許允斗 仝少帥 王 貝 鞠忠金 姚建濤 趙永生

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室,秦皇島,0660042.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,秦皇島,066004

0 引言

天線作為任何無線電通信系統(tǒng)都離不開的重要前端器件，在汽車、飛機(jī)、船舶及航空航天等領(lǐng)域發(fā)揮著巨大的作用。天線支撐機(jī)構(gòu)作為天線的支撐和定向機(jī)構(gòu)，對(duì)天線的性能具有重要的影響，天線指向的精度完全由天線支撐機(jī)構(gòu)決定，所以天線支撐機(jī)構(gòu)的高剛度高精度設(shè)計(jì)顯得尤為重要。

目前采用的天線支撐機(jī)構(gòu)多為串聯(lián)形式，存在累計(jì)誤差大、承載能力低和穩(wěn)定性較差等問題。如俯仰-方位型天線支撐機(jī)構(gòu)不能在天線頂端連續(xù)跟蹤[1]；X-Y型天線支撐機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)不夠緊湊，空間體積比較大[2]；極軸型天線支撐機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，存在受力不佳的問題[3]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有串聯(lián)機(jī)構(gòu)不具備的優(yōu)勢(shì)，如承載能力大等[4]，已有較多成功應(yīng)用，如3-DOF Delta并聯(lián)機(jī)器人[5]、飛行模擬器[6]、望遠(yuǎn)鏡反射面調(diào)整機(jī)構(gòu)[7]與并聯(lián)機(jī)床[8]等。

目前雖然已有少量并聯(lián)式天線支撐機(jī)構(gòu)，如基于Stewart型六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的天線支撐系統(tǒng)[9]，但是存在工作空間小、不能實(shí)現(xiàn)大范圍調(diào)姿、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等問題；基于3RSR型三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的天線支撐系統(tǒng)雖然能實(shí)現(xiàn)較大范圍的調(diào)姿，但是其承載能力有限[10]。因此，亟需能夠?qū)崿F(xiàn)大范圍調(diào)姿且承載能力高的并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為天線支撐機(jī)構(gòu)。本文選擇一種兩轉(zhuǎn)一移(2R1T)少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RPU-UPR[11-12]作為天線支撐機(jī)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行了尺度優(yōu)化、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)。

1 并聯(lián)式天線支撐機(jī)構(gòu)2RPU-UPR分析

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

本文中，U、P、S和R分別表示虎克鉸、移動(dòng)副、球副和轉(zhuǎn)動(dòng)副。2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RPU-UPR如圖1所示，2RPU-UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)是目前2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副數(shù)目最少的，易于實(shí)現(xiàn)高結(jié)構(gòu)剛度的設(shè)計(jì)；結(jié)構(gòu)上具有很好的對(duì)稱性，受力各向同性較好，在各個(gè)方向均可以承受較大載荷；機(jī)構(gòu)兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均具有連續(xù)軸線，可得到運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解的解析表達(dá)式[12]，軌跡規(guī)劃與運(yùn)動(dòng)控制算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)。

圖1 2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RPU-UPRFig.1 2R1T parallel mechanism 2RPU-UPR

為方便分析，在并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖中建立定坐標(biāo)系A(chǔ)：OXYZ和動(dòng)坐標(biāo)系B：oxyz，X軸由點(diǎn)a指向A2，Z軸由點(diǎn)a指向點(diǎn)b，x軸由點(diǎn)b指向B2，z軸沿ab方向垂直向上，如圖1所示。由文獻(xiàn)[12]可知該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，分別為繞x軸和y軸的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿P3副軸線的移動(dòng)，且2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度軸線始終保持不變，為連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)[13-15]。

采用矢量法求解不同載荷下機(jī)構(gòu)各個(gè)運(yùn)動(dòng)副對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束力及驅(qū)動(dòng)支鏈的驅(qū)動(dòng)力。支撐機(jī)構(gòu)初始位型機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖見圖2a，其中，點(diǎn)a、點(diǎn)b分別為A1A2、B1B2的中點(diǎn)，線段ab、B1b、B3b、A1a的長度分別為H、r1、r2、r4，A3B3沿Y軸的投影大小為r3，A3B3沿Z軸的投影大小為h。動(dòng)系B相對(duì)于定系A(chǔ)可經(jīng)過以下3次順序變換得到：①繞定平臺(tái)Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)α角；②沿Z軸平移λ；③繞動(dòng)平臺(tái)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)β角。變換后機(jī)構(gòu)位形如圖2b所示。

圖2 并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)前后簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of the parallel support mechanism before and after rotation

(1)

