巧用換元法 提升解題力

黃慧群 張祖蘭

【摘 要】本文以例講解換元法的基本思想與具體用法，引導(dǎo)學(xué)生深入理解換元法，培養(yǎng)學(xué)生換元求解的數(shù)學(xué)思想方法，掌握化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和學(xué)科素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)值域 換元法 化歸與轉(zhuǎn)化

【中圖分類號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）03B-0155-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》中指出，函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變化關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與有效的數(shù)學(xué)工具。同時(shí)，函數(shù)內(nèi)容是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分主要研究基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖象，并且進(jìn)行基本的復(fù)合學(xué)習(xí)。學(xué)生在初中與高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)完六大初等函數(shù)。而高考中所考查的函數(shù)都是由以上函數(shù)經(jīng)過(guò)混合運(yùn)算或者復(fù)合關(guān)系而得到的。因此學(xué)生接觸的函數(shù)解析式復(fù)雜、綜合性強(qiáng)，學(xué)生面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)大多會(huì)感到無(wú)從下手。在函數(shù)的考查中，函數(shù)的三要素一直占據(jù)著重要地位。特別的是，復(fù)合函數(shù)的值域更是一個(gè)熱門的考點(diǎn)，但是學(xué)生卻不易找到解法。為了有效地突出重點(diǎn)—— 基本初等函數(shù)的性質(zhì)，突破難點(diǎn)—— 如何利用學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)解決新的難題，就很有必要帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)換元法。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家 G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力”“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”，而“數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換”。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，換元法是一種常見(jiàn)并且十分重要的數(shù)學(xué)思想方法、解題方法。換元法，亦稱輔助未知數(shù)法，又稱變?cè)鷵Q法。它是普遍應(yīng)用的一種方法，其一般意義是將由一個(gè)或幾個(gè)變?cè)獦?gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的一部分用新的變?cè)硎?，以利于?wèn)題的解決。

換元轉(zhuǎn)化就是通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的觀察抽象出模塊，并轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)知識(shí)的過(guò)程。當(dāng)研究結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)值域問(wèn)題，如果能夠觀察出該函數(shù)解析式的特點(diǎn)，將其他的部分當(dāng)成一個(gè)整體，并引入新的變量，那么就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，結(jié)構(gòu)清晰化，從而可以運(yùn)用初等函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。這種方法能比較好地啟發(fā)學(xué)生解題的思路，使學(xué)生找出解題的捷徑，強(qiáng)化學(xué)生求解值域問(wèn)題的能力。賀雙桂等（2006）指出，在高中階段，學(xué)生接觸到的換元法主要有：（1）整體代換。它是指在一個(gè)代數(shù)式結(jié)構(gòu)中，有某個(gè)代數(shù)式作為一個(gè)單元重復(fù)多次出現(xiàn)時(shí)，可以選擇用一個(gè)字母即元來(lái)代替此單元，進(jìn)而簡(jiǎn)化代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，觀察出代數(shù)式的規(guī)律特點(diǎn)，從而解決問(wèn)題。（2）三角換元。此類代數(shù)式中常常含有根號(hào)，借助三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行與根號(hào)的轉(zhuǎn)化。此外，還有萬(wàn)能換元法等，高中階段并不常見(jiàn)，在此不贅述。

本節(jié)課主要研究的是整體代換法，其方法和步驟如下：（1）分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。（2）設(shè)立新的變量，并且換元，建立以新元為變量的新函數(shù)。（3）求出新元的取值范圍。（4）根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)，求出值域，回答問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程如下：

一、熱身訓(xùn)練

1.函數(shù) y=x2+5x+4 的值域?yàn)?/p>

2.函數(shù) y=x2+5x+4，x∈[2，5）的值域?yàn)?/p>

3.函數(shù) ?在區(qū)間[2，5）上值域?yàn)?/p>

4.函數(shù) ?，（x>0）的值域?yàn)?/p>

【設(shè)計(jì)意圖】回顧二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及對(duì)構(gòu)型函數(shù)的值域求解知識(shí)，這是本節(jié)課的知識(shí)基礎(chǔ)，為求解復(fù)合型函數(shù)的值域問(wèn)題做鋪墊。

二、問(wèn)題探究

（一）二次型值域問(wèn)題

（1）函數(shù) ?的值域是

〖解析〗（1）中的難點(diǎn)在于含有 ，故想到令 ，則把原函數(shù)代換成學(xué)生所熟悉的二次函數(shù)，把復(fù)雜的問(wèn)題化歸成熟悉的二次函數(shù)在某一區(qū)間的最值問(wèn)題。

令 ，則 x=1-t2，

y=1-t2+t

，

∴函數(shù) ?的值域?yàn)?/p>

（2）函數(shù) ? y=4x-3×2x+1+5 ?的值域是

〖解析〗經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形 4x=（2x）2 后，容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式中重復(fù)出現(xiàn)了 2x 這個(gè)單元，因此可以進(jìn)行換元。

