王 福 謙

(西南交通大學(xué) 希望學(xué)院 基礎(chǔ)部，成都610400)

0 引 言

由復(fù)變函數(shù)理論可知，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部分別滿足拉普拉斯方程，且其實(shí)部為常數(shù)和虛部為常數(shù)的兩族曲線互相正交。在靜電場(chǎng)中，解析函數(shù)的這一特性使其代表一定的平行平面場(chǎng)，其實(shí)部和虛部分別代表勢(shì)函數(shù)(或通量函數(shù))和通量函數(shù)(或勢(shì)函數(shù))。不同的解析函數(shù)的實(shí)部和虛部可描繪出不同的幾何圖形，如果某一解析函數(shù)所給出的幾何圖形與所討論問(wèn)題的邊界的等勢(shì)線或等通量函數(shù)線相吻合，則此解析函數(shù)的實(shí)部或虛部可作為待求勢(shì)函數(shù)(或通量函數(shù))和通量函數(shù)(或勢(shì)函數(shù))的解，即用此解析函數(shù)作為所求靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)來(lái)求解電場(chǎng)分布。

復(fù)勢(shì)函數(shù)法為求解復(fù)雜二維邊值問(wèn)題的一種有效方法[1-2]。文獻(xiàn)[3-10]中利用復(fù)勢(shì)函數(shù)法討論了非平行板電容器電場(chǎng)、扇形導(dǎo)體中的電場(chǎng)、線電荷與無(wú)限大接地導(dǎo)體板間的電場(chǎng)及共焦橢圓柱電纜的磁場(chǎng)等復(fù)雜形狀邊界的靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)的邊值問(wèn)題，但用該方法對(duì)復(fù)雜形狀電極的電場(chǎng)分布的研究，相關(guān)文獻(xiàn)還未見(jiàn)報(bào)道。本文利用復(fù)勢(shì)函數(shù)法研究雙曲柱面電極的電場(chǎng)，給出其電勢(shì)分布、場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)及電極頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)，討論電極形狀蛻變的幾種特殊情形，并通過(guò)Matlab數(shù)據(jù)處理軟件的數(shù)值計(jì)算功能進(jìn)行數(shù)值模擬，繪制出其電場(chǎng)線和等勢(shì)線圖。

1 電勢(shì)函數(shù)與通量函數(shù)

有一對(duì)共焦雙曲柱面的電極，其實(shí)半軸和虛半軸分別為a1、a2和b1、b2，左側(cè)電極接地，右側(cè)電極的電勢(shì)為U，其橫截面如圖1所示。因在垂直于雙曲柱面母線的所有截面上的電場(chǎng)分布均相同，故本文所研究的電場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。由于本文所討論的二維邊值問(wèn)題的電勢(shì)函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程，且其邊界與反余弦函數(shù)實(shí)部所表示的曲線族中的曲線重合，故可選用反余弦函數(shù)作為所求靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)[11]，即

W=Aarccos(z/k)+B

(1)

可進(jìn)一步表述為

W=Aw+B=A(u+iv)+B1+B2

圖1 共焦雙曲柱面電極的橫截面

令式(1)中的電勢(shì)函數(shù)和通量函數(shù)分別為φ和Ψ，則

φ=Au+B1

(2)

Ψ=Av+B2

(3)

對(duì)圖1右側(cè)的雙曲線頂點(diǎn)處(a1,0)，式(1)有：

U=Aarccos(a1/k)+B1

(4)

對(duì)圖1左側(cè)的雙曲線頂點(diǎn)處(-a2,0)，式(1)有：

0=Aarccos(-a2/k)+B1

(5)

再者，由于式(3)中的附加常數(shù)可取任意值，故令

B2=0

(6)

由式(4)～(6)，可得：

故共焦雙曲柱面電極電場(chǎng)的復(fù)電勢(shì)為

(9)

共焦雙曲柱面電極電場(chǎng)的電勢(shì)函數(shù)和通量函數(shù)可分別表示為:

(10)

(11)

式(1)中的反余弦函數(shù)亦可表述為[12]:

iln{x+F1cosα+i[y+F1sinα]}-ilnk=

(12)

式中:

由式(12)得:

(13)

2F1(xcosα+ysinα)]-lnk

(14)