其中，c(·)表示cos(·)，s(·)表示sin(·)。

1.2 受力分析

本文忽略動(dòng)平臺(tái)和3條分支的重力及運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦力。首先建立動(dòng)平臺(tái)靜力學(xué)平衡方程。動(dòng)平臺(tái)與第三支鏈通過R副連接，與另兩個(gè)支鏈通過U副連接。動(dòng)平臺(tái)受力情況如圖3所示。

圖3 支撐機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)受力示意圖Fig.3 Schematic diagram of the force of the moving platform on the supporting platform

通過受力分析，可對(duì)動(dòng)平臺(tái)建立平衡方程，對(duì)動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)b取矩，可得到動(dòng)平臺(tái)的力矩平衡方程。整理可得3個(gè)標(biāo)量表達(dá)方程：

(2)

式中，(ai,bi,ci)T為Bi點(diǎn)在定坐標(biāo)系A(chǔ)下的位置矢量；(AFBix,AFBiy,AFBiz)T為Bi點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)副施加給動(dòng)平臺(tái)的作用力；AMBi為Bi點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)副施加給動(dòng)平臺(tái)的作用力矩，后同；(Fx,Fy,Fz)T、(Mx,My,Mz)T分別為施加給動(dòng)平臺(tái)的外部作用力和力矩。

對(duì)于支鏈上部建立靜力平衡方程。第一支鏈、第二支鏈和第三支鏈的連桿上部和連桿下部均通過P副連接，支撐機(jī)構(gòu)支鏈連桿上部受力示意圖見圖4。

圖4 支撐機(jī)構(gòu)第i條支鏈上部受力示意圖Fig.4 Schematic diagram of the upper part of the No.i branch

對(duì)于支撐機(jī)構(gòu)第1支鏈連桿上部，力平衡方程沿分支軸線方向表達(dá)式，可得1個(gè)標(biāo)量方程：

cosφFB1x-sinφFB1z+τ1=0

(3)

對(duì)于支撐機(jī)構(gòu)第2支鏈連桿上部，力平衡方程沿分支軸線方向表達(dá)式，可得1個(gè)標(biāo)量方程：

cosφFB2x+sinφFB2z-τ2=0

(4)

對(duì)于支撐機(jī)構(gòu)第3支鏈連桿上部，力平衡方程沿分支軸線方向表達(dá)式，可得1個(gè)標(biāo)量方程：

FB3z-τ3=0

(5)

式中，τi為第i個(gè)驅(qū)動(dòng)分支桿的驅(qū)動(dòng)力，i=1,2,3。

由于此類機(jī)構(gòu)存在過約束，其受力分析為靜不定問題，故需建立補(bǔ)充方程進(jìn)行求解。通過分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于支鏈上部，力矩M′Biz作用時(shí)，支鏈連桿上部不會(huì)出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)變形，因此，變形協(xié)調(diào)方程為

M′Biz=0

(6)

式中，M′Biz為動(dòng)平臺(tái)施加給Bi點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)副的反作用力矩，i=1,2,3,即M′Biz=-MBiz。

同理，可對(duì)3條支鏈建立靜力平衡方程，求得各運(yùn)動(dòng)副約束力方程。根據(jù)上述建立的靜力平衡方程可求解運(yùn)動(dòng)副的約束力、約束力偶以及各個(gè)支鏈的驅(qū)動(dòng)力。在ADAMS仿真軟件中建立其仿真模型，為了保持與理論模型盡量一致，設(shè)重力加速度為零，且不施加關(guān)節(jié)摩擦力，如圖5所示。

圖5 仿真模型Fig.5 Simulation model

在ADAMS仿真軟件中進(jìn)行靜力學(xué)分析，機(jī)構(gòu)在外靜力載荷的作用下使機(jī)構(gòu)保持一定位姿時(shí)，對(duì)各個(gè)支鏈的關(guān)節(jié)約束與驅(qū)動(dòng)力大小進(jìn)行測(cè)算。在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系B：bxyz下給動(dòng)平臺(tái)施加六維外載荷F=(5,4,3)TN、M=(3,4,5)TN·mm，進(jìn)行仿真分析，測(cè)得各個(gè)支鏈的驅(qū)動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)副約束力大小仿真值。在同樣的外載荷作用下，采用上文理論分析結(jié)果也可得到各個(gè)支鏈的驅(qū)動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)副約束力大小，見表1。

表1 約束力與驅(qū)動(dòng)力仿真結(jié)果對(duì)比

Tab.1Comparisonofsimulationresults

名稱變量理論值(kg)仿真值(kg)誤差(%)約束力FB153.937 852.449 72.8FB272.697 367.493 77.2FB373.559 773.555 70.005驅(qū)動(dòng)力Fm153.578 152.449 72.1Fm210.515 315.395 77.9Fm373.543 573.543 50

