劉子良 張 欽 太興宇 許 琦 姚紅良 聞邦椿

（1.沈陽理工大學機械工程學院；2.東北大學機械工程與自動化學院；3.沈陽鼓風機集團股份有限公司4.沈陽工業(yè)大學機械工程學院）

0 引言

現(xiàn)代旋轉機械，大多數(shù)以超臨界轉速工作。若系統(tǒng)內存在質量不平衡，啟停機過程必然經(jīng)歷振動劇烈的一階共振區(qū)。若不平衡故障惡化，將嚴重影響設備運行的穩(wěn)定性及生產安全性。因此，研究一階共振的抑制方法具有重要意義。

由不平衡引起一階共振振幅過大問題的解決措施有：（a）對轉子系統(tǒng)做重新配重的動平衡處理；（b）通過其他結構施加力抵消不平衡力。工藝動平衡技術需要拆卸轉子，利用平衡機確定校正質量[1]。拆卸及運輸致使維修耗時長，停產造成的經(jīng)濟損失大?，F(xiàn)場平衡技術無需拆卸轉子，但需要復雜的實時監(jiān)測、控制、執(zhí)行結構[2-3]。施加反作用力抵消不平衡力的方式主要采用的結構有可擠壓油膜阻尼器[4]，可主動控制的磁流變阻尼器[5-6]，主動電磁軸承[7-8]及形狀記憶合金致動器[9]。這些結構在現(xiàn)代旋轉機械的振動抑制中發(fā)揮了重要作用，但也存在結構缺陷，如結構過于復雜，需要配置控制系統(tǒng)，實時控制耗能大。

圖1 動力吸振器的結構簡圖Fig.1 Structure sketch of dynamic vibration absorber

近年來，為尋求更優(yōu)秀的抑振方法，多位科研人員對吸振器在轉子振動抑制方面的應用進行了研究。例如，張炳康等[10]利用對分式吸振器降低轉子70%的一階共振振幅；張振坤等[11]利用鼠籠式吸振器抑制轉子一階共振，振幅降幅為34.6%；Hu等[12]采用轉子動力吸振器有效降低轉子啟機過一階臨界轉速時的劇烈振動，使轉子在全速范圍保持低水平振動。Yao等[13]開發(fā)的負剛度動力吸振器對轉子一階共振進行抑制，取得良好的抑振效果。上述動力吸振器只采用了彈簧單元，并未考慮阻尼單元。由經(jīng)典理論可知，吸振器適當增加阻尼單元，其抑振性能更佳[14]。在吸振器的結構方面，因多數(shù)常用阻尼結構尺寸較大，若采用Voigt型動力吸振器（如圖1（a）所示），吸振器總質量將非常大，嚴重影響轉子的振動特性，因此選用一種將阻尼單元與基礎相連的skyhook型結構（如圖1（b）所示），從而降低對轉子系統(tǒng)的影響。

被動式動力吸振器不僅結構簡單，且無需額外能量輸入，相同適用條件下常被優(yōu)先選用。所以，本文將被動式skyhook型吸振器定為研究目標。采用有限元理論對吸振器-轉子耦合系統(tǒng)建模并求解頻響函數(shù)。建立以頻響函數(shù)為目標函數(shù)，動力吸振器的頻率比和阻尼比為優(yōu)化變量的優(yōu)化數(shù)學模型，采用APSO對不同質量比的吸振器進行參數(shù)尋優(yōu)。將其最優(yōu)參數(shù)參數(shù)及抑振性能，并與Voigt型動力吸振器對比，掌握其特性及抑振性能的優(yōu)異性。最后，分析頻率比與阻尼比偏離最優(yōu)值時，抑振性能對兩個參數(shù)的靈敏度。

1 動力吸振器-轉子耦合系統(tǒng)的動力學方程及求解

轉子系統(tǒng)采用單跨-單盤系統(tǒng)，轉軸兩端采用對稱支承。

圖2 轉子系統(tǒng)簡圖Fig.2 Structure sketch of rotor system

利用有限元法將系統(tǒng)離散為多個彈性軸段，軸段采用歐拉梁單元模型：

圖3 歐拉梁單元模型Fig.3 The model of Euler beam element

軸段單元的廣義坐標如下：

利用拉格朗日方程求得各軸段單元的運動方程，然后綜合各軸段可得不平衡力作用的轉子系統(tǒng)的動力學方程如下：

式中，Mp，Cp，Gp，Kp分別為轉子系統(tǒng)的質量、阻尼、陀螺、剛度矩陣；xp，x˙p，x¨p分別為位移、速度、加速向量；Fp（t）為轉子系統(tǒng)受到的外激向量，即圓盤質量偏心產生的不平衡力。