令 t=2x ∈（0，+∞），則

y=（2x）2-3×2×2x+5

=t2-6t+5

=（t-3）2-4，t∈（0，+∞）

∴函數(shù) ?y=4x-3×2x+1+5 的值域?yàn)閇4，+∞）

（3）函數(shù) ?的值域是

〖解析〗此道題有一定的難度。學(xué)生很容易觀察到 x2 是重復(fù)出現(xiàn)的，但若此時(shí)將 x2 進(jìn)行換元，則新的函數(shù)解析式會(huì)出現(xiàn)根號(hào)，不利于我們解決問(wèn)題。因此我們可以利用分式的性質(zhì)先將原函數(shù)進(jìn)行恒等變形得到 。

令 ，可得到

∴函數(shù) ?的值域?yàn)?/p>

（4）函數(shù) y=cos2x+4sinx 的值域是

〖解析〗原函數(shù)是由兩個(gè)三角函數(shù)相加而成，其中，cos2x 含有二倍角，因此可以先運(yùn)用二倍角公式 cos2x=1-2sin2x 進(jìn)行函數(shù)變形 y=1-2sin2x+4sinx，從而得到一個(gè)以 sinx 為基礎(chǔ)單元的二次函數(shù)。

令 t=sinx，則 t∈[-1，1]

y=1-2t2+4t=-2（t-1）2+3

∵ t∈[-1，1]

∴ y∈[-5，3]

函數(shù) y=cos2x+4sinx 的值域的[-5，3]。

（5）定義在 R 上的函數(shù) f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4） 的值域是

〖解析〗注意到函數(shù)式中各因式的常數(shù)部分的等差規(guī)律，通過(guò)因式重組相乘產(chǎn)生相同項(xiàng)，進(jìn)而找到換元的切入點(diǎn)。

因?yàn)?f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）

=（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）

=（x2+5x+4）[（x2+5x+4）+2]

令 t=x2+5x+4，則 。

所以 f（x）=t（t+2）=t2+2t，值域?yàn)閇-1，+∞）。

即函數(shù) f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值域是[-1，+∞）

【設(shè)計(jì)意圖】初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)的基本性質(zhì)，也在實(shí)際應(yīng)用中接觸過(guò)二次函數(shù)的最大最小值問(wèn)題，但是都是比較簡(jiǎn)單與基礎(chǔ)的題?，F(xiàn)在高中階段再次學(xué)習(xí)二次函數(shù)，學(xué)習(xí)的廣度與深度都進(jìn)一步加大，此時(shí)不再需要直接求解二次函數(shù)的值域問(wèn)題，而是需要學(xué)生有一種模型的思想，觀察函數(shù)解析式的特點(diǎn)，以二次函數(shù)為解決問(wèn)題的橋梁從而求值域。

一般來(lái)說(shuō)，能夠轉(zhuǎn)化成二次型函數(shù)問(wèn)題有幾類：（1）含有二次根式的二次型，利用平方根與平方的互逆關(guān)系進(jìn)行換元，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)。（2）含有指數(shù)的二次型，根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃沃螅梢赃x擇合適的新元，把原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)。（3）含有對(duì)數(shù)的二次型，根據(jù)運(yùn)算法則也可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)。（4）含有三角函數(shù)的二次型，根據(jù)三角函數(shù)的公式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問(wèn)題。

當(dāng)然，在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)該注意強(qiáng)調(diào)，無(wú)論何種情況都要保證換元得到的新函數(shù)的自變量的取值范圍是正確的，以免出錯(cuò)。

（二）對(duì)勾型值域問(wèn)題

【例題】函數(shù) ，x∈（-1，+∞）的值域?yàn)?/p>

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1，

∵ x∈（-1，+∞），則 t∈（0，+∞）

∴

∴，即 y∈（1，+∞）

【變式】函數(shù) ，x∈（-1，+∞）的值域?yàn)?/p>

〖解析〗我們可以觀察到變式中的函數(shù)是原題中函數(shù)的倒數(shù)，在解題的過(guò)程中要善于借助已有的知識(shí)與結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題，從而使得問(wèn)題的解決簡(jiǎn)單化、邏輯化、系統(tǒng)化。

令 t=x+1，，則

由例題可知，u∈[1，+∞），∴ ∈（0，1]

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)勾函數(shù)是形如 ?的函數(shù)，是由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)復(fù)合而得到的函數(shù)。因其圖象的特點(diǎn)，也被稱作“耐克函數(shù)”或者“耐克曲線”。高中數(shù)學(xué)人教版教材必修 5 中均值不等式部分引用了對(duì)勾函數(shù)作為例題，但是教材中沒(méi)有對(duì)對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行介紹。但是這類函數(shù)在求取函數(shù)的單調(diào)性與值域問(wèn)題、不等式的證明問(wèn)題，以及解方程上起著重要的作用。對(duì)勾函數(shù)在高中考查中難度大，需要一定的邏輯推理能力以及較好的運(yùn)算水平，應(yīng)當(dāng)引起學(xué)生足夠的重視。在掌握對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)之后，學(xué)生還要學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用它，將問(wèn)題變形成對(duì)勾函數(shù)。比如，函數(shù) ?可以通過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化成 ;函數(shù) ?可以通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為 ;函數(shù) ?可以通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為 。通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃魏螅\(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解這類函數(shù)的值域問(wèn)題。

