逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的貝葉斯分析

李 瓊,武 東

(1.徽商職業(yè)學(xué)院 電子信息系,合肥231201;2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,合肥230036)

0 引言

關(guān)于Rayleigh分布產(chǎn)品的可靠性統(tǒng)計(jì)分析,王曉紅等[1]對(duì)定時(shí)截尾樣本下的Rayleigh分布進(jìn)行了貝葉斯(Bayes)估計(jì)。肖世校等[2]對(duì)逐次定數(shù)截尾樣本的Rayleigh分布給出了Bayes收縮估計(jì)。劉銀萍等[3]對(duì)定時(shí)截尾樣本下的Rayleigh分布給出參數(shù)的極大似然估計(jì),并證明參數(shù)估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性。劉銀萍等[4]在對(duì)稱損失函數(shù)下對(duì)定數(shù)截尾樣本的Rayleigh分布進(jìn)行了Bayes估計(jì)。王婷婷等[5]研究了逐步增加II型截尾下Rayleigh分布的Bayes分析,并給出了不同損失函數(shù)下分布參數(shù)、可靠性函數(shù)和失效率函數(shù)的Bayes估計(jì)和可信區(qū)間。但以上未討論平方損失函數(shù)、熵?fù)p失函數(shù)和對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)場(chǎng)合逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的Bayes分析。因此,本文對(duì)此問(wèn)題開(kāi)展相關(guān)研究,主要分為3個(gè)部分：① 描述逐次定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)方案和逐次定數(shù)截尾的Rayleigh分布參數(shù)的最大似然估計(jì)(maximum likelihood estimator,MLE);② 討論各種損失函數(shù)下基于逐次定數(shù)截尾的Rayleigh分布參數(shù)的Bayes估計(jì);③ 利用蒙特卡洛方法產(chǎn)生了Rayleigh分布逐次定數(shù)截尾樣本,并對(duì)MLE和各種Bayes估計(jì)進(jìn)行了比較分析。

假設(shè)產(chǎn)品的壽命X服從Rayleigh分布,其概率密度和分布函數(shù)分別為:

式中,θ為Rayleigh分布的刻度參數(shù)。

通常進(jìn)行Bayes分析時(shí),還需要綜合考慮3個(gè)要素：先驗(yàn)信息、樣本信息和損失函數(shù)[6]。選取不同的損失函數(shù)對(duì)Bayes參數(shù)估計(jì)有一定的影響,損失函數(shù)按對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響是否對(duì)稱可分為對(duì)稱和非對(duì)稱損失函數(shù)。對(duì)稱損失函數(shù)主要有平方損失函數(shù)和加權(quán)平方損失函數(shù);非對(duì)稱損失函數(shù)主要有LINEX損失函數(shù)[7]、熵?fù)p失函數(shù)[8]和對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)[9]等。為了比較對(duì)稱和非對(duì)稱損失函數(shù)在Bayes估計(jì)中的差異,選取平方損失函數(shù)、熵?fù)p失函數(shù)和對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)作為研究對(duì)象,它們的數(shù)學(xué)公式分別為:

式中,d為θ的估計(jì)量。

引理1[6]在平方損失函數(shù)下,θ存在唯一的Bayes估計(jì),

引理2[8]在熵?fù)p失函數(shù)下,θ存在唯一的Bayes估計(jì),

引理3[9]在對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下,θ存在唯一的Bayes估計(jì),

1 模型描述

逐次定數(shù)截尾試驗(yàn)方案[10-12]的具體安排可按下述方法進(jìn)行:首先依據(jù)隨機(jī)抽樣原則抽取β個(gè)測(cè)試樣本進(jìn)行壽命試驗(yàn),觀測(cè)到第1個(gè)測(cè)試樣品失效時(shí)刻x1:n時(shí),然后從剩下的(n?1)個(gè)測(cè)試樣品隨機(jī)取走R1個(gè)產(chǎn)品,剩下的(n?R1?1)個(gè)測(cè)試樣品繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn);觀測(cè)到第2個(gè)測(cè)試樣品失效時(shí)刻x2:n,再?gòu)氖Ｏ碌?n?R1?2)個(gè)測(cè)試樣品隨機(jī)取走R2個(gè)產(chǎn)品,剩下的(n?R1?R2?2)個(gè)測(cè)試樣品仍然進(jìn)行試驗(yàn);按以上描述進(jìn)行下去,直至觀測(cè)到m個(gè)測(cè)試樣品失效時(shí)刻xm:n時(shí)試驗(yàn)結(jié)束。最后的[Rm=n?R1?R2?···Rm?1?(m?1)]個(gè)測(cè)試樣品全部取走。據(jù)此可得m個(gè)失效測(cè)試樣品的壽命數(shù)據(jù)分別為

