖Fig.12 A hyperbolic cylindricalframed display

圖13 雙曲柱面Fig.13 A hyperbolic cylindricaldiagram

例4 用Maple做出以xoy面上的雙曲線y=1+sinx為準(zhǔn)線，母線平行z的柱面的動(dòng)畫圖形。

解 在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：with(plots)：with(plottools)：

b1：=plot3d([t，1+sin(t)，s]，s=0...1，t=0..2*Pi)：

A：=[0，0，0]；B：=[1，0，0]；C：=[0，1，0]：

b2：=project(b1，[A，B，C])：

b3：=animate(plot3d，[[s，1+sin(s)，t]，s=0..x，t=0..4，color=yellow]，x=0..2*Pi，axes=normal，labels=[x，y，z])：

b4：=spacecurve([0，1，s]，s=0..4，color=red，thickness=8)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-.5..6.5，v=0..0.01，thickness=3)；y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=-.5..2.5，v=0..0.01，thickness=3)；z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=-.3..5，v=0..0.01，thickness=3)：

xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

display(xyz，b2，b3，b4)；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖，如圖14，選中圖14，單擊動(dòng)畫控制工具條中“插放”按鈕，可以觀看以xoy面上的正弦曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面形成動(dòng)畫過程，插放完畢即得正弦柱面的圖形，見圖16。也可單擊動(dòng)畫控制工具條中“分幀播放”按鈕，圖15其第18幀的形狀。

圖14 正弦柱面基圖Fig.14 A sinusoidal cylindricalbase graph

圖15 正弦柱面分幀顯示圖Fig.15 A sinusoidal cylindricalframed display

圖16 正弦柱面Fig.16 A sinusoidal cylindricaldiagram

3 結(jié)語

文中通過四個(gè)例子，介紹了圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面、正弦柱面的動(dòng)畫制作命令，當(dāng)然也可以做出任何柱面的動(dòng)畫圖形，教師事先在Maple中做好各種柱面的動(dòng)畫圖形，在多媒體教學(xué)中，可以切換到Maple平臺(tái)，演示上述動(dòng)畫；也可以將Maple中各柱面的動(dòng)畫基圖貯存為gif格式文件，將此gif格式文件粘貼到PowerPoimt課件的幻燈片中，并標(biāo)注好準(zhǔn)線、母線，播放幻燈片就可以看到柱面的形成動(dòng)畫，然后再講述柱面定義并引出各種柱面的方程，將起到事半功倍的作用。