在轉子系統(tǒng)的節(jié)點nj附加動力吸振器后，動力吸振器-轉子耦合系統(tǒng)的動力學方程為：

式中，Ma，Ca，Ka為動力吸振器系統(tǒng)簡化后的質量、阻尼和剛度矩陣，Ca1，Ka1表示分別將ca和ka加到與Cpa等維的零矩陣中的第j-1個和第j個對角線位置。

令F（t）=F0（w）eiwt，x=Xeiwt，則公式（3）變?yōu)椋?/p>

那么，系統(tǒng)響應的振幅可表示為：

其中，H=- ω2M+iω（C+Gp）+K0

系統(tǒng)中第k個節(jié)點的頻響函數(shù)可以表示為：

下文簡稱未附加動力吸振器的轉子系統(tǒng)為原系統(tǒng)，耦合系統(tǒng)中的轉子系統(tǒng)為主系統(tǒng)。

2 動力吸振器的參數(shù)優(yōu)化設計

由于原系統(tǒng)除自身材料阻尼外，還存在支承阻尼，支承阻尼對系統(tǒng)振幅的影響很大。所以，設計動力吸振器參數(shù)時，不能忽略主系統(tǒng)的阻尼因素。主系統(tǒng)屬于旋轉連續(xù)體系統(tǒng)，為保證精確性，不能將其等效為單自由度系統(tǒng)，利用一些經(jīng)典設計公式求解最優(yōu)動力吸振器的參數(shù)。因此，本文采用數(shù)值優(yōu)化方法進行參數(shù)優(yōu)化?？紤]到頻響函數(shù)對設計參數(shù)難以求導，因此選用智能算法中的APSO進行參數(shù)尋優(yōu)。

2.1 優(yōu)化模型規(guī)劃

設定原系統(tǒng)的一階共振振幅為A0，將主系統(tǒng)在不同轉速下的響應幅值轉化為放大率形式，記為：

設動力吸振器的頻率比和阻尼比分別為：

式中，ωa為動力吸振器的固有頻率，ωa=，ωn1為原系統(tǒng)的一階固有頻率。

設動力吸振器的設計參數(shù)為：

對動力吸振器參數(shù)優(yōu)化的目的是附加吸振器的轉子系統(tǒng)升速至工作轉速時的共振振幅最小。因此，優(yōu)化設計的目標函數(shù)定義為：

式中，λ=ω/ωn1。

優(yōu)化約束條件為：

式中，λw=ωw/ωn1，ωw為工作轉速。

2.2 APSO的適應度函數(shù)及算法流程

APSO根據(jù)適應值及早熟收斂情況，將種群粒子進行分類，自適應地調節(jié)各類粒子群的慣性權重，從而增強跳出局部最優(yōu)，搜索全局最優(yōu)的能力[15]。

2.2.1 適應度函數(shù)

APSO的適應度函數(shù)可表示如下：

粒子越靠近最優(yōu)值，共振振幅越小，適應值越小。

2.2.2 算法流程

Step1初始種群參數(shù)：設定種群規(guī)模Npso；粒子維數(shù)為2維，分別為動力吸振器的頻率比γ和阻尼比ζ；隨機初始種群位置VD0和速度VD0，設定位置極限VDmax、VDmin和速度極限VDmax、VDmin；

Step2計算初始種群的Afiti，將各自位置設為個體最優(yōu)位置ppbi，將其中適應值最小的位置設為全局最優(yōu)位置pgb；

Step3判斷pgb是否滿足收斂條件，若滿足則轉向Step6；否則，執(zhí)行Step4；

Step4判別早熟收斂情況，若早熟收斂則自適應分類調節(jié)慣性權重；若非早熟收斂，則保持慣性權重不變；更新粒子的位置和速度，若位置與速度超出極限，則強制定義為極限值；

Step5計算各個粒子的Afiti，若該值優(yōu)于ppbi則將該ppbi更新為該位置；若該值優(yōu)于pgb，則將pgb更新為該位置；判斷迭代次數(shù)是否達到最大值，若為最大值，執(zhí)行Step6；否則，執(zhí)行Step2；

