周欣濤　陳萍

摘 要：首先，從誤差和時間復(fù)雜度兩方面入手，分析如今主流期權(quán)定價方法的優(yōu)劣，進(jìn)而引出主體研究對象傅里葉余弦方法;其次，在Black-Scholes模型假設(shè)下進(jìn)行傅里葉COS方法的歐式期權(quán)定價，對該方法的理論可行性進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)和證明;最終，通過運(yùn)用風(fēng)險中性定價原理，得到改進(jìn)的COS方法定價公式，相對于原方法在運(yùn)算速度上有一定提高。得到數(shù)值結(jié)果后，繼續(xù)對影響COS方法定價效果的因素進(jìn)行對比分析，先固定原參數(shù)不變，通過數(shù)值驗證發(fā)現(xiàn)截斷系數(shù)L對整體方法影響是非常大的，也把L的固定值修改為適應(yīng)區(qū)間;其次轉(zhuǎn)而分析參數(shù)影響，表明到期時間T和傅里葉展開項數(shù)N對L有較大影響。最后，嘗試將BS模型上的COS方法推廣至Heston模型中，并解決一定的理論推導(dǎo)和數(shù)值分析問題。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價;傅里葉余弦方法;特征函數(shù);Black-Scholes模型;數(shù)值計算方法

中圖分類號：F830 ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ?文章編號：1673-291X（2019）15-0090-06

期權(quán)定價問題一直是金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的核心課題之一，而對金融衍生品的定價研究中，期權(quán)定價模型也是應(yīng)用最廣泛的一個。近年來，眾多基于傅里葉變換的定價方法研究開始涌現(xiàn)，如Fang和Oosterlee提出的Fourier-COS方法[1]。Ding[2]中對COS方法進(jìn)行了變形，使其在多種交割價格的情況下更為迅捷。該方法對比之前影響力較大的Carr-Madan方法[3]和Lord等作者提出的CONV方法[4]等，COS方法將計算復(fù)雜度降低到線性水平，是目前已知的傅里葉相關(guān)算法中最快的[5]，該方法也被Fang應(yīng)用于為提前行權(quán)和離散障礙期權(quán)定價[6]。

本文延續(xù)了對于COS方法的應(yīng)用，將兩者進(jìn)行了對比歸納以及新的數(shù)值模擬，并補(bǔ)充了對于積分區(qū)間的選擇。需要指出的是，之前文獻(xiàn)對于該區(qū)間均沒有提供證明或者靈敏性的檢測，本文將對此進(jìn)行探討。

若使用參考文獻(xiàn)[1]中的COS方法，可得到時間與誤差（如下頁表2所示）。

而使用參考文獻(xiàn)[2]中的FCOS方法，可得到時間與誤差（如表3所示）。

對比兩表得知，COS方法和FCOS方法誤差達(dá)到其收斂值所需的N值均為64，且誤差數(shù)量級相同（均為E-14）。但FCOS方法將計算時間減少了將近一半，故其在面對多交割價格時有一定作用。

三、數(shù)值模擬與靈敏度分析

我們針對上文的BS模型，對L的取值范圍進(jìn)行敏感性分析，并對不同參數(shù)T和N進(jìn)一步分析其對L的影響。故靈敏度分析分為兩部分：一是固定T，分析L的變化浮動;二是變動T，對比L的適應(yīng)范圍。其次，我們再將定價模型改變?yōu)楦N近真實市場的Heston模型，將COS模型應(yīng)用在Heston模型上。

（一）靈敏度分析及T變動影響

首先，分析L對BS模型的影響。若固定上文BS模型的其他參數(shù)不變（同表1，并取N=64），從固定L=10，變動到L=[5，25]。具體方式為：以[5，25]為區(qū)間，0.1為間距取201個點(diǎn)分別進(jìn)行傅里葉變換定價，并計算出對應(yīng)點(diǎn)的誤差，繪制成圖1。

結(jié)合圖1與表2，若設(shè)E-13為可接受范圍，則L的可接受范圍可以縮減為[7.5，14]，以此為區(qū)間可做更精細(xì)的誤差分析圖2。

由圖2可知，在L∈[7.5，14]時，誤差處于E-13到E-14的水平，與L=10的誤差相符。

接下來，討論不同期限T下，L的適應(yīng)范圍變化。以T=1為臨界點(diǎn)，將期權(quán)按到期時間分為中短期期權(quán)和中長期期權(quán)：對于前者，分別取T=0.1，0.25，0.5，1繪圖，而對于中長期期權(quán)，則分別考察T=1，2，5，10。

