董姍姍，齊 雪

在工科高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，微分中值定理及其應(yīng)用內(nèi)容多、理論性強，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重點和難點.掌握微分中值定理對進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的后續(xù)內(nèi)容起著重要作用.國內(nèi)外高等數(shù)學(xué)教材在闡述微分中值定理的證明過程中，大部分是直接引進符合該定理條件的輔助函數(shù)，再利用羅爾定理加以證明.采用的方法有利用距離構(gòu)造輔助函數(shù)［1］，利用面積構(gòu)造輔助函數(shù)［2］，利用坐標軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助函數(shù)［3］，利用積分中值定理的推廣來證明［4］，以及利用微分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)［5］等.

函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)是兩個不同的函數(shù)，其中導(dǎo)數(shù)所反映的是函數(shù)在某點的局部特征，因此僅依靠導(dǎo)數(shù)難以把控函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)和狀態(tài).然而微分中值定理精確表達了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，在函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間架起了橋梁，為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ).教材中一般對于如何選取輔助函數(shù)的問題都沒有詳盡的說明，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中摸不到頭腦，抓不住問題的主體脈絡(luò).目前，高校學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性普遍不高［6］，因此迫切需要高校教師進一步優(yōu)化教學(xué)思路，改進教學(xué)方法.本文從羅爾中值定理的應(yīng)用出發(fā)，明確羅爾中值定理證明問題構(gòu)造輔助函數(shù)的解題思路，將該方法知識遷移，自然地構(gòu)造出證明拉格朗日中值定理與柯西中值定理的輔助函數(shù)，從而證明出相應(yīng)結(jié)論并給出相應(yīng)的例題.

1 微分中值定理的證明

1.1 羅爾中值定理的證明

定理1設(shè)函數(shù)f(x)滿足：（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f(a)=f(b)；則至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

證明含有f′(ξ)的恒等式一般都會采用羅爾中值定理，但要構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)，使得F(x)滿足中值定理的條件.

構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟如圖1所示.

圖1 羅爾中值定理輔助函數(shù)構(gòu)造圖

例1 設(shè)函數(shù)f(x)在［0，1］上連續(xù)，且在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=1,f(1)=0.證明：至少存在一個點ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=-1.

分析：結(jié)論中需要證明f′(ξ)=-1，用羅爾中值定理來解決.根據(jù)步驟a將f′(ξ)=-1移項得f′(ξ)+1=0 ；將ξ用x代替得f′(x)+1=0 ；f′(x)+1可以由f(x)+x求導(dǎo)而來，則輔助函數(shù)F(x)=f(x)+x.

證明 令F(x)=f(x)+x，因為函數(shù)f(x)在［0，1］上連續(xù)，且在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，因此F(x)在［0，1］上 連 續(xù) ，在（0，1）內(nèi) 可 導(dǎo) ；又 因 為f(0)=1,f(1)=0，因此F(0)=f(0)+0=1，F(xiàn)(1)=f(1)+1=1，從而有F(0)=F(1)=1；由羅爾中值定理可得至少存在一個點ξ∈(0,1)，使得F′(ξ)=0 ，即f′(ξ)=-1.

a→b→c可以構(gòu)造出解決這類問題的關(guān)鍵即輔助函數(shù)，從結(jié)論出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逆向分析問題，挖掘出題目中的有效信息，得到解決問題的關(guān)鍵點.利用輔助函數(shù)的構(gòu)造思路，可以應(yīng)用到拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明當中.

1.2 拉格朗日中值定理的證明

定理2若函數(shù)f(x)滿足：（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得

1.3 柯西中值定理的證明

根據(jù)上述羅爾中值定理的應(yīng)用以及拉格朗日中值定理的證明，讓學(xué)生在掌握輔助函數(shù)構(gòu)造方法的同時，也獲取了微分中值定理中的第二個定理（拉格朗日中值定理）的知識，從而形成知識網(wǎng)絡(luò)；深度挖掘定理之間的關(guān)系，掌握定理的證明方法.

對于柯西中值定理的證明可以在教學(xué)過程中嵌入翻轉(zhuǎn)課堂的方法.在翻轉(zhuǎn)課堂中，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，是主動內(nèi)化知識的自主學(xué)習(xí)者；教師提供資源并輔助學(xué)生，指導(dǎo)學(xué)生更好更快地掌握知識［7］.以拉格朗日中值定理證明作為已有知識支撐，柯西中值定理的證明核心思路不變，但具體證明過程又與拉格朗中值定理的證明方法有所不同.利用柯西中值定理證明激發(fā)學(xué)生內(nèi)化知識的能力，能動的將所學(xué)知識運用于解決新問題.

