☉陜西省寧強(qiáng)縣天津高級中學(xué) 劉金平
數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一,是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.抽象函數(shù)問題對于高中生來講,難度比較大,不易理解,主要特點(diǎn)是抽象函數(shù)的解析式不確定.試題常將函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識結(jié)合在一起,考查學(xué)生對函數(shù)的主要性質(zhì)(如單調(diào)性、周期性、奇偶性和對稱性)的理解能力、邏輯推理能力和抽象思維能力,養(yǎng)成從特殊到一般,從具體到抽象的解題思維習(xí)慣.
例1設(shè)(fx)是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對稱,對任意的x1,x2∈],都有(fx1+x2)=(fx1)·(fx2),且(f1)=a>0.
(2)證明:(fx)是周期函數(shù);
分析:(1)這是根據(jù)題干條件求特殊值的問題,需要把1拆成,這樣就可以直接利用條件進(jìn)行求解;
(2)要利用圖像的對稱性找到對應(yīng)關(guān)系并結(jié)合條件就能證明;
解析:(1)因?yàn)閷τ谌我獾膞,x∈],都有(fx+121x2)=(fx1)·(fx2)成立,
(2)證明:由題意可知,y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,故可得f(x)=f(2-x),x∈R.又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),x∈R,所以f(-x)=f(2-x),x∈R.將上式中的-x用x替換,得到f(x)=f(x+2),x∈R,
則由周期函數(shù)的定義可知f(x)是R上的周期函數(shù),且2是它的一個正周期.
(3)由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1],
由(2)知(fx)是以2為周期的周期函數(shù),因此,an=
評注:該題主要考查學(xué)生對函數(shù)的概念、圖像,以及奇偶性、周期性和對稱性等重要性質(zhì)的理解能力,以及遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識的運(yùn)用能力;考查運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力.關(guān)鍵是要緊緊抓住題干條件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進(jìn)行適當(dāng)變形尋找解決問題的突破口,巧妙地將抽象問題具體化.在解題過程中要讓學(xué)生體會和感受到解決抽象函數(shù)問題的技巧和方法,從而達(dá)到落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.
例2已知函數(shù)f(x)對于任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時,有f(x)<0.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
分析:(1)由(fx+y)=(fx)+(fy)這個條件求特殊值,只需充分利用自變量取值的任意性就可以完成;
(2)結(jié)合題目條件,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義巧妙地對(fx+y)=(fx)+(fy)進(jìn)行變形即可;
解析:(1)由對于任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,不妨令x=y=0,得
f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,由(1)知,可令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(0)=f(x)+f(-x),而f(0)=0,所以f(-x)=-f(x).故f(x)為奇函數(shù).
由函數(shù)單調(diào)性的定義,任取x1,x2∈(-∞,+∞),不妨設(shè)x1>x2,則x1-x2>0,由題設(shè)條件得f(x1-x2)<0.
而f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2),所以f(x1)+f(-x2)<0,
即f(x1)<-f(-x2)=f(x2).所以f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù).
(3)因?yàn)楹瘮?shù)(fx)是奇函數(shù)且當(dāng)x>0時,(fx)<0,當(dāng)x∈[-1,1),x-1<0,得(fx-1)>0,所以<2k可變形為(fx2+1)<2k(fx-1).
①當(dāng)k∈Z+時,由數(shù)學(xué)歸納法可證得2k(fx)=(f2kx).(*)
②當(dāng)k=0時,(*)式顯然成立;當(dāng)k<0時,由奇函數(shù)的性質(zhì)可證明(*)式也成立.
所以有(fx2+1)<(f2kx-2k),由單調(diào)性得x2-2kx+1+2k>0,對于x∈[-1,1)恒成立.運(yùn)用分離參數(shù)法可變形為在x∈[-1,1)上恒成立,
評注:前兩個問題采用“賦值法”就可以輕松解決,由定義域的一般性給變量賦特殊值即可,第三個問題則利用函數(shù)的單調(diào)性將抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題,運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想使問題得以解決,這是解決抽象函數(shù)問題的常用方法,在教學(xué)過程中要善于引導(dǎo)學(xué)生去感受、體會這種解題思路,不斷積累經(jīng)驗(yàn),養(yǎng)成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維解決問題的良好習(xí)慣.
在高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過程中,由于學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知能力有限,還未形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識體系,從一個數(shù)學(xué)情境中抽象概括出一個數(shù)學(xué)模型的能力比較欠缺,這兩個例子所給出的函數(shù)關(guān)系分別可以抽象為指數(shù)型函數(shù)f(x)=ax和一次函數(shù)f(x)=kx模型,這是學(xué)生最熟悉最易理解的兩個函數(shù)模型,把抽象的不好理解的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的常見的數(shù)學(xué)問題,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣,對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有較大幫助.W