毛 凱，孫校書(shū)，楊樹(shù)杰，劉 丹，宋瑋瑋

（1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái)264001；2.煙臺(tái)大學(xué)文經(jīng)學(xué)院，山東 煙臺(tái)264000）

由于在諸如圖像處理、模式識(shí)別、聯(lián)想記憶以及優(yōu)化問(wèn)題等方面的應(yīng)用和潛在應(yīng)用，近年來(lái)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)得到了廣泛的研究[1-2]。眾所周知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的應(yīng)用極大地依賴(lài)于其動(dòng)力學(xué)行為，尤其是其平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性。同時(shí)，由于放大器轉(zhuǎn)換速度的有限和信息處理速度的有限，時(shí)滯現(xiàn)象在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中往往是不可避免的，時(shí)滯也常使得系統(tǒng)不穩(wěn)定或產(chǎn)生振蕩。因此，時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究在理論和實(shí)踐中都具有重要意義，已有不少關(guān)于時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時(shí)滯相依或時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性研究結(jié)果[3-6]。一般說(shuō)來(lái)，時(shí)滯相依穩(wěn)定性結(jié)果中包含了時(shí)滯的信息，因而通常比時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性結(jié)果具有更低的保守性，尤其是對(duì)于小時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)這種現(xiàn)象更為明顯。也正因?yàn)槿绱?，使系統(tǒng)達(dá)到全局穩(wěn)定的時(shí)滯最大可能取值——時(shí)滯最大允許上界（MAUB）成為學(xué)者們極其關(guān)注的研究指標(biāo)，MAUB同時(shí)也是系統(tǒng)穩(wěn)定性條件具有更低保守性的標(biāo)志性指標(biāo)，這方面的研究成果也不斷被提出。然而，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，傳統(tǒng)的Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)造對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件保守性的降低作用甚小。因此，增廣Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)造就成為降低系統(tǒng)穩(wěn)定性條件保守性的必然選擇之一[7]。

近年來(lái)，時(shí)滯分割逐漸成為降低保守性的有效手段之一，例如，具有定常時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[8]，具有時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[9-13]，以及具有多時(shí)滯成分的連續(xù)系統(tǒng)[14]，離散系統(tǒng)[15]以和一類(lèi)中立型時(shí)滯系統(tǒng)[16]，都利用了時(shí)滯分割技術(shù)獲得系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[17]基于時(shí)滯分割技術(shù)研究了一類(lèi)具有分布時(shí)滯的線性分?jǐn)?shù)階不確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題，文獻(xiàn)[18]首次將這種方法擴(kuò)展至同時(shí)具有離散和分布時(shí)滯的中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究。盡管上述文獻(xiàn)的穩(wěn)定性結(jié)果已具有較低的保守性，但通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)脑鰪VLyapunov-Krasovskii泛函，并使用更好的定界技巧估計(jì)泛函導(dǎo)數(shù)的上界，可望獲得比上述文獻(xiàn)具有更低保守性的系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)果。

基于以上分析，本文首先構(gòu)造一個(gè)新的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函；再利用時(shí)滯分割技術(shù)對(duì)時(shí)變時(shí)滯函數(shù)的下界、定常分布時(shí)滯進(jìn)行不同分割，并借助自由權(quán)矩陣和Jensen積分不等式等手段對(duì)泛函導(dǎo)數(shù)的上界進(jìn)行更精細(xì)的估計(jì)、定界，獲得以LMIs形式描述的具有更低保守性的系統(tǒng)時(shí)滯相依全局漸近穩(wěn)定性判定條件；最后，以數(shù)值實(shí)例說(shuō)明了方法的有效性。本文中：?n×m表示n×m實(shí)矩陣空間；上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置；X≥Y（X＞Y）表示X-Y半正定（正定），其中X、Y均為對(duì)稱(chēng)陣；In×n、0n×n分別表示n×n單位陣和零矩陣；記號(hào)?表示對(duì)稱(chēng)矩陣中相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)塊；sym(A)=A+AT；r表示分布時(shí)滯長(zhǎng)。

1 問(wèn)題描述

考慮如下同時(shí)具有時(shí)變和分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

式（1）中：n為系統(tǒng)中神經(jīng)元數(shù)目，y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T為 神 經(jīng) 元 狀 態(tài) 向 量 ；g(y(t))=(g1(y1(t)),g2(y2(t)),…,gn(yn(t) ))T為神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)；C=diag(c1,c2,…,cn)為神經(jīng)元自反饋系數(shù)矩陣；A,B,D∈?n×n分別表示神經(jīng)元連接、時(shí)滯連接和分布連接矩陣；I=diag(I1,I2,…,In)為系統(tǒng)輸入常向量；y(t)=ψ(t),-τ≤t≤0為初始條件。

