■王洪民
2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷第21題第(1)小題如下:
已知曲線C:y=,D為直線y=上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B。證明:直線AB過定點。
這道怪怪的試題的背景涉及圓錐曲線的極點極線問題,同學(xué)們只有了解命題背景,才能對試題的認識更加透徹,下面對極點極線作簡單介紹。
對于圓錐曲線C:Ax2+Bxy+Cy2+D x+Ey+F=0,已知點P(x0,y0)(非曲線C的中心)及直線l:,我們稱點P為直線l關(guān)于曲線C的極點,直線l為點P關(guān)于曲線C的極線。
由此定義可知,圓錐曲線的焦點和相應(yīng)的準線就是一對極點極線。如曲線C:y=,焦點和準線就是關(guān)于曲線C的一對極點極線。
設(shè)點P和直線l是圓錐曲線C的一對極點和極線:
(1)若極點P在曲線C上,則曲線C在點P處的切線就是極線l;
(2)若過極點P可作曲線C的兩條切線,A,B為切點,則直線AB就是極線l;
(3)若過極點P的任意直線交曲線C于A,B兩點,則曲線C在A,B兩點處的切線的交點Q一定在極線l上;
(4)若過極線l上任意一點Q可作曲線C的兩條切線,切點為A,B,則直線AB過極點P。
證明:設(shè)點P(x0,y0),直線l:Ax0x+F=0。
(1)因為P在C上,所以。對C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,利用隱函數(shù)求導(dǎo)得,故在點P處的切線方程為x0),整理得,所以曲線C在點P處的切線就是極線。
(2)設(shè)點A(x1,y1),由性質(zhì)(1)可知直線。因為直線P A過點P(x0,y0),所以。設(shè)點B(x2,y2),同理可得。故直線AB的方程為,這就是極線l。
(3)設(shè)點Q(m,n)。由性質(zhì)(2)可知直線AB的方程為。因為直線AB過點P(x0,y0),所以,可見點Q在極線l上。
(4)設(shè)點Q(m,n)。由性質(zhì)(2)知直線AB的方程為。因為Q是極線l上任一點,所以,可見直線AB過極點P(x0,y0)。
對于2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷第21題第(1)小題,因為焦點與準線y=是曲線C的一對極點極線,點D在準線上,由性質(zhì)(4)易知直線AB過定點。
極點極線的定義主要適用于圓錐曲線,但并不是只適用于圓錐曲線,對別的曲線(例如圓)也同樣適用。由極點極線的定義及幾何性質(zhì)易證點P(x0,y0)關(guān)于圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2的極線l方程是(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2。
例如,(2013年高考山東卷數(shù)學(xué)理第9題)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為( )。
A.2x+y-3=0
B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0
D.4x+y-3=0
顯然直線AB的方程就是點(3,1)關(guān)于圓的極線方程(3-1)(x-1)+y=1,即2x+y-3=0。故選A。
極點極線有著豐富的性質(zhì)和獨到的應(yīng)用,教材中直線與圓錐曲線的問題幾乎都可以用極點極線解決。極點極線在高考試題中也屢見不鮮,是高考解析幾何試題的題源之一。