李曉杰, 王渺渺 , 陳文龍

(1. 齊魯理工學(xué)院， 濟(jì)南 250200；2. 臨邑師范學(xué)校， 德州 251500)

1 引 言

自1966年Blume-Capel(BC)模型被創(chuàng)建以來(lái)[1,2]，人們利用不同方法對(duì)多種晶格上的BC模型的磁學(xué)特性和相圖進(jìn)行了研究. Erhan Albayrak分別研究了稀釋晶場(chǎng)中Bethe晶格和正方晶格上BC模型的相變行為[3-5]，發(fā)現(xiàn)晶場(chǎng)強(qiáng)度及其稀釋程度會(huì)影響系統(tǒng)的重入現(xiàn)象和三臨界點(diǎn). 文獻(xiàn)[6]中研究了交換相互作用服從稀釋分布時(shí)蜂巢晶格的相變性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)橫場(chǎng)、晶場(chǎng)和自旋間交換相互作用影響系統(tǒng)的相變并且系統(tǒng)出現(xiàn)重入現(xiàn)象；文獻(xiàn)[7]中研究了稀釋晶場(chǎng)對(duì)蜂巢晶格系統(tǒng)磁學(xué)性質(zhì)和相圖的影響，結(jié)果顯示晶場(chǎng)稀釋分布對(duì)系統(tǒng)的相變沒(méi)有影響并且系統(tǒng)不存在三臨界點(diǎn). 近些年來(lái)，磁性納米管逐漸成為科學(xué)研究的一個(gè)焦點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)和理論研究都取得了一定的進(jìn)展. 實(shí)驗(yàn)上，文獻(xiàn)[8]中發(fā)現(xiàn)Fe-Ni磁性納米管具有明顯的各項(xiàng)異性；毛瑞等人以植物纖維素為模板，制備的中空Sn02納米管作為鋰離子電池負(fù)極材料，具有較高的放電容量和良好的電化學(xué)循環(huán)性能[9]. 理論上，T. Kaneyoshi研究了納米管系統(tǒng)磁化率隨溫度的變化情況[10]，發(fā)現(xiàn)外殼層和內(nèi)殼層最近鄰自旋間交換相互作用不同會(huì)改變系統(tǒng)的磁化率；Osman等人分別討論了納米管中純自旋系統(tǒng)和混合自旋系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度、磁化率、內(nèi)能、比熱、自由能和相圖[11-13]，研究了晶場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)磁化性質(zhì)的影響，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在一級(jí)相變和二級(jí)相變. Zaim小組研究了外磁場(chǎng)服從三模分布時(shí)納米管上spin-1Ising模型的磁熱性質(zhì)和相圖[14]，結(jié)果表明納米管外殼層和內(nèi)殼層自旋間交換相互作用比值和外磁場(chǎng)影響系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度、內(nèi)能、比熱、自由能和相變. 文獻(xiàn)[15]研究了雙模隨機(jī)晶場(chǎng)中Blume-Capel模型的磁化強(qiáng)度和相變性質(zhì)，得到了系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度與溫度和隨機(jī)晶場(chǎng)的關(guān)系及其相圖，結(jié)果表明系統(tǒng)在稀釋晶場(chǎng)、交錯(cuò)晶場(chǎng)和同向晶場(chǎng)中會(huì)表現(xiàn)出不同的磁學(xué)性質(zhì)和相變行為. 文獻(xiàn)[16]討論了納米管上BEG模型的熱力學(xué)和相變性質(zhì)，研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在三臨界點(diǎn). 文獻(xiàn)[17]基于第一性原理研究了鋁氮摻雜小半徑碳納米管，結(jié)果顯示，鋁氮共摻雜的情況下，更容易形成相鄰的鋁氮對(duì). 文獻(xiàn)[18]利用基于密度泛函理論的第一性原理方法研究了稀土金屬La吸附摻雜BN納米管的儲(chǔ)氫性能. 據(jù)我們所知，迄今人們還沒(méi)有研究稀釋晶場(chǎng)對(duì)納米管系統(tǒng)內(nèi)能、比熱和自由度的影響. 為了弄清楚稀釋晶場(chǎng)對(duì)納米管系統(tǒng)臨界性質(zhì)的影響，本文利用有效場(chǎng)理論對(duì)納米管上BC模型格點(diǎn)的磁化強(qiáng)度、內(nèi)能、比熱、自由能及它們與溫度和稀釋晶場(chǎng)的關(guān)系進(jìn)行了研究，給出了系統(tǒng)格點(diǎn)磁化強(qiáng)度、內(nèi)能、比熱和自由能隨溫度的變化曲線.

2 模型和方法

無(wú)限長(zhǎng)納米管由內(nèi)殼層和外殼層兩部分組成，見(jiàn)圖1. 圖1(a)為納米管的立體示意圖，圖1(b)給出其橫截面示意圖. 為了更清晰地顯示不同格點(diǎn)上具有相同配位數(shù)的磁性原子，用圓圈、方塊和三角形分別代表配位數(shù)為5、6和7的磁性原子. 每個(gè)磁性原子的自旋為1，圖中原子間的連線代表最近鄰磁性原子之間存在交換相互作用，它們的大小分別為J1、J2和J.

圖1 納米管示意圖. (a) 立體圖，(b) 截面圖，圓圈和方塊代表外殼層磁性原子，三角代表內(nèi)殼層磁性原子，實(shí)線表示最近鄰自旋間的交換相互作用(網(wǎng)刊彩色)Fig. 1 The schematic picture of nanotube:(a) perspective view of the cylindrical nanotube, (b) its cross section. The circles and squares respectively represent magnetic atoms at the surface shell. The triangles are magnetic atoms constituting the core shell. The bonds connecting the magnetic atoms represent the nearest-neighbor exchange interactions.

