孫波

摘要：研究高等數(shù)學(xué)教材教法，全面分析了高等數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)、特點(diǎn)及我國高等數(shù)學(xué)教育的歷史與現(xiàn)狀和存在的主要問題與矛盾，提出了數(shù)學(xué)生活化教學(xué)觀點(diǎn)與方法，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了具體論述。主要觀點(diǎn)是多用生活事例說明數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，圍繞實(shí)際應(yīng)用講授數(shù)學(xué)理論，讓數(shù)學(xué)回歸生活、回歸自然。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；生活化事例；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）23-0181-03

一、引言

數(shù)學(xué)是理工科的靈魂，也是現(xiàn)代管理科學(xué)及數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的計(jì)算工具，因而數(shù)學(xué)教育在基礎(chǔ)教育和高等教育中占了很大比重。但數(shù)學(xué)概念之抽象、推導(dǎo)之復(fù)雜使之教學(xué)難度大。由于受前蘇聯(lián)教育模式的影響，我國數(shù)學(xué)教材、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式過分強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和理論體系的完整性而忽略了教學(xué)過程的通俗性和應(yīng)用性。特別是進(jìn)入新世紀(jì)以來，我國基礎(chǔ)教育實(shí)行了義務(wù)教育，高等教育規(guī)模進(jìn)一步擴(kuò)大，漸漸由精英教育轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟊娊逃促|(zhì)量參差不齊，學(xué)生的個(gè)性與興趣愛好漸漸多元化。此外，由于學(xué)科門類越來越多，學(xué)生的課程負(fù)擔(dān)越來越重，學(xué)習(xí)耐心和自覺性也有所下降。因此，如何適應(yīng)新形勢(shì)，調(diào)整數(shù)學(xué)教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式，使之既能滿足應(yīng)用需要，又易于學(xué)生接受是擺在數(shù)學(xué)教育工作者面前的一大課題。筆者既非教育家，也談不上數(shù)學(xué)家，僅憑一腔熱情以管筆之見和數(shù)學(xué)同行們探討這一話題，以期拋磚引玉，共同推動(dòng)我國數(shù)學(xué)教育改革。筆者認(rèn)為，日常生活現(xiàn)象是人最容易理解的，拿現(xiàn)實(shí)生活里面的事物講數(shù)學(xué)有可能達(dá)到深入淺出、事半功倍的效果。

二、生活中的函數(shù)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本概念之一，其嚴(yán)格定義是兩數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)。但集合與對(duì)應(yīng)是兩個(gè)抽象數(shù)學(xué)概念，即便教師把定義抄在黑板上，學(xué)生再背它幾遍，仍可能是一知半解。當(dāng)然，經(jīng)過長時(shí)間的思維積淀之后也能漸漸理解到位，此所謂“書讀百遍，其意自現(xiàn)”。但如果我們能找到捷徑使書讀一遍，便其意自現(xiàn)豈不更好？其實(shí)，數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系在日常生活中比比皆是，如住宅小區(qū)物業(yè)管理費(fèi)跟住房面積之間的關(guān)系，水電費(fèi)、燃?xì)赓M(fèi)跟實(shí)際用量之間的關(guān)系，房屋總售價(jià)跟平方均價(jià)之間的關(guān)系都可歸結(jié)為函數(shù)關(guān)系。也許是因?yàn)樗鼈兲椒?，大家熟視無睹，或者是因?yàn)樗鼈兲?，不足以寫進(jìn)書本，不屑登上大雅之堂，很少見到哪本教材、哪位教師拿它們來講函數(shù)。我們不妨嘗試一下函數(shù)概念是不是可以這樣引入：假設(shè)你們家所在小區(qū)的月物業(yè)管理費(fèi)為每平方米1.2元，小區(qū)戶型面積有103、130、142、154和205平方米，則相應(yīng)的月物業(yè)管理費(fèi)等于戶型面積乘以1.2元每平方米，分別為123.6、156、170.4、184.8和246元。接著畫出它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖，然后提煉函數(shù)抽象定義和解析表達(dá)式：用X表示該住宅小區(qū)房屋面積的集合，Y表示月物管費(fèi)的集合，則X中每一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)Y中唯一確定的數(shù).設(shè)x為集合X中的面積數(shù)，y為Y中的費(fèi)用數(shù)，則集合Y中對(duì)應(yīng)的售價(jià)可表述為

y=1.2x.