根據(jù)文獻(xiàn)[10],易知基于式(6)的似然函數(shù)為

式中:C?=n(n?R1?1)···(n?R1?···?Rm?1?m+1),n為測(cè)試樣本個(gè)數(shù);i表示第i個(gè)測(cè)試樣本;m表示失效數(shù)。

2 MLE

對(duì)于測(cè)試樣品的壽命服從Rayleigh分布,得到逐次定數(shù)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù),R1,R2,···,Rm是試驗(yàn)中按序被取走的測(cè)試樣品個(gè)數(shù)。將式(1)和(2)代入式(7),可得逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的似然函數(shù)為

式中:data={xi:n|i=1,2,···,m}。

對(duì)式(8)取對(duì)數(shù),得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

3 Bayes估計(jì)

按文獻(xiàn)[5],θ的共軛先驗(yàn)為逆伽瑪分布IG(α,β),其概率密度為

式中,α和β為分布的超參數(shù),且α>0,β>0。如果α=0,β=0,此時(shí)為無(wú)信息先驗(yàn)。

利用Bayes定理,由似然函數(shù)式(8)和先驗(yàn)分布式(9),可得參數(shù)θ的后驗(yàn)分布為

很顯然式(10)所描述的后驗(yàn)分布就是逆伽瑪分布

在平方損失函數(shù)、熵?fù)p失函數(shù)和對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下,θ的Bayes估計(jì)分別為:

4 模擬比較

以上基于3種損失函數(shù)對(duì)逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布參數(shù)進(jìn)行了Bayes估計(jì),利用蒙特卡洛方法產(chǎn)生逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的隨機(jī)數(shù),具體操作可按下述步驟進(jìn)行:

(1)從標(biāo)準(zhǔn)化指數(shù)分布產(chǎn)生m個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)Z1,Z2,···,Zm,這個(gè)變量可以利用逆變換Zi=?ln(1?Ui)完成,Ui是相互獨(dú)立且均為標(biāo)準(zhǔn)化均勻分布隨機(jī)變量。

(2)令

則得到逐次定數(shù)截尾下標(biāo)準(zhǔn)化指數(shù)分布隨機(jī)樣本;式(14)中,n為試驗(yàn)的測(cè)試樣品總個(gè)數(shù);m為逐次定數(shù)截尾隨機(jī)樣本的個(gè)數(shù);R1,R2,···,Rm?1為試驗(yàn)中按序被取走的測(cè)試樣品個(gè)數(shù)。

(3)令

則X1,X2,···,Xm是來(lái)自Rayleigh分布的逐次定數(shù)截尾隨機(jī)樣本。

為了考察各種損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)的精度,現(xiàn)取Rayleigh分布參數(shù)θ=3,如果對(duì)先驗(yàn)的超參數(shù)一無(wú)所知,可采用無(wú)信息先驗(yàn)作為先驗(yàn)分布,這里使用未知參數(shù)的共軛分布作為其先驗(yàn),其中分布的超參數(shù)均取為α=1,β=1,從該分布產(chǎn)生m個(gè)逐次定數(shù)截尾樣本x1:n,x2:n,···,xm:n。每種方案產(chǎn)生1 000組模擬樣本并分別計(jì)算估計(jì)的相對(duì)偏差與均方誤差,具體試驗(yàn)安排與估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。表1中估計(jì)方法有MLE、基于平方損失函數(shù)的Bayes估計(jì)(Squared)、基于熵?fù)p失函數(shù)的Bayes估計(jì)(Entropy)和基于對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)的Bayes估計(jì)(Symmetric)。

表1列出的逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的試驗(yàn)方案和各種參數(shù)估計(jì)結(jié)果,由平均絕對(duì)差(MAE)和均方根誤差(RMSE)可以看出:相對(duì)于MLE而言,其他損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)精度較高;在其他3種Bayes估計(jì)中,Entropy相對(duì)較優(yōu);Symmetric是Squared和Entropy的幾何平均;隨著樣本量的增大,各種估計(jì)的精度也隨之提高。

表1 逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的試驗(yàn)方案與估計(jì)結(jié)果Tab.1 Tests scheme and estimation results for Rayleigh distribution under progressive

5 結(jié)語(yǔ)

討論了在各種損失函數(shù)下基于逐次定數(shù)截尾Rayleigh分布參數(shù)的Bayes估計(jì)。關(guān)于先驗(yàn)分布的選取采用了共軛先驗(yàn)分布作為Rayleigh分布刻度參數(shù)先驗(yàn),由模擬比較分析可得出,基于熵?fù)p失函數(shù)的Bayes估計(jì)較優(yōu)。