Step6輸出最優(yōu)值pgb，停止迭代。

3 仿真研究

3.1 仿真參數(shù)

1）轉子系統(tǒng)的參數(shù)

利用有限元法將原系統(tǒng)離散為多自由度系統(tǒng)，離散后具有9個軸段單元，各軸段單元具體參數(shù)如表1所示。圓盤的中心為節(jié)點n5，存在質量偏心矩為me=1×10-5kg·m。節(jié)點n1，n10處線性對稱支承，剛度和阻尼分別為ks=1×108N/m，cs=7×105N·s/m。

表1 軸段參數(shù)Tab.1 The parameters of shaft

原系統(tǒng)的前2階的固有頻率分別為52.7Hz和389.5Hz，第1階振型如圖4所示。

由振型可見，發(fā)生一階共振時節(jié)點n5為系統(tǒng)上最大振幅位置。因此，將該點作為目標抑振點，同時將其振幅作為動力吸振器抑振性能的評估載體。

圖4 原系統(tǒng)的一階振型Fig.4 The first order form of original system

2）APSO的參數(shù)

粒子群算法的初值選擇對迭代收斂速度有很大影響，因此初值的合理選擇顯得非常重要。

Liu等求得應用于單自由度質量-阻尼-剛度系統(tǒng)的單自由度skyhook型動力吸振器最優(yōu)調諧參數(shù)的近解析解，最優(yōu)頻率比如下[16]：

式中，ζp為主系統(tǒng)的阻尼比。

利用特征向量法將原系統(tǒng)等效為單自由度的質量-阻尼-剛度系統(tǒng)，等效系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

表2 等效系統(tǒng)的參數(shù)Tab.2 Parameters of equivalent system

利用公式（13）求解各質量比的單自由度skyhook型動力吸振器的最優(yōu)頻率比，結合文獻[16]中利用數(shù)值方法求得最優(yōu)阻尼比，構成向量=[,]。每個粒子在VD0i=[0.8, 1.2]的范圍內隨機初始化，借此提高收斂速率。每個粒子的極限位置均為VDmaxi=[2,1]，VDmini=[0,0]，速度極限為最大位置極限的1/5。種群規(guī)模選取Npso=40，迭代次數(shù)為50次。c1=2.05；c2=2.05；k1=1.5；k2=2；參數(shù)含義見文獻[15]。

3.2 仿真結果

3.2.1 APSO的尋優(yōu)精度

將APSO與粒子群算法（PSO）、權重縮減的粒子群算法（CFPSO）方法優(yōu)化后的參數(shù)進行對比。分別利用三種算法對μ=0.05的動力吸振器進行參數(shù)優(yōu)化，分別運行50次，得到最優(yōu)參數(shù)結果，如表3所示。

表3 最優(yōu)參數(shù)和振幅放大率Tab.3 Optimal parameters and amplitude magnification

圖5為采用三種方法的優(yōu)化收斂曲線。CFPSO能很好地搜索粒子最優(yōu)解，但與PSO類似，由于缺乏引導容易陷入局部最優(yōu)。APSO由于借鑒自適應調整遺傳算法控制參數(shù)的方法對慣性權重進行合理調整，增強了對陷入局部最優(yōu)的探查能力，從而增加了跳出局部最優(yōu)的幾率，且具有優(yōu)秀的收斂速度和精度。

圖5 三種優(yōu)化方法的優(yōu)化收斂曲線Fig.5 Curves of optimization conergency of three optimization methods

圖6 為經(jīng)附加三種算法優(yōu)化后動力吸振器的主系統(tǒng)及原系統(tǒng)的幅頻響應曲線。由圖可見，附加三種動力吸振器后，主系統(tǒng)的共振振幅均有效降低，并且因附加吸振器產生的兩個新共振峰幅值相等。

圖6 幅頻響應曲線Fig.6 Amplitude-frequency response curve

3.2.2 不同質量比的吸振器的最優(yōu)參數(shù)及抑振性能

為掌握質量比對動力吸振器最優(yōu)參數(shù)的影響，對不同質量比的動力吸振器進行尋優(yōu)，質量比的變化范圍為0.01～0.1。將其最優(yōu)性能與Voigt型動力吸振器進行對比，進一步了解其性能優(yōu)劣。