對(duì)表1中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得誤差在10%以內(nèi)，基本上驗(yàn)證了上面靜力學(xué)分析的正確性。分析產(chǎn)生誤差的原因可能是結(jié)構(gòu)存在過約束，建立的變形協(xié)調(diào)方程中涉及連桿的剛度模型，而理論的剛度模型與仿真模型不可避免地存在偏差[16]。

2 尺度優(yōu)化與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 天線對(duì)支撐機(jī)構(gòu)的技術(shù)要求

天線對(duì)支撐機(jī)構(gòu)的具體技術(shù)要求見表2，其中對(duì)橫搖和縱搖兩個(gè)方向的擺動(dòng)角度要求特別大，分別為±90°，這對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了極高的要求。根據(jù)技術(shù)要求，對(duì)天線支撐機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)[17-18]。

表2 天線支撐機(jī)構(gòu)的技術(shù)要求

2.2 尺度優(yōu)化

天線支撐機(jī)構(gòu)主要承受天線自身的重力以及運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的慣性載荷，因此，機(jī)構(gòu)的承載能力將作為一項(xiàng)優(yōu)化指標(biāo)。定義最大承載能力指標(biāo)：在同等外載作用下，3個(gè)驅(qū)動(dòng)分支中的最大驅(qū)動(dòng)力最小，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

FM=min[max(τi)]

(7)

為了滿足橫搖、縱搖的大范圍擺動(dòng)角度，驅(qū)動(dòng)分支運(yùn)動(dòng)范圍也是一項(xiàng)重要指標(biāo)。定義驅(qū)動(dòng)分支運(yùn)動(dòng)范圍指標(biāo)為：支撐機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)至空間極限位置時(shí)3個(gè)驅(qū)動(dòng)分支的最大運(yùn)動(dòng)范圍最小，其表達(dá)式為

SR=min[max(Δli)]

(8)

式中，Δli為第i個(gè)驅(qū)動(dòng)分支桿的運(yùn)動(dòng)變化量，i=1,2,3。

當(dāng)機(jī)構(gòu)繞定系Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)90°后,動(dòng)平臺(tái)的高度應(yīng)大于定平臺(tái)的高度，同時(shí)基于實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求，3個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的行程與其初始桿長需滿足一定比例限制。由此建立以下約束函數(shù)：

(9)

式中，lib為3個(gè)驅(qū)動(dòng)分支轉(zhuǎn)動(dòng)至空間極限位置時(shí)的最大運(yùn)動(dòng)變化量；lic為3個(gè)分支的初始桿長，i=1，2，3。

定義機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸H、h、r1、r2、r3、r4為6個(gè)設(shè)計(jì)變量，為了簡(jiǎn)化優(yōu)化過程，將動(dòng)平臺(tái)尺寸固定，令r1=125 mm及r2=150 mm，并設(shè)定相關(guān)參數(shù)變化范圍，見表3。

表3 設(shè)計(jì)變量變化范圍

首先基于最大承載能力指標(biāo)對(duì)H、h、r3和r4四個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到各參數(shù)對(duì)指標(biāo)的影響規(guī)律，如圖6所示。由此得到一組優(yōu)化結(jié)果，見表4。

圖6 單個(gè)變量參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)分支驅(qū)動(dòng)力指標(biāo)的影響Fig.6 The influence of single variable parameters on driving force index of driving branch

mm

基于驅(qū)動(dòng)分支運(yùn)動(dòng)范圍指標(biāo)，對(duì)各個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，得到的參數(shù)對(duì)指標(biāo)影響規(guī)律及優(yōu)化結(jié)果見圖7和表5。

圖7 單個(gè)變量參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)范圍指標(biāo)的影響Fig.7 The effect of a single variable parameteron the range of motion indicators

Tab.5 Optimization result of movement range of driving branchmm

綜合考慮兩個(gè)指標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果，發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：設(shè)計(jì)變量h基于兩個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果一致，故取350 mm；設(shè)計(jì)變量r3對(duì)兩個(gè)目標(biāo)影響不顯著，故統(tǒng)一取540 mm；設(shè)計(jì)變量r4和H對(duì)兩個(gè)目標(biāo)的影響較為顯著，且影響趨勢(shì)相反，故采用統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法建立兩個(gè)指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)，確定其最優(yōu)解。

首先對(duì)設(shè)計(jì)變量H構(gòu)建統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)。采用理想點(diǎn)法構(gòu)造統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)，使得函數(shù)求得較好的非劣解，具體形式為

(10)

權(quán)因子ωi通過容限法確定，且滿足歸一性和非負(fù)性，可得ω1=0.508 5，ω2=0.491 5。對(duì)量綱一處理后的曲線fi(x)使用MATLAB中的擬合工具箱進(jìn)行擬合，可得

