讓數(shù)學(xué)思維根植于解決問題中

陳亞萍

摘 要：在解決數(shù)學(xué)問題中，通過教師深度地教、學(xué)生深度地學(xué)，能促使學(xué)生自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題，提升學(xué)生解決問題的能力。文章從激發(fā)思維沖突，引解決問題“落地”;喚醒思維意識，助解決問題“生根”;激活思維發(fā)散點(diǎn)，讓解決問題“開花”;搭建思維臺階，促解決問題“結(jié)果”四個(gè)方面，論述了促使學(xué)生用數(shù)學(xué)思維解決數(shù)學(xué)問題的策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;解決問題;思維沖突

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2019-02-27 文章編號：1674-120X（2019）15-0054-02

思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)之“魂”，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)基于“思維”來教[1]。然而在解決問題教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的缺失、數(shù)學(xué)思維的膚淺、數(shù)學(xué)思維的僵化、數(shù)學(xué)思維的障礙等問題充斥著課堂。因此，在課堂教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維解決數(shù)學(xué)問題。下面筆者結(jié)合實(shí)際談?wù)勅绾巫寯?shù)學(xué)思維根植于解決問題中，讓解決問題“落地”“生根”“開花”“結(jié)果”。

一、激發(fā)思維沖突，引解決問題“落地”

杜威曾說過：“沖突能觸發(fā)思想，誘發(fā)我們不斷調(diào)整和修正教學(xué)，推動(dòng)我們?nèi)?chuàng)造，使我們警醒、敏銳、積極動(dòng)腦思考?！盵2]筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在解決問題時(shí)，部分教師沒有讀透教材，在認(rèn)知沖突點(diǎn)上輕率處理，致使學(xué)生思維缺失。而教師如果能“挑起事端”，不斷引起認(rèn)知沖突，使學(xué)生進(jìn)入沖突旋渦，在強(qiáng)烈的矛盾沖突中去思考、經(jīng)歷與感悟，充滿思維的數(shù)學(xué)課堂就能拉開帷幕，解決問題也就水到渠成了。

以執(zhí)教“面積意義和面積單位”為例，在體驗(yàn)面積單位實(shí)際大小時(shí)，活動(dòng)設(shè)計(jì)如下：①如何驗(yàn)證兩張面積差別不大的卡片大??？為什么格子多面積反而小呢？②如何用1平方厘米的小正方形測量黑板面的大?。竣?平方米生活中表現(xiàn)在哪些地方？一系列問題的拋出，能夠引發(fā)學(xué)生內(nèi)部的矛盾沖突，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析生活現(xiàn)象。第一個(gè)問題通過觀察、猜想、驗(yàn)證等方法促使學(xué)生主動(dòng)尋找“統(tǒng)一格子大小”的標(biāo)準(zhǔn)，引出1平方厘米的面積單位。第二個(gè)問題中學(xué)生經(jīng)歷了充分的感悟、探究和不斷的自我否定，巧妙激活思維，推動(dòng)創(chuàng)造更大的面積單位去測量黑板，1平方米的面積單位順勢而出。第三個(gè)問題是尋找1平方米的過程，使學(xué)生在疑中生趣，幫助學(xué)生正確構(gòu)建1平方米面積大小的表象，讓其與1米長度的線段進(jìn)行對比，進(jìn)一步區(qū)分面積和長度兩個(gè)概念，從而加深對面積單位概念的理解。學(xué)習(xí)中，學(xué)生興趣盎然，課堂氣氛異常活躍，探索過程精彩不斷，真正營造了“教學(xué)無痕”“精彩有痕”的和諧課堂氛圍。教學(xué)實(shí)踐證明，有目的性地設(shè)計(jì)一些容易使學(xué)生進(jìn)入思維定式的圈套，刻意制造一些“極端問題”或善于“煽風(fēng)點(diǎn)火”，能有效喚起學(xué)生的有意注意，引發(fā)學(xué)生的思維沖突，促發(fā)學(xué)生展示真實(shí)思維過程的迫切需要，迸發(fā)創(chuàng)新思維的火花，在質(zhì)疑辯難中使解決問題落到實(shí)處。

二、喚醒思維意識，助解決問題“生根”

唐代杜牧說：“學(xué)非探其花，要自拔其根?！盵3]意思是學(xué)習(xí)不能停留在表面，要帶著理性的精神追根溯源，以理性的力量去感染學(xué)生。長期以來，部分教師自身缺乏研究精神，沒有理清整個(gè)知識結(jié)構(gòu)體系，對知識本質(zhì)似懂非懂、云里霧里，導(dǎo)致學(xué)生的思維膚淺，經(jīng)常在知識點(diǎn)周圍兜圈子，甚至還引發(fā)學(xué)習(xí)的負(fù)面情緒。而優(yōu)秀教師則善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)有“根”的數(shù)學(xué)，大膽挖掘知識背后隱藏的道理和規(guī)律，從層層遞進(jìn)追根究底，到抽絲剝繭明白道理。這種回歸思維原點(diǎn)的探究做法，讓學(xué)生深刻悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體驗(yàn)到探索與發(fā)現(xiàn)的快樂，學(xué)生知識體系的“根”也就長得粗壯！

