張萍

《橢圓》一課是蘇教版選修2-1第二章圓錐曲線第2節(jié)的內(nèi)容，屬于解析幾何的范疇，本章主要研究橢圓、雙曲線和拋物線三種曲線的方程和幾何性質(zhì)，而《橢圓》作為學(xué)生學(xué)習(xí)的第一種圓錐曲線，研究方法對(duì)學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容有示范和引導(dǎo)作用，同時(shí)，在學(xué)習(xí)橢圓之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓，

具有了一定的解析幾何的研究思想和研究方法，因此，在學(xué)習(xí)橢圓的過程中，教師應(yīng)該利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生形成相對(duì)系統(tǒng)的研究解析幾何內(nèi)容的一般方法，以下是筆者對(duì)《橢圓》第一節(jié)教學(xué)內(nèi)容的探索和實(shí)踐，供讀者參考.

1動(dòng)手實(shí)踐操作，激發(fā)學(xué)生興趣

美國的杜賓斯基等人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型，該理論集中于對(duì)特定學(xué)習(xí)內(nèi)容一一數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的研究，它指出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的，此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個(gè)階段：操作或活動(dòng)（Action）階段、過程（ Process）階段、對(duì)象（Object）階段和概型（ Scheme）階段，它強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，首先要求學(xué)生開展各式各樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思維運(yùn)算和反省抽象，對(duì)概念所具有的直觀背景和形式定義進(jìn)行必要的綜合，從而達(dá)到建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的目的，因此，在學(xué)習(xí)橢圓方程的時(shí)候，讓學(xué)生自己嘗試畫一畫橢圓，有助于學(xué)生理解什么是橢圓，橢圓是怎么形成的，

動(dòng)手操作準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，翻折紙片使邊緣過點(diǎn)F，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線L畫出來）.這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？

操作結(jié)果

理性驗(yàn)證首先讓學(xué)生嘗試尋找折痕上哪一點(diǎn)才是橢圓上的點(diǎn)，這一點(diǎn)滿足什么樣的幾何條件，面對(duì)眼花繚亂的圖形，可以教學(xué)生如何抓住問題的本質(zhì)，將復(fù)雜的問題簡單化，為了看得清楚，我們可以回到第一步操作，借助幾何畫板加以說明，根據(jù)折痕操作的意義，圓周上的點(diǎn)F'圓內(nèi)不同于圓心C的點(diǎn)F是關(guān)于折痕對(duì)稱的，這樣折痕l與線段F'C的交點(diǎn)A就滿足AF+AC= AF'+AC=R（定值），即折痕上的點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)F和C的距離和為定值，由橢圓的定義可知點(diǎn)A的軌跡是橢圓，對(duì)自己的操作結(jié)果，學(xué)生由直觀感受上升到了理性認(rèn)識(shí).

“動(dòng)手操作”是選自蘇教版教材選修2-1第33頁上的一個(gè)練習(xí)題，步驟簡單，適合學(xué)生操作，也易于得到橢圓圖形.

在本章第一節(jié)《圓錐曲線》的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，師生借助幾何畫板結(jié)合橢圓的定義，給出了合理的證明，原來大家動(dòng)手操作所得到的折痕包絡(luò)圍成的圖形居然真的是橢圓，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，用他們自己的話說就是很有成就感.

2調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)，預(yù)設(shè)研究思路

奧蘇貝爾（ Ausubel）的認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論認(rèn)為，一切有意義的學(xué)習(xí)都是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，不受原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響的有意義學(xué)習(xí)是不存在的，一切有意義的學(xué)習(xí)必然包括遷移，遷移是以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為中介進(jìn)行的，先前學(xué)習(xí)所獲得的新經(jīng)驗(yàn)，通過影響原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征影響新學(xué)習(xí)，在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過<圓的方程》，那么學(xué)生就很容易將研究圓的經(jīng)驗(yàn)和方法遷移到本節(jié)課中來，因此，當(dāng)學(xué)生得到橢圓圖形之后，教師可以用“接下來應(yīng)該研究什么樣的內(nèi)容呢”這個(gè)具有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)嘗試設(shè)計(jì)自己的研究路線，這樣更利于學(xué)生建立良性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

教學(xué)片段師：我們根據(jù)橢圓的定義，證明了操作得到的圖形確實(shí)是一個(gè)橢圓，那么接下來我們應(yīng)該研究什么呢？

生：先研究它的方程，

師：為什么要先研究它的方程呢？

生：橢圓類似于圓，類比前面研究圓的方法，我們應(yīng)該先求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程，

