常麗娜

(長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011)

0 引言

眾所周知，對于一般的一階常微分方程并沒有通用的初等解法，比如形式上很簡單的里卡蒂(Riccati)方程一般就沒有初等解法，事實上大量的一階非線性微分方程都無法用初等解法求出其通解，只能利用數(shù)值方法求出其數(shù)值解或近似解[1].本文給出了一類可通過變量變換化為一階線性微分方程的微分方程，從而為此類微分方程提供了一般的求解方法.

1 主要方法及舉例

設(shè)有微分方程形如

(1)

其中P(x),Q(x)在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)，其中當(dāng)Q(x)=0時，方程為變量分離方程，故本文中主要討論Q(x)≠0的情形.

方法1：化為伯努利微分方程

分析：方程形式上和一階非齊次線性微分方程最為接近，故令z=ey，希望使得方程右邊可化為線性形式.

(2)

方程(2)為n=2的伯努利微分方程.伯努利微分方程可利用積分因子法、常數(shù)變易法來求得通解或通過變量代換令u=z-1化為一階非齊次線性微分方程來求得其通解.

啟發(fā)：方程形式上和一階非齊次線性微分方程的區(qū)別在于一階非齊次線性微分方程右邊為P(x)y+Q(x)，上面令z=ey，兩邊求導(dǎo)的過程中，因為指數(shù)函數(shù)ey求導(dǎo)仍含其本身，所以并沒有將P(x)ey化為P(x)z，而是將P(x)ey化為P(x)y2，并未達(dá)到我們將方程(1)直接化為線性微分方程的目的.實際上，再次觀察(1)的形式及指數(shù)函數(shù)ey的求導(dǎo)特點(diǎn)，令z=e-y，兩邊求導(dǎo)后，將變換代入方程，可將P(x)ey的部分化為-P(x)，Q(x)化為-Q(x)z，即此時方程右邊已化為線性形式.

方法2：直接化為一階非齊次線性微分方程

(3)

此為一階非齊次線性微分方程，我們可利用常數(shù)變易法、積分因子法等初等方法求得其通解.

因為伯努利微分方程一般也是通過變量變換化為一階非線性微分方程來求解的，所以比較兩種變換，易知方法二更簡便.

(4)

這是一階非齊次線性微分方程，首先，對應(yīng)齊次線性微分方程

的通解為

z=cx-3

其次應(yīng)用常數(shù)變易法，將上式中的c看成為x的待定函數(shù)c(x)，設(shè)出非齊次線性微分方程的通解，即

z=c(x)x-3.

(5)

將上式代入(4)，得到

即

積分之，求得

將所求的c(x)代入(5)，得方程(4)的通解

代回原來的變量y，得到原方程的通解

其中c′為任意常數(shù).

這是一階非齊次線性微分方程，解得

代回原來的變量y，得到原方程的通解

ey=ce-x+2ex(sinx-cosx)

其中c為任意常數(shù).

解：原方程不是未知函數(shù)y的可化為線性微分方程的這類方程，但我們可將它改寫為

即

把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，這樣方程就是可化為線性微分方程的這類方程.

這是一階非齊次線性微分方程，解得

z=cy2-y2ln|y|

代回原來的變量x，得到原方程的通解

e-x=y2ln|y|-cy2

其中c為任意常數(shù).

微分方程的求解靈活性非常強(qiáng)，對于非常見類型可根據(jù)方程的特點(diǎn)，引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將方程化為常見類型后進(jìn)而求解，本文根據(jù)一類典型類型的微分方程特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，將一類非線性微分方程化為線性微分方程求解，從而為一階微分方程的初等解法進(jìn)行了一定的推廣.