對比圖3和圖4，不同到期時間的期權(quán)整體誤差走勢相近，且隨著到期時間的增加，誤差精度逐漸降低。當(dāng)T≤1時，誤差精確度較高，L的可適應(yīng)范圍也較大。類似地，當(dāng)T≥1時，誤差精度隨著T的增大下降很快，方法對于L適應(yīng)范圍的要求也隨之變高。T=10相比于T=0.1，不僅誤差從E-13上升到E-11，L的可適應(yīng)范圍也從[7.5，14]縮減到[8，10]?？梢钥闯?，若從誤差與容錯率角度對比，COS方法更適應(yīng)于中短期期權(quán)。

結(jié)合表3，可知N=64是誤差剛達(dá)到收斂值時所對應(yīng)的項數(shù)。在這種情況下，誤差對于L的變化可能并不夠穩(wěn)定，后續(xù)研究需要排除這個不穩(wěn)定因素。

（二）Heston模型的推廣

BS模型假設(shè)波動率是常數(shù)，而在研究真實市場時，波動率變化會較為復(fù)雜。學(xué)界常用針對隨機(jī)波動率的Heston模型[10]來應(yīng)對此類問題。

四、總結(jié)

本文詳細(xì)評估了兩種基于傅里葉變換的期權(quán)定價方法，依據(jù)實驗數(shù)據(jù)，通過變換L和T的取值，對模型進(jìn)行了靈敏度分析。本文也克服了傳統(tǒng)的BS模型依賴常數(shù)波動率的缺陷，將方法推廣至Heston模型并提高了方法的估計精準(zhǔn)度。

數(shù)值實驗表明，一是FCOS算法對于多估計速度優(yōu)于原始的COS方法，兩者同樣具有較好的精度和魯棒性;二是在BS模型中，L的適應(yīng)范圍與T相關(guān)性較大。當(dāng)T變大時，L的適應(yīng)范圍迅速變小，我們需要更準(zhǔn)確的L值來實現(xiàn)COS算法。

對于傅里葉變換方法，尚未考慮其他主流定價模型如VG模型等，需要后續(xù)進(jìn)一步完善;對于參數(shù)估計的實驗數(shù)據(jù)相對較少，需要后續(xù)大量計算實驗產(chǎn)生，盡可能覆蓋所有可能影響計算結(jié)果的參數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?Fang F.，Oosterlee C.W.A novel pricing method for European options based on Fourier-cosine series expansions[J].SIAM Journal on Scientific Computing，2008，（2）：826-848.

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[3] ?Carr P.，Madan D.Option valuation using the fast Fourier transform[J].Journal of computational finance，1999，（4）：61-73.

[4] ?Lord R.，F(xiàn)ang F.，Bervoets F.，et al..A fast and accurate FFT-based method for pricing early-exercise options under Lévy processes[J].SIAM Journal on Scientific Computing，2008，（4）：1678-1705.

[5] ?Hirsa A.Computational methods in finance[M].CRC Press，2016.

[6] ?Fang F.，Oosterlee C.W.Pricing early-exercise and discrete barrier options by Fourier-cosine series expansions[J].Numerische Mathematik，2009，（1）：27.

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[10] ?Heston S.L.A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options[J].The review of financial studies，1993，（2）：327-343.

Abstract：Firstly，this paper briefly introduces several main pricing methods at present，and analyses their advantages and disadvantages from two aspects of error and time complexity，then draws out the main research object of this paper-Fourier Cosine method.Secondly，under the assumption of Black-Scholes model，European option pricing based on Fourier COS method is carried out，and the theoretical feasibility of this method is deduced and proved in detail.By applying the risk-neutral pricing principle，the improved pricing formula of COS method is finally obtained，which is faster than the original method.After obtaining the numerical results，this paper continues to make a comparative analysis of the factors affecting the pricing effect of COS method.Firstly，we fix the original parameters unchanged.Through numerical verification，we find that the truncation coefficient L has a great impact on the overall method，and also revise the fixed value of L to the adaptive range.Secondly，we turn to analyze the influence of the parameters，showing that the option expiration date T and the number of Fourier expansion terms N have a significant impact on L.Finally，this paper attempts to extend the COS method on BS model to Heston model，and solve some theoretical derivation and numerical analysis problems.

Key words：Option pricing;Fourier Cosine method;characteristic function;Black-Scholes model;numerical method

[責(zé)任編輯 陳丹丹]