觀察圖7可見，skyhook型動力吸振器的最優(yōu)頻率比隨質量比的增大而增大，阻尼比隨質量比的增加而變大，而最優(yōu)振幅放大率隨質量比增加而減?。ㄒ终裥阅苤饾u提高）。相比Voigt型動力吸振器，在小質量比（μ＜0.05）時二者的抑振性能基本相同，但隨著質量比的增加，抑振性能逐漸優(yōu)于Voigt型吸振器。這可能與Voigt型動力吸振器具有較大的剛度和阻尼有關。由圖7（a）可見，隨著質量比的增加，Voigt型動力吸振器的最優(yōu)頻率比逐漸減小，這與skyhook型動力吸振器相反。這意味著質量比越大，skyhook型動力吸振器的頻率比和阻尼比比同質量比的Voigt型動力吸振器大的越多。

圖7 最優(yōu)動力吸振器的參數(shù)及最優(yōu)放大率隨質量比的變化Fig.7 Changes of the optimal parameters of dynamic vibration absorber and the optimal magnification with the mass ratio

3.2.3 抑振性能的靈敏度分析

當動力吸振器的頻率比或阻尼比偏離最優(yōu)值，抑振性能將降低。本節(jié)討論抑振性能對頻率比或阻尼比偏離最優(yōu)值的靈敏度。頻率比（或阻尼比）的變化量以符號ηγ（或ηζ）表示，具體含義為：ηγ（或ηζ）=（實際的頻率比（或阻尼比））/（最優(yōu)頻率比（或阻尼比）），參數(shù)范圍為0.6～1.4。參數(shù)在該范圍內變化時，動力吸振器的靈敏度如圖8所示。圖中抑振性能對頻率比（或阻尼比）的靈敏度以ha（或hb）表示，其含義為：ha（或hb）=（附加頻率比（或阻尼比）偏離最優(yōu)的動力吸振器的主系統(tǒng)的共振振幅-最優(yōu)振幅）/（原系統(tǒng)的共振振幅-最優(yōu)振幅）。其值越大，說明抑制性能對參數(shù)越敏感，性能降低越嚴重；若該值大于1，表明動力吸振器不僅沒有抑振效果，反而使振動加劇。圖中分上下兩層，下層為上層圖像在底面的投影。

由圖8觀察可見，頻率比偏離最優(yōu)的情況下，質量比較小時，頻率比無論增大或減小，靈敏度均隨其偏離最優(yōu)值程度的增加而迅速增加。在μ=0.01，ηγ=0.6時，動力吸振器不僅沒有發(fā)揮抑振效果，反而使振動加劇。隨質量比增加，抑振性能對頻率比的靈敏度逐漸降低；相比頻率比減小，頻率比增大時靈敏度較低，即相同偏離最優(yōu)的程度下頻率比變小對抑振性能的影響更大。

圖8 抑振性能對參數(shù)的靈敏度分析Fig.8 Analysis on sensitivity of vibration suppressing performance to parameters

當阻尼比偏離最優(yōu)時，在參數(shù)的變化范圍內靈敏度不超過0.12，證明抑振性能對阻尼比變化的敏感度較低。相同偏離系數(shù)下，與頻率比偏離最優(yōu)相比，阻尼比偏離最優(yōu)時其抑振性能的降低程度更小。相同偏離系數(shù)下，不同質量比的動力吸振器對阻尼比的靈敏度相近。

4 結構設計方案

動力吸振器的阻尼單元很重要的。磁阻尼具有良好的線性特性，而且不容易受溫度的影響，與其他類型的阻尼相比具有明顯的優(yōu)越性。所以，天棚型轉子動力吸振器的阻尼單元采用磁阻尼。

5 結論

1）利用APSO對抑制轉子一階共振的被動式skyhook型動力吸振器進行了優(yōu)化設計。優(yōu)化設計的動力吸振器能有效降低轉子一階共振振幅，且具有良好的抑振效果。

2）skyhook型動力吸振器的最優(yōu)頻率比隨質量比增大而增大；相同質量比下，質量比越大，skyhook型動力吸振器的抑振性能比Voigt型動力吸振器越優(yōu)越。

3）skyhook型動力吸振器的抑振性能對頻率比變化的靈敏度高于阻尼比；小質量比的動力吸振器的抑振性能對頻率比的靈敏度高于大質量比動力吸振器；同等偏離程度下，吸振器對頻率比減小的靈敏度高于頻率比增大；阻尼比偏離最優(yōu)時，同等偏離程度下，各質量比的吸振器的靈敏度基本相同。