師：嗯，有道理，大家同意嗎？

生：同意，

師：得到它的標(biāo)準(zhǔn)方程以后呢？

生：研究直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓與橢圓的位置關(guān)系。

師：很好，

生（舉手）：應(yīng)該還有上節(jié)課提到的雙曲線、拋物線和橢圓的位置關(guān)系。

師：大家說的非常有道理，你們的想法來源于前面學(xué)習(xí)圓的經(jīng)驗(yàn)，說明大家對(duì)“圓”這一單元學(xué)得非常好，但是要補(bǔ)充一點(diǎn)，在得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，我們不是馬上學(xué)橢圓和直線的位置關(guān)系，而是緊接著研究橢圓的幾何性質(zhì)，大家知道為什么嗎？

生：因?yàn)閳A的幾何性質(zhì)我們初中已經(jīng)學(xué)過了，但是橢圓的性質(zhì)我們還沒學(xué)過，

師：是的，解析幾何這門學(xué)科的特點(diǎn)就是用代數(shù)的方法研究幾何對(duì)象，所以面對(duì)我們不熟悉的曲線，一般的研究思路是先根據(jù)它的定義求出它的方程，然后根據(jù)方程來研究它的幾何性質(zhì)，以及它和我們熟悉的曲線之間的關(guān)系，

在以上的教學(xué)實(shí)踐過程中，教師通過設(shè)問和追問，促使學(xué)生借助自身已有的解析幾何的研究經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建研究后續(xù)內(nèi)容的思路，實(shí)踐表明，學(xué)生是能大致預(yù)設(shè)到本節(jié)課以后學(xué)習(xí)內(nèi)容的研究走向的，在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的理性推斷——實(shí)際上這是強(qiáng)化學(xué)生的類比推理的能力，從而促進(jìn)學(xué)生的邏輯推理品質(zhì)的提升，實(shí)現(xiàn)了在數(shù)學(xué)課堂中孕育與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)基本品質(zhì)與素養(yǎng)，通過共同努力，師生一起建立了橢圓的研究思路雛形，更重要的是讓學(xué)生初步感悟到了解析幾何的一般研究思路和方法.

3實(shí)踐分層教學(xué)，促進(jìn)共同發(fā)展

分層教學(xué)就是教師根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)、能力水平和學(xué)習(xí)潛力，把學(xué)生科學(xué)地分成幾組各自水平相異的群體，教師根據(jù)不同班組的實(shí)際水平進(jìn)行教學(xué)，使得這些群體在教師恰當(dāng)?shù)姆謱硬呗院拖嗷プ饔弥械玫捷^好的發(fā)展和提高，通常情況下數(shù)學(xué)教師都會(huì)教兩個(gè)班，學(xué)生的水平自然會(huì)有差異，教師只要把握教學(xué)內(nèi)容的難度，預(yù)設(shè)到學(xué)生能力所及的范圍，就能較好地掌控課堂教學(xué)的進(jìn)度，個(gè)性化處理教學(xué)內(nèi)容，在完成教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣的同步提升，實(shí)現(xiàn)真正意義上的“不同的學(xué)生有不同的發(fā)展”，

在這個(gè)過程中，教學(xué)難點(diǎn)是如何處理兩個(gè)復(fù)雜的根式相加的式子，在實(shí)際課堂上，A班和B班同學(xué)均遇到了根式化簡的困難，解決的方案也在意料之中，有的同學(xué)選擇了直接平方，有的同學(xué)移項(xiàng)后再平方，還有少數(shù)同學(xué)選擇觀望，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)水平較弱的A班，大多數(shù)人選擇了直接平方，并且成功的人數(shù)很少，而數(shù)學(xué)水平較強(qiáng)的B班，大多數(shù)人選擇了移項(xiàng)后再平方，這也是教師選擇不同的教學(xué)策略的原因，在B班，有兩名同學(xué)很快得到了原點(diǎn)

在對(duì)這兩名同學(xué)的做法總結(jié)肯定之后，讓全體學(xué)生思考，這兩個(gè)方程有什么異同，大家不約而同地驚嘆，原來是平移了啊！因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)了這兩個(gè)方程是如此地相似，可以用學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)的圖象平移來解釋，教師借機(jī)推動(dòng)學(xué)生思考，如果以其他點(diǎn)為原點(diǎn)建系，方程又會(huì)是什么樣子呢？激起學(xué)生的求知欲，讓他們覺得數(shù)學(xué)是變化多端而有趣的，同時(shí)，“這是引導(dǎo)學(xué)生在不同的問題情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察研究對(duì)象，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象間本質(zhì)的數(shù)學(xué)聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生深入思考，從而鞏固所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的一般結(jié)論，形成舉一反三的能力”.