一般，對(duì)激勵(lì)函數(shù)和時(shí)變時(shí)滯函數(shù)作如下假設(shè)：

H2：時(shí)變時(shí)滯函數(shù)τ(t) 可微，且0＜τ1≤τ(t) ≤τ2，τ˙(t) ≤τ3＜1，其中τ1、τ2、τ3均為常數(shù)。

對(duì)于給定的初始條件，上面的假設(shè)H1保證了系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)y?=(y1?,y2?,…,yn?)的存在性，作平移變換xj(t)=yj(t)-yj?，則系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

引理1（Jensen積分不等式）[9]：對(duì)任意的對(duì)稱(chēng)正定陣M=MT＞0，標(biāo)量τ2＞τ1＞0及使得如下積分有定義的向量值函數(shù)ω:[0,γ]→?n，下面的積分不等式成立：

2 主要結(jié)果

本節(jié)將在一個(gè)新構(gòu)造的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函的基礎(chǔ)上，對(duì)時(shí)變時(shí)滯函數(shù)的下界和定常分布時(shí)滯同時(shí)進(jìn)行時(shí)滯分割，以推導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)滯相依全局穩(wěn)定性條件。首先引入如下的記號(hào)：

定理1：對(duì)給定的τ1、τ2、τ3，正整數(shù)m,l≥1 ，若存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣P∈?3n×3n，Q1∈?mn×mn，Q2∈?ln×ln，Q3∈ ?2n×2n，Z,Ri∈ ?n×n(i=1,2,3,4 )，Si∈ ?n×n(i=1,2)，非 負(fù) 對(duì) 角 陣W=diag(w1,w2,…,wn)，Δ=diag(δ1,δ2,…,δn)，Λi=diag(λi1,λi2,…,λin)，i=1,2 ，以及任意恰當(dāng)維數(shù)的矩陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3），使如下LMIs（3）成立，則系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，

式中，Ξ定義為：

式（4）中：

證明：由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，不難證明系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性，這里僅需證明平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。

為此，構(gòu)造如下形式的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)。

式中：

現(xiàn)計(jì)算V(t)沿系統(tǒng)（2）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯笳怼?/p>

對(duì)于V˙3(t) 、V˙4(t)中如下的3個(gè)積分項(xiàng)，由引理1，有：

根據(jù)Newton-Leibniz公式及系統(tǒng)（2），對(duì)于恰當(dāng)維數(shù)的矩陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3），總有如下的等式成立。

由關(guān)于激勵(lì)函數(shù)的假設(shè)H1，對(duì)任意非負(fù)標(biāo)量λij≥0,i=1,2;j=1,2,…,n，下面的不等式成立：

或由矩陣向量形式等價(jià)地描述為：

由式（5）～（20），經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)算、整理，不難得到：

由系統(tǒng)（3）以及引理2易知，存在恰當(dāng)?shù)男≌龜?shù)ε，使得Σ＜diag(-εI,0,0,…,0 )，其中：

于是，有V˙(t)≤ξT(t)Σξ(t)＜-ε‖x(t)‖2。

這意味著時(shí)滯系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，證畢。

注1：正如前文所說(shuō)，時(shí)滯分割技術(shù)被廣泛應(yīng)用于定?；驎r(shí)變的離散時(shí)滯系統(tǒng)，卻很少應(yīng)用于分布時(shí)滯系統(tǒng)。受文獻(xiàn)[18]的啟發(fā)，本文首次嘗試將時(shí)滯分割技術(shù)推廣應(yīng)用于同時(shí)具有時(shí)變時(shí)滯和分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

注2：定理1中，穩(wěn)定性條件保守性的降低得益于新構(gòu)造的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，其中不僅含有針對(duì)時(shí)變時(shí)滯和分布時(shí)滯的時(shí)滯分割積分項(xiàng)，也含有時(shí)滯分割的二重及三重積分項(xiàng)，如V2(t)中的前2個(gè)積分項(xiàng)，V3(t)中的前2個(gè)二重積分項(xiàng)和V4(t)中的三重積分項(xiàng)。

注3：在文獻(xiàn)[20]中，Chen等通過(guò)構(gòu)造含有一個(gè)Lyapunov-Krasovskii二重及三重積分項(xiàng)的增廣泛函，未使用時(shí)滯分割技術(shù)研究了一類(lèi)具有離散時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。而基于時(shí)滯分割技術(shù)的新的Lyapunov-Krasovskii泛函卻可以獲得比已有文獻(xiàn)結(jié)果具有更低保守性的系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。

注4：在文獻(xiàn)[13]中給出了具有離散區(qū)間時(shí)滯和分布時(shí)滯的隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性條件，值得注意的是文中的分布時(shí)滯是時(shí)變的。本文雖然考慮的是定常分布時(shí)滯，但本文的方法能夠推廣到時(shí)變分布時(shí)滯系統(tǒng)上去，這也是近期將開(kāi)展的工作。

