崔 瀟，姚建偉，孫麗霞

(1.中國鐵道科學(xué)研究院 研究生部，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100081)

1 剛?cè)狁詈宪囕v軌道系統(tǒng)及歐拉坐標(biāo)下的柔性旋轉(zhuǎn)輪對

圖1 剛?cè)狁詈宪囕v軌道系統(tǒng)計(jì)算模型

無約束情況下剛?cè)狁詈隙囿w動力學(xué)計(jì)算公式為

(1)

將式(1)展開可以分為下列2個公式

(2)

(3)

式(3)可推導(dǎo)為如下公式[10]

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

J=ATAθ,E=-AθθAT

(12)

(13)

式中：ρ為柔性車輪密度;Ω為輪對繞車軸軸線轉(zhuǎn)動的角速度；θ為輪對繞車軸軸線轉(zhuǎn)動的角度；φ為歐拉坐標(biāo)系下的模態(tài)；v為歐拉坐標(biāo)系下的位置矢量；A為旋轉(zhuǎn)矩陣；f(v)為柔性旋轉(zhuǎn)輪對所受的外力矢量；g(t)為柔性旋轉(zhuǎn)輪對所受的外力隨時間變化的系數(shù)；V為柔性體所占據(jù)的體積。

2 車輪多邊形旋轉(zhuǎn)效應(yīng)分析

車輪多邊形磨耗屬于周期性非圓化磨耗，是車輪不圓順的一種特殊表現(xiàn)形式。車輪半徑沿著整個圓周呈周期性變化。沿一周的波數(shù)或邊數(shù)稱作相應(yīng)的階數(shù)，一般在1～30之間。1～9階稱為低階多邊形，10階及以上稱為高階多邊形。其中，1階車輪多邊形又稱為車輪偏心，2階車輪多邊形又稱為車輪橢圓化。不同階數(shù)n對應(yīng)的車輪多邊形波長λn為

(14)

式中，R為車輪滾動圓半徑。

當(dāng)列車運(yùn)行速度為v時，引起的輪軌系統(tǒng)振動頻率fn為

fn=v/(3.6λn)=nv/(7.2πR)

(15)

為方便觀察車輪多邊形磨耗的情況，通常采用極坐標(biāo)。圖2為車輪多邊形磨耗示意，以20階多邊形為例，多邊形磨耗幅值為0.06 mm，即車輪表面粗糙度為60 μm。

圖2 車輪多邊形磨耗示意

圖3 車輪多邊形磨耗下輪軌垂向力對比

圖4 車輪多邊形磨耗下輪軌垂向力PSD對比

從圖3可以看出，當(dāng)車輪多邊形階數(shù)較低時，考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的柔性輪對其輪軌垂向力的波動，相比剛性輪對和忽略旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的柔性輪對更加劇烈；當(dāng)車輪多邊形階數(shù)較高時，輪軌垂向力幅值較大，最大值約為145 kN，隨軌枕位置呈周期性波動。

圖4通過對3種輪對建模方法的輪軌垂向力進(jìn)行頻譜分析，可知輪軌垂向力主要存在于與多邊形階數(shù)相對應(yīng)的振動頻率(可由式(15)計(jì)算得到)，且考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的柔性輪對其輪軌垂向力響應(yīng)主頻存在明顯的分離現(xiàn)象。如圖4(a)所示，柔性旋轉(zhuǎn)輪對激起了輪軌系統(tǒng)間 1 043 Hz左右的振動主頻。圖4(b)中輪軌垂向力主頻除多邊形階數(shù)對應(yīng)的頻率外，還存在1 480 Hz 左右的主頻，該頻率約為多邊形階數(shù)頻率的2倍。

圖5 車輪多邊形磨耗下輪軌縱向力對比

將剛性輪對、忽略旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對以及考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌縱向力結(jié)果進(jìn)行對比，見圖5，并對其進(jìn)行頻譜分析，圖6為車輪多邊形磨耗下輪軌縱向力PSD對比，頻率范圍為20～2 000 Hz。

圖6 車輪多邊形磨耗下輪軌縱向力PSD對比

從圖5可以看出，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對帶有車輪多邊形磨耗的輪軌縱向力影響較明顯，考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的柔性輪對其輪軌縱向力明顯大于剛性輪對和忽略旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的柔性輪對。當(dāng)多邊形階數(shù)較低時，階數(shù)對應(yīng)頻率的能量在輪軌縱向力總能量中占比較小，輪對1階彎曲頻率的能量占比較大，柔性旋轉(zhuǎn)輪對對應(yīng)的分離頻率分別約為94 Hz和156 Hz，如圖6(a)所示；當(dāng)多邊形階數(shù)較高時，輪軌縱向力存在與多邊形階數(shù)頻率對應(yīng)的分離頻率，約為586 Hz和895 Hz，分別接近于車輪多邊形19階和29階的頻率，如圖6(b)所示。

3 多邊形階數(shù)和磨耗程度的影響

3.1 車輪多邊形階數(shù)