以執(zhí)教“3的倍數(shù)特征”為例，難點(diǎn)在于探究特征背后的道理，筆者結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)如下：①判斷一個(gè)數(shù)是不是5的倍數(shù)時(shí)，為什么只需關(guān)注個(gè)位，其他數(shù)位都不用看？學(xué)生通過說理，借助計(jì)數(shù)器、小棒、畫圖等多種形式進(jìn)行探究，還有從尋找余數(shù)的關(guān)系入手進(jìn)行總結(jié)：假設(shè)判斷一個(gè)四位數(shù)ABCD是不是5的倍數(shù)，我們知道，A在千位上，表示A×1000，1000是5的倍數(shù)，所以A×1000也是5的倍數(shù)，即千位沒有余數(shù);B在百位上，表示B×100，100是5的倍數(shù)，所以B×100也是5的倍數(shù)，即百位沒有余數(shù);C在十位上，表示C×10，10是5的倍數(shù)，所以C×10也是5的倍數(shù)，即十位也沒有余數(shù)。由此可見，產(chǎn)生余數(shù)只能在個(gè)位，個(gè)位只有0或5才能被5整除，所以只需要看個(gè)位是不是5的倍數(shù)。此環(huán)節(jié)重視呈現(xiàn)思維的“關(guān)節(jié)”，“整除”“余數(shù)”等概念在活動(dòng)中喚醒學(xué)生思維的意識。②你打算怎樣研究3的倍數(shù)的特征？有了前面研究的方法和經(jīng)驗(yàn)作為支撐，探究變得有章可循了，此環(huán)節(jié)教師只需要給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和追問便可。同樣是四位數(shù)ABCD，1個(gè)千除以3，余數(shù)是1，A個(gè)千除以3，余數(shù)也就是A;1個(gè)百除以3，余數(shù)是1，B個(gè)百除以3，余數(shù)也就是B;以此類推，四位數(shù)ABCD除以3，余數(shù)也就可以看成（A+B+C+D），再用這個(gè)余數(shù)之和除以3。當(dāng)然，還有學(xué)生結(jié)合位值說理、字母總結(jié)歸納、知識的結(jié)構(gòu)處延展教學(xué)價(jià)值等方法進(jìn)行探究。學(xué)生的理性精神并非與生俱來，在后天的學(xué)習(xí)過程中，教師需要對其多啟發(fā)思考：是什么？為什么？這樣能逐漸引導(dǎo)學(xué)生思考得更深刻、更清楚、更到位。思維是撩撥出來的，而這種撩撥是需要不凡的教育智慧的！只有這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能透過現(xiàn)象邁向本質(zhì)，思維從膚淺走向深刻。

三、激活思維發(fā)散點(diǎn)，讓解決問題“開花”

教育家波利亞說：“一個(gè)專業(yè)的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。”發(fā)散思維是從一個(gè)問題出發(fā)突破原有的思維限制，在思考過程中，不受原有知識的牽絆，探求出解決問題的多種方法。筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，部分教師過度追求聚合思維，過分追求學(xué)習(xí)成績，缺乏對發(fā)散思維的系統(tǒng)訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生思維僵化不靈活。因此，在教學(xué)中不妨多設(shè)置一題多解、一題多議、一題多改、一式多想等開放性練習(xí)題，從而使學(xué)生增加思維發(fā)散的廣度和深度，讓解決問題綻放美麗之花。

例如：“學(xué)校的菜地是由一個(gè)直角梯形和一個(gè)等腰直角三角形拼成的大梯形，已知直角梯形的上底是3米，下底是6米，高是3米，求面積;等腰直角三角形的底和高都是3米，求這個(gè)梯形菜地的面積?！睂@一題，可以運(yùn)用多種方法解答：①運(yùn)用梯形的面積公式來解決，梯形的上底是3米，下底是9米，高是3米，求面積;②把大梯形看成一個(gè)直角梯形（上底是3米，下底是6米，高是3米）和一個(gè)等腰直角三角形（底和高都是3米），求面積;③看成一個(gè)正方形（邊長3米）和兩個(gè)等腰直角三角形（底和高都是3米），求面積;④看成4個(gè)等腰直角三角形（底和高都是3米），求面積;⑤看成1個(gè)平行四邊形（底6米，高3米），求面積;⑥看成1個(gè)長方形（長6米，寬3米），求面積;⑦看成一個(gè)大三角形（底和高都是6米），求面積。在解答這一組組合圖形面積的過程中，可以綜合運(yùn)用所有多邊形面積的計(jì)算公式，這既能訓(xùn)練學(xué)生的思維，又能提高學(xué)生綜合解決問題的能力。由此可見，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生拓展解答思路，改變固有的思維模式，敢于另辟蹊徑，善于不斷調(diào)整思維方式，轉(zhuǎn)變思考方向，對同一問題從多角度、多層次加以分析解決，從而逐步發(fā)展學(xué)生求異創(chuàng)新的思維能力。但是，開放性問題的設(shè)計(jì)不能太難，讓學(xué)生望而生畏，要定位在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，要賦予學(xué)生探究知識的時(shí)間和空間，這樣學(xué)生的思維才能得到解放。

