江西省贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院(341000)曾建國

對(duì)于調(diào)和點(diǎn)列(調(diào)和線束)在平面幾何問題中的應(yīng)用,讀者也許并不陌生,這方面的文章散見于初等數(shù)學(xué)類期刊,如[1-4].本文擬討論的線段中點(diǎn)問題就是調(diào)和點(diǎn)列(調(diào)和線束)如下性質(zhì)的應(yīng)用：

性質(zhì)1[3]如圖1,如果PA、PB、PC、PD 為調(diào)和線束,且PD平行于AB,則PC 必平分線段AB.

圖1

應(yīng)用此性質(zhì)解題的困難之處在于,圖形中的調(diào)和點(diǎn)列或者平行關(guān)系往往比較隱蔽、不易發(fā)現(xiàn).本文通過實(shí)例說明如何突破難點(diǎn)、發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的位置關(guān)系,應(yīng)用性質(zhì)1 解題,從而揭示問題的本質(zhì).

1.發(fā)現(xiàn)隱藏的調(diào)和點(diǎn)列

調(diào)和點(diǎn)列(調(diào)和線束)常見于下面兩種圖形中：①完全四邊形； ②二次曲線.

例1(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2066 號(hào)問題1[5])如圖2,點(diǎn)E,F 分別是△ABC 的邊AC,AB 上的點(diǎn),BE,CF 交于點(diǎn)D,AD,EF 交于點(diǎn)G,過點(diǎn)D 作BC 的平行線交AB,BG,CG,AG 于點(diǎn)H,K,N和M,試證：

圖2

分析與證明注意到圖2中有完全四邊形AEDF,延長(zhǎng)AD 交BC 于I,根據(jù)完全四邊形的調(diào)和性可知：A,D,G,I是調(diào)和點(diǎn)列,則BA,BD,BG,BI 是調(diào)和線束,又BC//HM,根據(jù)性質(zhì)1 可知,K 是HD 的中點(diǎn)；同理可證,N 是DM 的中點(diǎn).于是有證畢.

例2(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2450 號(hào)問題1[6])如圖3,AB,AC 分別切⊙O 于B,C,過A 作割線交⊙O 于D,E,過D 作AB 的平行線分別交BC,BE 于F,G,求證：F 是DG 的中點(diǎn).

圖3

分析與證明易知BC 是點(diǎn)A 關(guān)于⊙O 的極線,設(shè)AE 交BC 于H 點(diǎn),則A,H,D,E 是調(diào)和點(diǎn)列,由交比的性質(zhì)[9]知H,A,E,D也是調(diào)和點(diǎn)列.連EF 交AB 于點(diǎn)M,則FH,FA,FE,FD是調(diào)和線束,而FD//AB,根據(jù)性質(zhì)1 知,M 是AB 的中點(diǎn),又因?yàn)镈G//AB,所以F 是DG 的中點(diǎn).證畢.

在例1 及例2 中,如果問題同時(shí)出現(xiàn)平行關(guān)系及線段的中點(diǎn),就應(yīng)想到可能用得上性質(zhì)1.不過圖2和圖3中的調(diào)和點(diǎn)列分別隱藏在完全四邊形和二次曲線中,我們只需仔細(xì)觀察其實(shí)也不難發(fā)現(xiàn),而下面這個(gè)例題中的調(diào)和點(diǎn)列則更加隱蔽一些.

例3(第26 屆莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽[7])如圖4,從⊙O 直徑二端A,B 分別作切線l1,l2,過l1上點(diǎn)C 作二直線分別交⊙O 于M,M′及N,N′,過A及M,M′,N,N′分別作直線交l2于E,E′,D,D′,求證：DE =D′E′.

圖4

分析與證明過點(diǎn)C 作⊙O 的另一切線,切點(diǎn)為P,連AP 交CM 于F 交l2于Q,則AP 是點(diǎn)C 關(guān)于⊙O 的極線,因此C,F,M,M′是調(diào)和點(diǎn)列,AM′,AM,AF,AC 是調(diào)和線束,又l1//l2,根據(jù)性質(zhì)1 知,Q 是EE′的中點(diǎn).同理可證,Q 也是DD′的中點(diǎn).因此DE =D′E′.證畢.

上面應(yīng)用調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)的證法簡(jiǎn)潔明了,是其他解法(包括[7]中解析法)無法比擬的.

2.發(fā)現(xiàn)隱藏的平行關(guān)系

例4(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2098 號(hào)問題1[8])如圖5,⊙O 是△ABC 的內(nèi)切圓,D,E,M 是切點(diǎn),連MO 并延長(zhǎng)交DE 及⊙O 分別于點(diǎn)K,F,連AF,AK 并延長(zhǎng)交BC 于點(diǎn)N,L,求證：L 是MN 的中點(diǎn).

圖5

分析與證明此題中的調(diào)和點(diǎn)列及平行關(guān)系都不易發(fā)現(xiàn).圖5中,易知A 點(diǎn)關(guān)于⊙O 的極線是DE.另一方面,根據(jù)極線的作圖方法[9]可知,A 點(diǎn)的極線可以按如下方法作出：連結(jié)AM 交⊙O 于G,設(shè)GF,MH 交于點(diǎn)S,GH,MF 交于點(diǎn)K′,SK′就是A 點(diǎn)關(guān)于⊙O 的極線.表明SK′與DE 是同一直線,K′就是K.

事實(shí)上,圖5中的△ASK 稱為⊙O 的自極三角形[9]或自共軛三角形[10](三角形的每邊都是所對(duì)頂點(diǎn)的極線).至此,與本題相關(guān)的調(diào)和點(diǎn)列及調(diào)和線束找到了：因AK 是S點(diǎn)關(guān)于⊙O 的極線,設(shè)AK 交HM 于T,則S,T,H,M 是調(diào)和點(diǎn)列,即AS,AT,AH,AM 是調(diào)和線束.對(duì)照性質(zhì)1 發(fā)現(xiàn),欲證L 是MN 的中點(diǎn),只需證SA//BC.根據(jù)已知結(jié)論“圓的自共軛三角形的高過圓心”[10](事實(shí)上,易證AO⊥SK 及SO⊥AK,于是圓心O 是△ASK 的垂心)即知,FM⊥SA,表明SA//BC.證畢.

以上各例應(yīng)用調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)1 解題,一方面大大簡(jiǎn)化了解題過程,另一方面,有助于我們看清問題的本質(zhì),從而也可以進(jìn)行類比推廣.例如,例2-例4 關(guān)于圓的結(jié)論均可以推廣至其他有心二次曲線中,有興趣的讀者不妨作進(jìn)一步研究.