納米管上BC模型的哈密頓量可表述為

(1)

其中Si取值為-1，0，+1，J1代表外殼層最近鄰自旋間的交換相互作用，J代表內(nèi)殼層最近鄰自旋間的交換相互作用，J2代表外殼層和最近鄰的內(nèi)殼層自旋間的交換相互作用，Di代表作用在格點(diǎn)i上的稀釋晶場(chǎng)，它們都滿足稀釋晶場(chǎng)分布

P(Di)=tδ(Di-D)+(1-t)δ(Di),

(2)

其中t(0≤t≤1)表示稀釋晶場(chǎng)取值為0的概率，1-t代表示稀釋晶場(chǎng)取值為0的概率，當(dāng)t=1時(shí)，含稀釋晶場(chǎng)的BC模型退化為含恒定晶場(chǎng)的BC模型，當(dāng)t=0時(shí)，含稀釋晶場(chǎng)的BC模型中沒(méi)有晶場(chǎng)作用.

利用有效場(chǎng)理論[19-21]可以得到外殼層格點(diǎn)自旋磁化強(qiáng)度m1和m2，內(nèi)殼層格點(diǎn)自旋磁化強(qiáng)度mc的自洽方程：

(3a)

(3b)

(3c)

外殼層格點(diǎn)四極矩q1和q2，內(nèi)殼層格點(diǎn)四極矩qc表達(dá)式：

(4a)

(4b)

(4c)

其中函數(shù)F(x)和G(x)定義為

=tf(x,D)+(1-t)f(x),

(5)

=tg(x,D)+(1-t)g(x).

(6)

f(x,Di)和g(x,Di)的表達(dá)式為

(7)

(8)

其中β=1/kBT.T是絕對(duì)溫度，kB是玻爾茲曼常數(shù).

系統(tǒng)中每個(gè)格點(diǎn)的內(nèi)能為

〈Emc〉)-Di(q1+q2+qc),

(9)

其中

(10a)

(10b)

(10c)

系統(tǒng)的比熱為

(11)

系統(tǒng)自由能為

F=U-TS.

(12)

根據(jù)熱力學(xué)第三定律，自由能為

(13)

3 結(jié)果與討論

為了便于將本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果相比較，不特別說(shuō)明，本文余下內(nèi)容均取J1/J=J2/J=1. 為了不失一般性，設(shè)晶場(chǎng)強(qiáng)度D和等效溫度kBT以J為單位，通過(guò)求解方程(3)，給出了稀釋晶場(chǎng)中系統(tǒng)格點(diǎn)磁化強(qiáng)度隨溫度的變化曲線(見(jiàn)圖2)，并在此基礎(chǔ)上得到了系統(tǒng)的內(nèi)能、比熱、自由能(見(jiàn)圖3).

3.1 磁化強(qiáng)度

圖2 稀釋晶場(chǎng)概率t和晶場(chǎng)D/J不同時(shí)，系統(tǒng)磁化強(qiáng)度隨溫度的變化曲線(網(wǎng)刊彩色).Fig. 2 The temperature dependence of the magnetization is presented with some selected values of tand crystal field D/J (a)0.3,-7.953,(b) 0.5,-7.953, (c) 0.75,-9.5, (d) 0.8,-9.5.

圖3 系統(tǒng)的內(nèi)能、比熱和自由能隨溫度的變化曲線(網(wǎng)刊彩色).Fig.3 The temperature dependences of the internal energy U, the specific heat C and the free energy F for nanotube.

通過(guò)計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)0.153≤t≤0.715且D/J一定時(shí)，隨著t的增大相同格點(diǎn)處自發(fā)磁化減弱，相變溫度降低，磁化區(qū)域減??；當(dāng)t一定時(shí)，D/J從某一值開(kāi)始到負(fù)無(wú)窮，磁化強(qiáng)度隨溫度變化曲線有微小變化但相變溫度不變[15]. 例如，當(dāng)t=0.3且-

3.2 磁化特性

圖3(a)-(f)給出了正負(fù)晶場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)能、比熱和自由能隨溫度的變化曲線. 從圖中可以看出負(fù)晶場(chǎng)和正晶場(chǎng)作用下，系統(tǒng)內(nèi)能、比熱和自由能表現(xiàn)出不同磁化現(xiàn)象. 圖3(a)顯示系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度升高連續(xù)變化；然而正晶場(chǎng)作用下，系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度變化曲線不連續(xù)，見(jiàn)圖3(b). 圖3(c)表明負(fù)晶場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)比熱呈現(xiàn)復(fù)雜性. 當(dāng)t>0.7時(shí)，系統(tǒng)比熱隨溫度升高連續(xù)變化. 然而t≤0.7時(shí)，隨溫度升高比熱曲線出現(xiàn)一個(gè)奇點(diǎn). 當(dāng)正晶場(chǎng)作用下，且溫度較低時(shí)，系統(tǒng)比熱隨溫度升高而增大，隨著溫度繼續(xù)升高比熱曲線在二級(jí)相變[15]處也出現(xiàn)一個(gè)奇點(diǎn)，然后迅速變?yōu)榱悖鐖D3(d)所示. 圖3(e)和(f)給出了自由能隨溫度的變化情況. 由于溫度較低時(shí)，熵對(duì)自由能的影響比較小. 因此基態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的自由能與內(nèi)能相等，對(duì)比圖3(e)和(a)、3(f)和(b). 然而，隨著溫度的升高，熵對(duì)自由能的影響也越明顯.

4 結(jié) 論