四、搭建思維臺階，促解決問題“結(jié)果”

布魯納認(rèn)為，搭建思維臺階的作用是降低難度，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從原有發(fā)展水平向潛在發(fā)展水平發(fā)展。縱觀課堂，不難發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對知識拐彎處無從下手，找不到“拐杖”支撐，導(dǎo)致思維停滯不前。拐彎處對學(xué)生來說普遍感到棘手，教師應(yīng)積極為學(xué)生搭建思維臺階，學(xué)生每上一個(gè)臺階，教師應(yīng)抓住契機(jī)，再搭一個(gè)更高的臺階。通過不斷搭建思維臺階，能促使學(xué)生思考得更全面、更深入、更有序，沿著思維臺階拾級而上，最終摘到豐碩的果實(shí)！

以“找規(guī)律”為例，怎樣準(zhǔn)確把握本節(jié)課最核心的問題呢？筆者巧設(shè)計(jì)如下：

首先，套圈游戲現(xiàn)場：如果套住兩個(gè)連續(xù)的數(shù)字就可以中五等獎(jiǎng)，請大家思考，中五等獎(jiǎng)一共有幾種答案？學(xué)生有的畫一畫，有的框一框，有的說一說，把操作與思考結(jié)合起來。第一次“找”處于具體形象階段，是一個(gè)操作、經(jīng)歷和體驗(yàn)的過程。學(xué)生在實(shí)踐中獲得感性經(jīng)驗(yàn)，在溝通中感悟有序思考，領(lǐng)會平移方法的優(yōu)勢，此時(shí)學(xué)生的思維處于動(dòng)作思維階段。

其次，為了更好地?cái)[脫具體事物的束縛，由動(dòng)作思維過渡到抽象思維，教師應(yīng)適時(shí)為學(xué)生搭建思維臺階，讓學(xué)生可以借力而上，于是巧妙安排第二個(gè)環(huán)節(jié)：“不動(dòng)手操作，直接在你的大腦中移動(dòng)，你能快速地知道平移幾次嗎？”從直觀操作到表象操作的過渡，學(xué)生在腦中平移方框，不是呆板操練，而是自覺思考，在移一移中感悟“平移的次數(shù)=剩下的個(gè)數(shù)”，讓操作活動(dòng)真正內(nèi)化。第二次的“找”以操作的表象為支點(diǎn)，找出算理，找出規(guī)律的本質(zhì)。

最后，找規(guī)律的重點(diǎn)是帶領(lǐng)學(xué)生回歸到生活世界，能把生活化的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而建構(gòu)解題模型，從而體會數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。為此，教師繼續(xù)為學(xué)生搭建思維的臺階，找生活中的“花邊題”、了解叔叔的“休假題”、觀察電影院的“座位題”，思維含量逐步遞進(jìn)，這樣的設(shè)計(jì)使學(xué)生打開思路，跳出機(jī)械解題模式。整個(gè)“找”的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了樸實(shí)的動(dòng)手實(shí)踐、豐厚的表象思考、極簡的數(shù)學(xué)算式、抽象的數(shù)學(xué)模型，激發(fā)了思維，持續(xù)催生“增值效應(yīng)”。因此，搭建恰到好處的思維臺階，學(xué)生的學(xué)習(xí)就有了抓手，有了這個(gè)臺階，就能引發(fā)學(xué)生更進(jìn)一步思考，更好地突破重難點(diǎn);培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，促使學(xué)生找到解決問題的“結(jié)果”，可謂一舉兩得。

五、結(jié)語

總之，教師可通過把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)思考，讓數(shù)學(xué)思維煥發(fā)應(yīng)有的活力，讓解決問題煥發(fā)應(yīng)有的魅力，讓數(shù)學(xué)思維根植于解決問題中，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)逐步提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.努力打造數(shù)學(xué)教育的中國名片——“中國數(shù)學(xué)教學(xué)‘問題特色”之系列研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（2）：4-8.

[2]吳正憲，鐘建林.小學(xué)數(shù)學(xué)名師名課（經(jīng)典篇）[M].北京：教育科學(xué)出版社，2011：177.

[3]葉建云.可以這樣教數(shù)學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2012：91.