陳建海

1 問題的提出

《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》2018年第6期文[l]對(duì)一道課本例題進(jìn)行逆向探究，得到了關(guān)聯(lián)圓錐曲線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的的一個(gè)性質(zhì)，即下面的性質(zhì)1-4（即文[l]的“一般性的結(jié)論”）.讀后頗受啟發(fā)，但覺意猶未盡，本文擬對(duì)上述性質(zhì)進(jìn)行推廣.先把文[l]的性質(zhì)1-3及“一

般性的結(jié)論”抄錄如下：

性質(zhì)1過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于拋物線的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)O（如圖1）.

性質(zhì)2過橢圓焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于橢圓的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)F的連線段的中點(diǎn)）（如圖2）.

性質(zhì)3過雙曲線焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于雙曲線的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)F的連線段的中點(diǎn)）.

性質(zhì)4（即文[1]的“一般性的結(jié)論”）過圓錐曲線焦點(diǎn)F的直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于圓錐曲線的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)F的連線段的中點(diǎn)）.

以上性質(zhì)揭示了關(guān)聯(lián)圓錐曲線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的一個(gè)性質(zhì)，那么，這個(gè)性質(zhì)對(duì)圓錐曲線的“類焦點(diǎn)”、“類準(zhǔn)線”能否成立？即能否把上述性質(zhì)推廣到“類焦點(diǎn)”、“類準(zhǔn)線”的情形？

2 性質(zhì)的推廣

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，以上性質(zhì)不僅對(duì)圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線適用，而且對(duì)圓錐曲線的“類焦點(diǎn)”、“類準(zhǔn)線“也適用.可以把上述性質(zhì)推廣到“類焦點(diǎn)”、“類準(zhǔn)線”的情形.

性質(zhì)1-1過拋物線“類焦點(diǎn)”F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的“類準(zhǔn)線”上，若直線BD平行于拋物線的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)O.

證明 如圖l，以拋物線的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為x軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p>o），“類焦點(diǎn)”F（m，o）（m>o），“類準(zhǔn)線”x=一m與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（一m，o）.下面分兩種情況證明.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線AB的方程為y=k（x一m）（k≠o）.

得k2（X-m）2=2px，

整理得k2X2—2（k2m+p）x+k2m2=0.

設(shè)A（x1，Y1），B（X2，y2）（Xl≠X2），

據(jù)韋達(dá)定理得：

則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（o，o），

即拋物線的頂點(diǎn)O. 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，

則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（o，o），

即拋物線的頂點(diǎn)O.

性質(zhì)2-1過橢圓“類焦點(diǎn)”F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，若直線BD平行于橢圓的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)）.

證明如圖2，以橢圓的中心O為原點(diǎn)，橢圓實(shí)

軸所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.

下面分兩種情況證明.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y= k（x-m）（k≠0）.（注：若K=o，則結(jié)論顯然成立）.得b2X2+ a2k2 （X- m）2 _a2b2=o，∴（a2k2+b2）X2—2a2k2mx+a2k2m2一a2b2=0.設(shè)A（x，Yi），B（X2，y2 ）（Xl≠X2），據(jù)韋達(dá)定理得X1十X2：2a2k2m

該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn).

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，

該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn).

類似地，可以把性質(zhì)3推廣為：

性質(zhì)3-1過雙曲線“類焦點(diǎn)”F的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，若直線BD平行于雙曲線的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)）. 一c時(shí)，性質(zhì)2-1、3-1分別為性質(zhì)2、3.

由性質(zhì)I-I、2-1、3-1，可把性質(zhì)4推廣為：

性質(zhì)4-1過圓錐曲線“類焦點(diǎn)”F的直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，若直線BD平行于圓錐曲線的對(duì)稱軸，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)）.

3 推廣性質(zhì)的逆命題

上述推廣性質(zhì)的逆命題成立嗎？只要對(duì)性質(zhì)4-1進(jìn)行討論即可.設(shè)過圓錐曲線“類焦點(diǎn)”F的直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，若直線AD經(jīng)過“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)M，那么直線BD是否平行于圓錐曲線的對(duì)稱軸？

設(shè)點(diǎn)D1在類焦點(diǎn)“F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，且直線BD，平行于圓錐曲線的對(duì)稱軸，據(jù)性質(zhì)4-1，得直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)M）.這表明直線AM經(jīng)過點(diǎn)D1.又直線AD經(jīng)過“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F連線段的中點(diǎn)M，知直線AM經(jīng)過點(diǎn)D，則點(diǎn)D，D1同為直線AM與“類準(zhǔn)線”的交點(diǎn)，故點(diǎn)D，D1重合，從而直線B平行于圓錐曲線的對(duì)稱軸，

可見，性質(zhì)4-1的逆命題成立，其逆命題是：

性質(zhì)4-2過圓錐曲線“類焦點(diǎn)”F的直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，若直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的的中點(diǎn)），則直線BD平行于圓錐曲線的對(duì)稱軸，

據(jù)此，可得性質(zhì)I-I、2-1、3-1的逆命題：

性質(zhì)1-2過拋物線“類焦點(diǎn)”F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的“類準(zhǔn)線”上，若直線AD經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)O，則直線BD平行于拋物線的對(duì)稱軸.

性質(zhì)2-2過橢圓“類焦點(diǎn)”F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，若直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)）.則直線BD平行于橢圓的對(duì)稱軸.

性質(zhì)3-2過雙曲線“類焦點(diǎn)”F的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，若直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)），則直線BD平行于雙曲線的對(duì)稱軸.

特別地，當(dāng)“類焦點(diǎn)”F為焦點(diǎn)時(shí)，性質(zhì)1-2、2-2、3-2、4-2分別為性質(zhì)1、2、3、4的逆命題.

4 所得結(jié)論的完善

分別綜合性質(zhì)l-I、1-2，2-1、2-2，3-1、3-2，4一、4-2，可得：

性質(zhì)1-3過拋物線“類焦點(diǎn)”F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的“類準(zhǔn)線”上，則直線AD經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)O的充要條件是直線BD平行于拋物線的對(duì)稱軸.

性質(zhì)2-3過橢圓“類焦點(diǎn)”F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)）的充要條件是直線BD平行于橢圓的對(duì)稱軸.

性質(zhì)3-3過雙曲線“類焦點(diǎn)”F的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)）的充要條件是直線BD平行于雙曲線的對(duì)稱軸.

性質(zhì)4-3過圓錐曲線“類焦點(diǎn)”F的直線交圓錐曲線于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)D在“類焦點(diǎn)”F對(duì)應(yīng)的“類準(zhǔn)線”上，則直線AD經(jīng)過定點(diǎn)（該定點(diǎn)是“類準(zhǔn)線”與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和“類焦點(diǎn)”F的連線段的中點(diǎn)）的充要條件是直線BD平行于圓錐曲線的對(duì)稱軸.

參考文獻(xiàn)

[1]孫承雄，對(duì)一道課本例題的逆向探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018 （6）：7—8