定理3若函數(shù)f(x),g(x)滿足：（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得

鼓勵學(xué)生上講臺來講解柯西中值定理的證明過程.針對柯西中值定理的結(jié)論，學(xué)生自然地會運用上述輔助函數(shù)的構(gòu)造方案來解決問題.但對于導(dǎo)函數(shù)商的原函數(shù)不易確定，因此可以引導(dǎo)學(xué)生將其進行如下變形：

證明令F(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-

f(a)]，因為函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，因此F(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；又因為

即F(a)=F(b)；由羅爾中值定理可得至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)[g(b)-g(a)]-g′(ξ)[f(b)-f(a)]=0 ，亦即

2 微分中值定理的應(yīng)用

在上面的論述過程中，要使羅爾定理成立，函數(shù)需要滿足三個條件：①閉區(qū)間連續(xù)；②開區(qū)間可導(dǎo)；③區(qū)間端點處函數(shù)值相等.羅爾定理的結(jié)論為：在開區(qū)間內(nèi)存在一點使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值為0.下面以一個具體例子，對羅爾定理的具體應(yīng)用進行說明.

例2證明方程5ax4+4bx3+3cx2+2dx=a+b+c+d至少存在一個正根.

分析：令f(x)=5ax4+4bx3+3cx2+2dx-(a+b+c+d)在x＞0時，找不到區(qū)間[a,b]使得f(a)?f(b)＜0，不能使用零點定理.因此構(gòu)造函數(shù)由于要證明方程至少存在正根，因此需要在x＞0的范圍內(nèi)找到區(qū)間[a,b]，使得F(a)=F(b)，通過觀察方程F(x)=ax5+bx4+cx3+dx2-(a+b+c+d)x的系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)F(0)=F(1)，選取[a,b]=[0,1]，此時再對F(x)應(yīng)用羅爾定理即可證明.

證明：令f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2-(a+b+c+d)x，則f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，f(0)=f(1)，所以由羅爾定理可知，至少存在一個點ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=0 ，即5ax4+4bx3+3cx2+2dx-(a+b+c+d)=0，亦即方程5ax4+4bx3+3cx2+2dx=a+b+c+d至少存在一個正根ξ∈(0,1)，所以定理成立.

例2給出了利用羅爾定理對方程證明的例子，下面兩個例子對拉格朗日中值定理和柯西中值定理的學(xué)習(xí)有很好的啟發(fā)作用.

例3證明：當x＞0時，不等式ln(1+x)＜x成立.

分析：由x＞0可知其中，從上式觀察得出，不等式中存在函數(shù)值之差，因此考慮采用拉格朗日中值定理.

證明：令f(x)=ln(1+x)，則函數(shù)f(x)滿足在[0,x]連續(xù)，在(0,x)上可導(dǎo).應(yīng)用拉格朗日中值定理可得. 即，從而可以得到

又 0＜ξ＜x，即故.因 此成立，不等式得以證明.

例4 設(shè)0＜a＜b，函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)、在(a,b)上可導(dǎo)，試證在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使成立.

分析：從要證明的等式可以看出，等式左邊為兩個函數(shù)值的差值，右邊存在，由此考慮到將等式變形為由此可見，可以采用柯西中值定理來證明.

證明 設(shè)G(x)=lnx，根據(jù)題意可知：函數(shù)f(x),G(x)滿足在[a,b]上連續(xù)、在(a,b)上可導(dǎo).由柯西中值定理可知，在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點ξ使得，即，從而等式成立.

3 結(jié)論

在大多數(shù)高數(shù)教材中，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明都是直接給出輔助函數(shù)，利用題設(shè)條件驗證輔助函數(shù)是否滿足羅爾中值定理，最終推出結(jié)論.但從學(xué)生的角度看，教材給出的輔助函數(shù)突然呈現(xiàn)在證明過程中，在學(xué)習(xí)掌握羅爾中值定理之后形成知識結(jié)構(gòu)的斷層，沒能將前后知識進行良好的銜接，長此以往勢必會加劇學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼與排斥.通過上述輔助函數(shù)構(gòu)造思路，可以啟發(fā)學(xué)生將構(gòu)造輔助函數(shù)的知識進行知識遷移，利用羅爾中值定理可以證明出后面兩個微分中值定理，層層遞進，形成知識網(wǎng)絡(luò)，扎實掌握這部分的內(nèi)容，并可以靈活運用.本文從相對簡單的羅爾定理出發(fā)，輔助函數(shù)構(gòu)造思想清晰明確，可以較為容易的完成后續(xù)的拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明，提高微分中值定理的教學(xué)效率.