下面將考慮系統(tǒng)（2）的2個(gè)特殊情形：

情形1：若τ(t)=τ，則經(jīng)過(guò)平衡點(diǎn)平移變換后，相應(yīng)的系統(tǒng)由下式給出

對(duì)上述系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函

式中：

通過(guò)類(lèi)似定理1的方法，容易得到如下推論。

推論1：對(duì)給定的τ、r，正整數(shù)m,l≥1，若存在對(duì)稱(chēng) 正定陣P∈?3n×3n，Q1∈?mn×mn，Q2∈?ln×ln，Q3∈ ?2n×2n，Ri∈ ?n×n(i=1,2,3,4 )，Si∈ ?n×n(i=1,2)，非負(fù) 對(duì) 角 陣W=diag(w1,w2,…,wn)，Δ=diag(δ1,δ2,…,δn)，Λi=diag(λi1,λi2,…,λin),i=1,2以 及 任 意 恰 當(dāng) 維 數(shù) 的 矩 陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3,4）使如下的LMI成立，則系統(tǒng)（22）的平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，

式中，Σ定義為：

式（23）中：

情形2：若在系統(tǒng)（2）中令D=0，則經(jīng)過(guò)平衡點(diǎn)平移變換后，相應(yīng)的系統(tǒng)即為在很多文獻(xiàn)中得到廣泛研究的時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

相應(yīng)地有關(guān)于系統(tǒng)（24）的如下推論。

推論2：對(duì)于給定的τ1、τ2、τ3，正整數(shù)m≥1，若存在對(duì)稱(chēng)正定陣P∈?2n×2n，Q1∈?mn×mn，Q3∈?2n×2n，Z,Ri∈ ?n×n(i=1,2,3) ，S1∈ ?n×n，非負(fù)對(duì)角陣W=diag(w1,w2,…,wn)，Δ=diag(δ1,δ2,…,δn)，Λi=diag(λi1,λi2,…,λin),i=1,2 ，以及任意恰當(dāng)維數(shù)的矩陣Mi、Ni、Fi、Gj（i=1,2;j=1,2,3,4），使如下的LMIs成立，則系統(tǒng)（24）的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，

式中，Π的定義為：

式（25）中：

3 數(shù)值實(shí)例

這里將給出2個(gè)數(shù)值實(shí)例，用本文方法計(jì)算結(jié)果，并與相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

例1：考慮文獻(xiàn)[18，20]給出的2階時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，相關(guān)參數(shù)如下：

根據(jù)由文獻(xiàn)[20]穩(wěn)定性判據(jù)得到的時(shí)滯最大允許上界為6.827 9；當(dāng)m、l分別都取相等的1、2、3、4時(shí)，文獻(xiàn)[18]給出的相應(yīng)結(jié)果分別為5.514 7、7.236 8、8.582 6和9.724 5。而用本文推論1的結(jié)論，當(dāng)m、l分別都取相等的1、2、3、4時(shí)，相應(yīng)的結(jié)果則為6.846 1、7.257 9、8.697 4和9.752 3。顯然，本文結(jié)果相較于文獻(xiàn)[18，20]的結(jié)果具有更低的保守性。

例2：考慮文獻(xiàn)[21-24]中給出的2階時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，相關(guān)參數(shù)如下：

為與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較，設(shè)τ1=0，τ3=0.6，則τ2的MAUB分別為2.921 9[24]、2.933 4[23]。而用本文推論2的結(jié)論，當(dāng)時(shí)滯分割數(shù)m分別取1、2、3、4時(shí)，τ2的MAUB分別為2.965 1、2.997 4、3.011 2和3.120 7。

盡管時(shí)滯分割能降低系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性，但必須指出的是，隨著時(shí)滯分割數(shù)m或r的增加，保守性的降低將越來(lái)越不明顯，而計(jì)算的復(fù)雜程度卻越來(lái)越高。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)當(dāng)兼顧保守性和計(jì)算復(fù)雜度，盡量選取適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯分割數(shù)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于時(shí)滯分割技術(shù)研究了一類(lèi)同時(shí)具有時(shí)變時(shí)滯和分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，通過(guò)對(duì)時(shí)變時(shí)滯函數(shù)的下界和定常分布時(shí)滯進(jìn)行時(shí)滯分割并構(gòu)造一個(gè)新的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，獲得系統(tǒng)一個(gè)改進(jìn)的時(shí)滯相依全局漸近穩(wěn)定性充分條件，時(shí)滯分割是降低穩(wěn)定性條件保守性的關(guān)鍵因素。保守性隨著時(shí)滯分割數(shù)目的增加而降低，但降低幅度越來(lái)越小。穩(wěn)定性條件是以LMIs給出的，便于使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字軟件包加以檢驗(yàn)，數(shù)值實(shí)例清晰表明時(shí)滯分割技術(shù)可以有效地降低穩(wěn)定性條件的保守性。