為了研究車輪多邊形階數(shù)對輪軌系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，將車輪多邊形磨耗幅值取定值0.04 mm，階數(shù)取1階 以及2～30的偶數(shù)階。設(shè)列車運(yùn)行速度為300 km/h。將不同車輪多邊形階數(shù)下的輪軌垂向力最大值和最小值進(jìn)行匯總，見圖7。

圖7 不同車輪多邊形階數(shù)下輪軌垂向力最值

從圖7可以看出：隨著車輪多邊形階數(shù)的增加，輪軌垂向力最大值有總體上升的趨勢。當(dāng)階數(shù)為26階時輪軌垂向力最大值達(dá)到最大，其值約為156 kN；當(dāng)階數(shù)為24階、26階和28階時輪軌垂向力最小值為0，即車輪發(fā)生了瞬時跳動。從輪軌垂向力最值分布來看，輪軌垂向力在車輪多邊形為2階(橢圓化)以及24～28階時相對附近的階數(shù)波動較大，因此，當(dāng)車輪存在低階多邊形時，車輪的橢圓化對輪軌系統(tǒng)帶來的損壞更嚴(yán)重。為了進(jìn)一步探究22～32階輪軌垂向力的波動情況及其原因，選取22階、26階和32階的輪軌垂向力時域和頻域結(jié)果進(jìn)行對比分析，見圖8。

圖8 不同車輪多邊形階數(shù)下輪軌垂向力結(jié)果對比

3.2 多邊形磨耗程度

設(shè)列車運(yùn)行速度為300 km/h。為了綜合研究車輪多邊形階數(shù)和磨耗程度對輪軌系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，分別將車輪多邊形階數(shù)取為1階以及2～32的偶數(shù)階，并將車輪多邊形磨耗幅值取為0.02，0.04，0.06，0.08，0.10 mm。共計(jì)85個工況。將不同工況下的輪軌垂向力最大值和最小值進(jìn)行匯總，見圖9。

圖9 不同磨耗程度和多邊形階數(shù)下輪軌垂向力最值

圖10 高階多邊形磨耗下輪軌垂向力對比

圖11 高階多邊形磨耗下輪軌垂向力PSD對比

通過圖10可以看出，在列車運(yùn)行的初始位置(第1個輪軌垂向力波動峰值)，24階、26階、28階車輪多邊形磨耗下輪軌垂向力依次遞增，但隨著列車?yán)^續(xù)前進(jìn)，不同階數(shù)多邊形磨耗下輪軌垂向力波動幅值發(fā)生改變，當(dāng)多邊形磨耗深度為0.04 mm時，26階多邊形磨耗下輪軌垂向力波動幅值大于24階和28階時的情況。而當(dāng)多邊形磨耗深度為0.10 mm 時，24階多邊形磨耗下輪軌垂向力波動幅值大于26階和28階時的情況。由圖11可以看出，這3種階數(shù)多邊形磨耗均不同程度地引起了2倍頻的振動。當(dāng)多邊形磨耗深度為0.04 mm時，3種階數(shù)多邊形對應(yīng)頻率的能量占輪軌垂向力總能量的主要部分，2倍頻的能量較小。其中，26階多邊形對應(yīng)的頻率約為801 Hz，2倍頻約為 1 603 Hz，這2個主頻的PSD均大于24階和28階時的情況；而當(dāng)多邊形磨耗深度為0.10 mm時，2倍頻能量在輪軌垂向力總能量中的占比明顯上升，大于多邊形頻率PSD的1/3。其中，24階多邊形對應(yīng)的頻率約為740 Hz，2倍頻約為 1 480 Hz，24階頻率的PSD小于26階和28階時的情況，但其2倍頻的PSD大于26階和28階時的情況。綜上所述，當(dāng)多邊形磨耗嚴(yán)重時，高階多邊形引起的2倍頻能量上升，對輪軌力的波動幅值影響較大。

4 結(jié)論

1)考慮柔性旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的車輪多邊形磨耗下輪軌力響應(yīng)存在主頻分離現(xiàn)象，對輪軌力的波動影響較明顯。當(dāng)多邊形階數(shù)較低時，階數(shù)對應(yīng)頻率的能量在輪軌縱向力總能量中占比較小，輪對1階彎曲分離頻率的能量占比較大。

2)當(dāng)列車運(yùn)行速度為300 km/h，車輪多邊形階數(shù)為24～28階時，輪軌垂向力出現(xiàn)了拍振現(xiàn)象且波動較大，相對于軌枕位置存在約0.5π的相位超前。當(dāng)車輪多邊形階數(shù)大于22階且磨耗深度大于0.06 mm時，輪軌垂向力最大值超過限值，需及時對車輪進(jìn)行鏇修或其他養(yǎng)護(hù)維修作業(yè)。對于多邊形階數(shù)大于22階的高階多邊形，其磨耗深度的限值建議在0.04～0.05 mm。

3)隨著車輪多邊形磨耗程度的增加，輪軌垂向力最大值由在26階車輪多邊形的情況下出現(xiàn)，逐漸過渡到在24階車輪多邊形的情況下出現(xiàn)，24階多邊形為車輪多邊形主要發(fā)展趨勢。當(dāng)多邊形磨耗嚴(yán)重時，高階多邊形引起的2倍頻能量上升，對輪軌力的波動幅值影響較大。