（三）反比例型值域問(wèn)題

【例題 1】函數(shù) ?的值域?yàn)?/p>

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1

【例題 2】函數(shù) ?的值域?yàn)?/p>

〖解析〗令 t=x2+1，則 x2=t-1

函數(shù)

又

∴ 函數(shù) 。

【變式】函數(shù) ?的值域?yàn)?/p>

〖解析〗分式函數(shù) ?的值域問(wèn)題的解法很多，本節(jié)課主要介紹了換元法，但也可以運(yùn)用分離參數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后運(yùn)用判別式法來(lái)解決問(wèn)題。在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生集思廣益，拓展思路，運(yùn)用不同的方法解決問(wèn)題，使學(xué)生在思考與計(jì)算的過(guò)程中，深刻體會(huì)換元法在解決這類問(wèn)題時(shí)的簡(jiǎn)潔性、有效性。

令 t=x2+x+1，則

。

【設(shè)計(jì)意圖】反比例型函數(shù)是形如 ?的函數(shù)，是由反比例函數(shù)平移變換而得到的一類函數(shù)。形如 ?的函數(shù)可以通過(guò)分離常數(shù)的變形變?yōu)?。一般來(lái)說(shuō)，形如 （f（x）≠0，且 f（x），g（x）都是次數(shù)相同的整式代數(shù)式的函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為反比例型函數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該注意歸納，總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)。

三、自我檢測(cè)

1.達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

（1）定義在 R 上的函數(shù) ?的值域?yàn)?;

（2）函數(shù)，x∈（2，∞）的值域?yàn)?

（3）函數(shù) ?的值域?yàn)?;

（4）函數(shù) ?的值域?yàn)?;

（5）函數(shù) ?的值域?yàn)?。

【設(shè)計(jì)意圖】這五道題目分別考查了用換元法求解函數(shù)值域問(wèn)題中的二次型值域問(wèn)題、對(duì)構(gòu)型問(wèn)題以及反比例型問(wèn)題。難度中等，題型常規(guī)，主要是檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。目的是使學(xué)生掌握運(yùn)用換元法求解函數(shù)值域的基本方法，及時(shí)鞏固所學(xué)的內(nèi)容;在練習(xí)中進(jìn)一步感悟轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想，積極主動(dòng)地理解換元法的本質(zhì);有意識(shí)地去總結(jié)題型，注意這三類問(wèn)題的解決方法，慢慢地培養(yǎng)適合自己的分析習(xí)慣，從而突破函數(shù)值域的求解問(wèn)題。

2.能力提高題

（1）函數(shù) ?的值域?yàn)?;

（2）已知 ，則函數(shù) ?的值域是 ;

（3）定義在 R 上的函數(shù) f（x）=（sinx-2）（sinx-3）（sinx-4）（sinx-5）的值域是 。

【設(shè)計(jì)意圖】這三個(gè)題目屬于能力提高題，需要學(xué)生認(rèn)真觀察，充分分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)摹霸边M(jìn)行變形。變形的步驟比較繁瑣，難度較大，對(duì)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都提出了更高的要求。這三道題目要求學(xué)生在掌握解決這三類函數(shù)的值域問(wèn)題的基本方法與基本技能后，深刻理解其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。雖然所考查的函數(shù)千變?nèi)f化，但是核心的考點(diǎn)還是對(duì)函數(shù)代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸成學(xué)生熟悉的問(wèn)題進(jìn)行求解。在積極思考，合作交流解決問(wèn)題的過(guò)程中，使學(xué)生更加深刻感悟此類問(wèn)題的內(nèi)核與本質(zhì)，體會(huì)不同題目之間的聯(lián)系與區(qū)別;領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的思想，懂得解法萬(wàn)變不離其宗，（下轉(zhuǎn)第166頁(yè)）（上接第157頁(yè)）從而概括抽象出數(shù)學(xué)思想方法，形成自己的思考。這樣才是真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，在課堂中落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

四、歸納總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，換元法是一種常見(jiàn)并且十分重要的數(shù)學(xué)思想、解題方法。換元轉(zhuǎn)化是通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的觀察抽象出模塊，并轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)的過(guò)程。換元法是將未知轉(zhuǎn)化成已知，將局部聯(lián)系整體，運(yùn)用特殊到一般的轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了化歸這一重要的數(shù)學(xué)思想。教師在教學(xué)中要時(shí)刻引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，既要幫助學(xué)生更快地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，又要加深學(xué)生對(duì)化歸理想的理解。因此，筆者希望通過(guò)針對(duì)性的例題學(xué)習(xí)，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)換元的規(guī)律與題型，學(xué)會(huì)用換元法求函數(shù)的值域，具備化歸的思想。同時(shí)，在這一過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式整體與局部特點(diǎn)的分析，逐步建立解題大局觀，培養(yǎng)迎難而上，勇于鉆研的精神，從而落實(shí)學(xué)生的素養(yǎng)教育措施，讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)辯證唯物主義—— 萬(wàn)事萬(wàn)物在一定條件下是互相轉(zhuǎn)化的的思想。

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（責(zé)編 盧建龍）