我們稱上例中的x為自變量，y因x而變化，故稱為因變量，也稱為x的函數(shù)。此外還可順便介紹一下其他描述方式，如有序數(shù)對(duì)法，一對(duì)數(shù)x和y可記為有序數(shù)對(duì)（x，y）。本例函數(shù)關(guān)系可用有序數(shù)對(duì)表示為

（103，123.6），（130，156），（142，170.4），（154，184.8），（205，246）

超市購物是青少年最熟悉不過的生活內(nèi)容，超市貨架上每件商品都帖了條形碼，顧客把選購的商品拿到收銀處，收銀員用掃碼器生成價(jià)格。顯然，每個(gè)條形碼對(duì)應(yīng)唯一確定的價(jià)格，所以超市商品條形碼與掃碼器生成的價(jià)格之間也構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。

生活中的函數(shù)還有很多，比如下例介紹的水費(fèi)階梯定價(jià)函數(shù)，為了合理引導(dǎo)居民用水，長沙市實(shí)行居民用水階梯式定價(jià)，共分三級(jí)，如2017年四口之家的定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：第一級(jí)：水量基數(shù)為15立方米及以下，單價(jià)為2.58元/立方米；第二級(jí)：水量基數(shù)為15至22立方米（含22立方米），超過15立方米部分單價(jià)為3.34元/立方米；第三級(jí)：22立方米以上，超過部分單價(jià)為4.09元/立方米。水費(fèi)計(jì)算方式為：第一級(jí)水價(jià)×第一級(jí)水量基數(shù)+第二級(jí)水價(jià)×第二級(jí)水量基數(shù)+第三級(jí)水價(jià)×第三級(jí)用水量。如果四口之家某月用水量為10立方米，則其當(dāng)月水費(fèi)為10×2.58=25.8（元）；如果他們某月用水量為20立方米，則其當(dāng)月水費(fèi)為15×2.58+（20-15）×3.34=55.4（元）；如果他們某月用水量為30立方米，則其當(dāng)月用水量為15×2.58+（22-15）×3.34+（30-22）×4.09=94.8（元）。總之，給定的用水量對(duì)應(yīng)唯一確定的水費(fèi)，因而用水量與水費(fèi)之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。用x表示四口之家月用水量，y表示相應(yīng)水費(fèi)，則函數(shù)關(guān)系可表述為

y=2.58x，0≤x≤15，2.58×15+3.34（x-15），1522.

類似的問題還有燃?xì)怆A梯定價(jià)、電費(fèi)階梯定價(jià)等，這些問題不僅幫助學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念，還可培養(yǎng)青少年的節(jié)能環(huán)保意識(shí)。

三、生活中的微積分

微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，微分指函數(shù)的變化率，積分則指函數(shù)的空間積累。但因都要通過極限來定義，而且積分的定義形式更復(fù)雜難懂，初學(xué)者往往暈暈乎乎。但如果拿現(xiàn)實(shí)生活中的某些事例來講可能就不那么難了。開車是現(xiàn)代人的交通出行手段，速度里程表是大家每天都要看的。速度表顯示汽車的運(yùn)行速度，里程表顯示汽車運(yùn)行的路程。試想，如果速度表表壞了而里程表完好，我們能否根據(jù)里程表數(shù)字算出汽車運(yùn)行速度呢？或反過來，如果里程表壞了而速度表完好，我們是否也能用速度表推算里程表？教學(xué)內(nèi)容可這樣組織：先顯示一個(gè)汽車速度里程表給學(xué)生以直覺，然后從最簡單情形——?jiǎng)蛩龠\(yùn)動(dòng)入手討論。假設(shè)汽車的運(yùn)行速度保持60公里/小時(shí)，記v=60，則里程按此速度均勻增加，記為f=60t。速度和里程函數(shù)圖像如下：

容易看出，t時(shí)刻的里程f=60t剛好等于速度函數(shù)圖像在t軸上0和t之間所蓋面積；而v值則等于f的變化率。然后考慮最簡單變速運(yùn)動(dòng)——分段勻速，比如0到2小時(shí)之內(nèi)速度保持60，而2到4小時(shí)之內(nèi)速度保持40，速度函數(shù)可分段表示為

顯然此時(shí)的里程應(yīng)分段計(jì)算，表達(dá)式為

f（t）=60t，0≤t<2，40t+40，2≤t<4.