4創(chuàng)設(shè)問題情境，把握問題本質(zhì)

心理學(xué)研究表明：“概念的本質(zhì)特征越明顯，學(xué)習(xí)越容易，非本質(zhì)特征越多，學(xué)習(xí)越困難”，所謂創(chuàng)設(shè)問題情境，就是在新的問題情境中變更概念或問題的認(rèn)識(shí)角度，以突出概念或問題中那些隱蔽的本質(zhì)特征，以便學(xué)生在新的情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和運(yùn)用，從而使學(xué)生更好地掌握概念或問題的本質(zhì)規(guī)律，具體來說，問題的情境變化就是把一些解決問題的思想和思路相同或相關(guān)的題目，用變式的形式串聯(lián)起來，在變式中求不變，從而使學(xué)生在解決新情境中問題時(shí)，感受知識(shí)的形成過程，并獲得對(duì)知識(shí)的概括性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生識(shí)別、應(yīng)變、概括的能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，在本節(jié)課中，雖然學(xué)生通過化簡得到了橢圓的方程，但是學(xué)生并不能把握方程和具體的橢圓圖形的對(duì)應(yīng)，因此，在這個(gè)教學(xué)節(jié)點(diǎn)上，可以對(duì)橢圓方程的形式進(jìn)行適當(dāng)變形，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓方程中關(guān)鍵量的識(shí)別能力，把握橢圓本質(zhì)特征及其方程中對(duì)應(yīng)量的關(guān)系， 教學(xué)片段師：得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（a>b>0），就像新認(rèn)識(shí)一個(gè)朋友，我們要仔細(xì)觀察它的長相以便更好地了解它，你覺得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么特點(diǎn)呢？

生：很像前面學(xué)過的直線的截距式方程，只是變成了平方的形式，

師：非常好，能聯(lián)系前面學(xué)過的內(nèi)容，還有嗎？

生：x2對(duì)應(yīng)的分母是以a2，y2對(duì)應(yīng)的分母是b2.

師：一定是這樣的嗎？

生：這個(gè)與建系有關(guān)，如果將焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2放在y軸上，也就是將剛才的x軸和y軸交換一下，方程就會(huì)變成x2對(duì)應(yīng)的分母是b2，y2對(duì)應(yīng)的分母是a2.

師：是這樣的嗎？

生：是的，交換x軸和y軸的效果，體現(xiàn)在方程上就是交換x和y的位置，

師：那么我們?nèi)绾胃鶕?jù)方程確定橢圓的焦點(diǎn)位置呢？比如.

生：根據(jù)我們推導(dǎo)方程的過程可以知道，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，x2的分母對(duì)應(yīng)的是以a2，大于y2的分母b2，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，y2的分母對(duì)應(yīng)的是以a2，大于x2的分母b2.所以我們可以這樣來判斷，就是看x2，y2哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上，

師：大家覺得有道理嗎？有道理，很好！對(duì)于橢圓的方程，大家觀察得很仔細(xì)，總結(jié)得很到位，以后遇到一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們也要好好觀察它的特性，以便于我們很好地掌握它，

通常在學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)到一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象后，師生共同探討該對(duì)象的特征，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪絼?chuàng)新，能夠幫助學(xué)生較好地把握新的數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征，起到事半功倍的效果，

涂榮豹教授在文[3]中提出數(shù)學(xué)教學(xué)中兩個(gè)重要的方面，即教學(xué)生“學(xué)什么”——學(xué)習(xí)科學(xué)研究的一般方法;教學(xué)生“怎么學(xué)”——用“從無到有”的探究方法去學(xué)，在本節(jié)課教學(xué)中，教師作為一個(gè)引導(dǎo)者，通過“接下來，我們應(yīng)該研究什么呢”這樣一個(gè)具有元認(rèn)知性質(zhì)的提問，把學(xué)生放在探究主體的位置上，讓他們自己探究，自己發(fā)現(xiàn)，明白可以通過建立曲線的方程來研究曲線的性質(zhì)，即解析幾何用代數(shù)研究幾何的基本思想，在“如何得到橢圓的方程”、“如何研究它的方程呢”這些問題上，教師給學(xué)生充分的機(jī)會(huì)體會(huì)并展示自己的想法，最終明確標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，這樣做的意義旨在當(dāng)學(xué)生在下一次碰見類似的求方程問題時(shí)會(huì)更加“明智”，讓學(xué)生面對(duì)以后要研究的雙曲線和拋物線時(shí)能有自己的研究視角和手段，進(jìn)而在將來遇到一個(gè)完全陌生的曲線時(shí)，也能夠系統(tǒng)地提出自己的研究方案，

如果教師將教學(xué)生研究問題的一般方法作為教學(xué)最終目標(biāo)，在課堂上經(jīng)常運(yùn)用元認(rèn)知提問來啟發(fā)學(xué)生，以至發(fā)展到學(xué)生學(xué)會(huì)用元認(rèn)知提問來引導(dǎo)自己，這就達(dá)到了“教學(xué)生怎么學(xué)”的目的了，

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍，陶維林.概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程—“平面向量的概念”的教學(xué)與反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010， 49 （1）：25-29

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017

[3]涂榮豹.談提高對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)兼評(píng)兩節(jié)數(shù)學(xué)課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006 （1）：4-8