(11)

由此，可分別構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)、約束函數(shù)：

minf(x)=(ω1(y1+1.7484)2+ω2(y2+1.3866)2)

(12)

700 mm≤x≤800 mm

(13)

利用MATLAB可得繪制的圖像,如圖8a所示，并采用黃金分割法可求得最優(yōu)值點(diǎn)為(738.03，2.55)mm。設(shè)計(jì)變量H的取值完全確定，取740 mm。

對(duì)設(shè)計(jì)變量r4采用以上方法建立統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)，得到評(píng)價(jià)函數(shù)的圖像,如圖8b所示，最優(yōu)值點(diǎn)為(46.70,1.02)mm，設(shè)計(jì)變量r4完全確定，取40 mm。天線并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果見表6。

圖8 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的圖像及最小值點(diǎn)Fig.8 Unify the image of the objective function and the minimum point

Tab.6 The final values of four design variablesmm

優(yōu)化前后驅(qū)動(dòng)分支驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)分支運(yùn)動(dòng)范圍指標(biāo)對(duì)比如圖9所示，可以看出優(yōu)化后機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)分支驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)分支運(yùn)動(dòng)范圍指標(biāo)性能均有較大改善。

圖9 優(yōu)化前后對(duì)比Fig.9 Comparison before and after optimization

3 樣機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)

3.1 樣機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

機(jī)構(gòu)的3條直線驅(qū)動(dòng)支鏈中，2條RPU支鏈結(jié)構(gòu)相同且為對(duì)稱布置，與動(dòng)平臺(tái)相連的運(yùn)動(dòng)副為2個(gè)U副和1個(gè)R副，與定平臺(tái)相連的運(yùn)動(dòng)副為2個(gè)R副和1個(gè)U副。

定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)鉸鏈連接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)副為3個(gè)U副和3個(gè)R副，根據(jù)機(jī)構(gòu)R副轉(zhuǎn)動(dòng)范圍的要求，機(jī)構(gòu)的3個(gè)R副的設(shè)計(jì)如圖10所示。

虎克鉸在設(shè)計(jì)時(shí)，考慮到支撐機(jī)構(gòu)要求U副轉(zhuǎn)動(dòng)范圍較大，某些方向上要求能夠達(dá)到旋轉(zhuǎn)±90°，由此將U副的轉(zhuǎn)軸中心置于U副外部，最終虎克鉸結(jié)構(gòu)如圖11所示?？梢钥闯鲈撧D(zhuǎn)軸中心位于U副底座的外部，這種U副的設(shè)計(jì)大大增加了U副工作空間范圍，使得機(jī)構(gòu)在軸2的方向上能夠達(dá)到旋轉(zhuǎn)±90°以上的要求。

圖10 轉(zhuǎn)動(dòng)副結(jié)構(gòu)Fig.10 Structure of R pair

圖11 虎克鉸結(jié)構(gòu)Fig.11 Structure of U pair

兩條RPU支鏈和一個(gè)UPR支鏈均采用P副作為驅(qū)動(dòng)。由于主要是為了驗(yàn)證機(jī)構(gòu)能夠達(dá)到預(yù)期的工作空間要求，故從簡(jiǎn)便角度出發(fā)，直線驅(qū)動(dòng)單元采用手動(dòng)方式來進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)時(shí)可以通過直接擰滾花手輪來實(shí)現(xiàn)天線支撐機(jī)構(gòu)的直線驅(qū)動(dòng)，以此驗(yàn)證天線支撐機(jī)構(gòu)能夠滿足機(jī)構(gòu)橫搖±90°、縱搖±90°的要求。裝配完成的支撐機(jī)構(gòu)三維模型如圖12所示。

圖12 樣機(jī)三維模型Fig.12 Three dimensional model of prototype

3.2 實(shí)驗(yàn)

基于設(shè)計(jì)完成的樣機(jī)結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行天線支撐機(jī)構(gòu)零部件的加工，并對(duì)加工好的零部件進(jìn)行裝配，裝配后的樣機(jī)初始位形如圖13所示。

圖13 天線支撐機(jī)構(gòu)樣機(jī)Fig.13 The prototype of the antenna support mechanism

對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，以檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能，使機(jī)構(gòu)橫搖±90°、縱搖±90°，運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖14所示。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以判斷，該機(jī)構(gòu)能夠滿足橫搖±90°、縱搖±90°的需求。

圖14 天線支撐機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)Fig.14 Motion experiments of the antenna support mechanism

4 結(jié)論

優(yōu)化后機(jī)構(gòu)橫搖和縱搖均能達(dá)到±90°的需求。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該天線支撐機(jī)構(gòu)能夠滿足橫搖±90°、縱搖±90°的技術(shù)需求。