其圖像為如下兩段折線：

顯然對(duì)于0≤t<2，f（t）=60仍等于速度函數(shù)v的圖像在時(shí)間段0和t之間“所蓋面積”，而v值也等于f的變化率，特別的，f（2）=60×2=120等于v的圖像在時(shí)間段0和2之間“所蓋面積”，對(duì)于2≤t<4，f在時(shí)間段2到t的增量40（t-2）也等于速度函數(shù)v的圖像在時(shí)間段2和t之間“所蓋面積”，v仍等于f的變化率。兩段合起來也可推出f在時(shí)間段0到t的增量等于速度函數(shù)v的圖像在時(shí)間段0和t之間“所蓋面積”，v（t）則等于f在t時(shí)刻的變化率。顯然一般分段常速運(yùn)動(dòng)也具有上述規(guī)律，即分段常速運(yùn)動(dòng)里程函數(shù)在任一時(shí)間段內(nèi)的增量等于速度函數(shù)在同一時(shí)間段上“所蓋面積”，而任一時(shí)刻的速度則等于同時(shí)刻里程函數(shù)的變化率。至于一般連續(xù)變速運(yùn)動(dòng)，則可理解為由無數(shù)短暫常速運(yùn)動(dòng)拼接而成，因而其速度跟里程之間也存在同樣的關(guān)系，即t時(shí)刻的里程等于速度函數(shù)圖像在時(shí)間段0和t之間所蓋面積；而t時(shí)刻的速度則等于里程函數(shù)在t時(shí)刻的變化率。接下來的問題自然是，如何求給定里程函數(shù)f（t）在任一時(shí)刻t的變化率？唯一的做法只能是先在時(shí)刻t附近取一短時(shí)間間隔[t，t+Δt]（Δt>0）或[t+Δt，t]（Δt<0），則里程f在該段時(shí)間的平均變化率■大致反映了f在t時(shí)刻的變化率。顯然，|Δt|越小，該平均變化率越能反映f在t時(shí)刻的變化率。一般說來，隨著Δt無限趨于0，上述平均變化率會(huì)漸漸趨向于一個(gè)定數(shù)，那個(gè)定數(shù)理所當(dāng)然是f在t時(shí)刻的變化率?？磥?，要想由里程推算速度就必須借助于“無限趨向”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)思想和概念，由此引入微積分的主題——極限。

四、讓數(shù)學(xué)回歸自然

現(xiàn)代社會(huì)給人們提供了豐富多彩的生活內(nèi)容，同時(shí)也為數(shù)學(xué)提供了豐富多彩的素材，或許我們的柴米油鹽和衣食住行就是數(shù)學(xué)的最好素材和無窮源泉！說得文學(xué)一點(diǎn)，生活就是數(shù)學(xué)永恒的主題，拿日常生活講數(shù)學(xué)，拿身邊的事講數(shù)學(xué)，不一定要把數(shù)學(xué)講成遠(yuǎn)離生活、高深莫測(cè)的空中樓閣！筆者在多年的教學(xué)工作中也發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生連基本概念都還沒理解就去攻五花八門的習(xí)題集和晦澀難懂的怪題，目的也就是為了撞上幾個(gè)考試題目。也有教師認(rèn)為，除了講教材上的例題外，還要從參考資料上找?guī)讉€(gè)題目講講以體現(xiàn)水平，同時(shí)也有助于學(xué)生考研。我們不禁反思和質(zhì)問：我們到底該教給學(xué)生科舉的數(shù)學(xué)還是生活的數(shù)學(xué)？筆者有一次講數(shù)學(xué)分析課推導(dǎo)三次冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí)問學(xué)生（x+Δt）3的展開式，大部分學(xué)生竟然答不上來！他們可都是經(jīng)過了無數(shù)次周考、月考、中考、末考，刷過的難題千千萬，過五關(guān)、斬六將，最終超過一本線幾十分的長勝將軍！可遺憾的是，竟然連老祖宗的傳家寶楊輝三角都不知道！筆者不得不懷疑我們平時(shí)考的那些難題意義何在？少考幾道難題，多講點(diǎn)應(yīng)用與生活，偶爾也考一下（a+b）3的展開式又有何妨？新時(shí)代的號(hào)角已經(jīng)吹響，愿數(shù)學(xué)這一古老而又神圣的學(xué)科在全面建設(shè)小康社會(huì)和實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興中國夢(mèng)的偉大進(jìn)程中回歸自然！

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