周澤軍　侯霞

摘要：習(xí)題教學(xué)的“根”就是數(shù)學(xué)模型，習(xí)題教學(xué)的“魂”在于數(shù)學(xué)思想方法.本文以課本習(xí)題為例，抓住習(xí)題中蘊舍的數(shù)學(xué)思想與方法，旨在讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)“落地生根”.

關(guān)鍵詞：習(xí)題教學(xué);數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)想想方法

“眾里尋它千百度，驀然回首，數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)思想方法卻在課本習(xí)題處.”如何將學(xué)生從窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目解脫出來？適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的課本習(xí)題，幫助學(xué)生挖掘習(xí)題的各個方面，讓學(xué)生在解題過程中，提高才智與推理能力也許是一種有效的途徑。文章通過一道習(xí)題的多種解法與課本題源蘊含的數(shù)學(xué)模型與思想方法進行對比，意在闡述研習(xí)課本習(xí)題的潛在教學(xué)價值，旨在提高解題能力，提升思維品質(zhì).

1 課本題源再現(xiàn)

題源1（新人教版83頁第12題）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證：BE= DC.

分析 本題的實質(zhì)就是借助等腰三角形中的“手拉手”模型，通過證明△ADE≌△ABE來證明線段BE=DC.其實本題的證法還可以將△ABD，△AEC都是等邊三角形推廣為：“任意三角形△ABD，△AEC中，AB =AD、AE =AC，且∠DAB=∠EAC”.證法相同，結(jié)論仍成立.

題源2（新人教版69頁第14題）如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE= EF.

分析 本題的證明若以△ABE為“基礎(chǔ)三角形”，借助“三垂直”模型，過點F作BC的垂線，構(gòu)造一個直角三角形與△ABE全等來證明線段AE= EF，就會進入思維定勢的誤區(qū).而正確的方法是反其道而行之，突破思維定勢，以△CFE為“基礎(chǔ)三角形”在AB上截取線段AM，連接ME，構(gòu)造△AME與△ABE全等來證明.其實本題的證法還可以將點E推廣為：“點E在直線BC上運動，∠AEF= 90°，且EB交正方形外角的平分線CF所在直線于點F”.證法相同，結(jié)論仍成立.

2 試題呈現(xiàn)

如圖3，已知△ABC，AB =AC，∠BAC= 90°，點D為CB延長線上一點，連AD，以AD為邊在△ABC的同側(cè)作正方形ADEF.

（1）求證：∠EBD =45°;

（2）求2DC-BC/EB的值; （3）若AF =2，AC=√2，連BF，則S△EBF=____.

3 解法賞析

這里只針對第（1）問進行解法解析

解法l如圖4，連接BF，過點E作EM⊥BF于點M，EN⊥ CD于點N.

因為正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB.∠DAC=∠CAB+∠DAB.所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD，

∠FAB= ∠DAC，

AB =AC，

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

因為∠FBC= 90°，所以∠MEN =90°.

所以∠NED= ∠MEF.

在AEDN和AEFM中，

∠DNE= ∠FME，

∠NED= ∠MEF，

ED= EF，

所以AEDN≌AEFM（AAS）.

所以EN=EM.

所以∠NBE= ∠EBM= 45°.

即LEBD =45°.

解法2如圖5，連接BF，過點E作EN⊥CD于點N，EH⊥EB交BF的延長線于點H

因為正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB，∠DAC=∠CAB+∠DAB，所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD.

∠FAB= ∠DAC.

AB=AC.

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

所以∠FBC= 90°

所以∠EDB+ ∠EFB= 180°.

所以∠EDB= ∠EFH.

因為∠FED= ∠HEB =90°，

所以∠HEF= ∠BED.

在AFEH和ADEB中，

∠HEF= ∠BED.

EF= ED.

∠EFH= ∠EDB.

所以AFEHU≌ADEB（ ASA）.

所以EH=EB.

所以∠EBH =45°.

所以∠EBD =45°.

解法3 如圖6，連接BF，過點F作FH⊥BF交BA的延長線于點H

因為正方形ADEF，∠BAC= 90°，∠FAB=∠FAD+ ∠DAB，∠DAC=∠CAB十∠DAB，所以∠FAB= ∠DAC.

在AFAB和ADAC中，

AF =AD，

∠FAB= ∠DAC，

AB =AC，

所以AFAB≌ADAC（ASA）.

所以∠ABF= ∠ACD =45°.

所以FB=FH.

因為∠EFA= ∠BFH= 90°，

所以∠EFB= ∠AFH。

在AEFB和AAFH中，

EF =AF.

∠EFB=∠AFH.

FB= FH.

所以AEFB≌AAFH（ SAS）.

所以∠EBF= ∠AHF =45°.