將式(13)、(14)分別代入 式(10)、(11)，可得共焦雙曲柱面電極電場(chǎng)的電勢(shì)函數(shù)和通量函數(shù)分別為:

(15)

2F1(xcosα+ysinα)]-lnk

(16)

2 場(chǎng)分布數(shù)值模擬及電極形狀蛻變特殊情形

2.1 場(chǎng)分布的數(shù)值模擬

為了給出共焦雙曲柱面電極電場(chǎng)分布圖的直觀圖像，以驗(yàn)證本文所得結(jié)論的正確性,下面用Matlab對(duì)該電場(chǎng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬[13-15]，其電場(chǎng)線和等勢(shì)線的分布見(jiàn)圖2(取U=150 V)。由圖2可見(jiàn),圖中的電場(chǎng)線與等勢(shì)線及導(dǎo)體邊界均垂直，場(chǎng)線分布正確，為預(yù)期結(jié)果。

2.2 電極形狀蛻變的特殊情形

當(dāng)共焦雙曲柱面電極的實(shí)半軸和虛半軸取一些特殊值時(shí)，可得到幾種特殊情形下的電場(chǎng)分布:

(1)雙曲柱面電極的實(shí)、虛半軸的長(zhǎng)度分別為5、0和4、3時(shí)，右雙曲柱面電極蛻變?yōu)閹щ姲?，此情形的電?chǎng)為水平帶電平板與雙曲柱面電極所形成(見(jiàn)圖3)。

(3)左雙曲柱面電極的實(shí)半軸和虛半軸的長(zhǎng)度分別為0.01、5和5、0.01時(shí)，兩雙曲柱面電極蛻變?yōu)橄嗷ゴ怪钡膸щ姲?，此情形的電?chǎng)為雙相互垂直的帶電板所形成(見(jiàn)圖5)。

(4)左、右雙曲柱面電極的實(shí)半軸和虛半軸的長(zhǎng)度均為5和0.01時(shí)，左、右兩雙曲柱面蛻變?yōu)楣裁嫫桨澹饲樾蔚碾妶?chǎng)為共面帶電平板為所形成(見(jiàn)圖6)。

(5)左、右雙曲柱面電極的實(shí)半軸和虛半軸的長(zhǎng)度均為6和無(wú)限大時(shí)，左、右兩雙曲柱面蛻變?yōu)槠叫邪?，此情形的電?chǎng)為大平行帶電板所形成(見(jiàn)圖7)。

圖3 帶電板與雙曲柱面的電極的電場(chǎng)

圖4 雙曲柱面的電極與帶電板的電場(chǎng)

圖5 兩垂直不相連的帶電板間的電場(chǎng)

圖6 兩共面不相連的帶電板間的電場(chǎng)

圖7 平行帶電板間的電場(chǎng)

所以，雙曲柱面電極和帶電平板所形成的電場(chǎng)、兩相互垂直不相連的帶電板所形成的電場(chǎng)、共面帶電平板所形成的電場(chǎng)及平行帶電板所形成的電場(chǎng)，均為本文所討論問(wèn)題的特例,本文的研究結(jié)論具有一定的普遍性。

3 電極場(chǎng)強(qiáng)分布及電極頂點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)

由式(9)，根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與復(fù)勢(shì)函數(shù)關(guān)系E=-[dW/dz]*，可得共焦雙曲柱面電極電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)形式為

(17)

對(duì)于雙曲柱面電極的兩頂點(diǎn)處，其坐標(biāo)分別為(a1,0)和(-a2,0)，將此兩坐標(biāo)值分別代入上式，則得雙曲柱面電極的頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為:

(18)

(19)

由表1可以看出：當(dāng)雙曲柱面電極頂點(diǎn)處曲率變大時(shí)，其附近的場(chǎng)強(qiáng)增大，而當(dāng)雙曲柱面電極的形狀蛻變?yōu)閮晒裁鎺щ姲鍟r(shí)，其端頭間的場(chǎng)強(qiáng)最強(qiáng)；當(dāng)雙曲柱面電極頂點(diǎn)處曲率變小時(shí)，其附近的場(chǎng)強(qiáng)減小，而雙曲柱面電極的形狀蛻變?yōu)閮善叫袔щ姲鍟r(shí)，其間的場(chǎng)強(qiáng)最小，且為勻強(qiáng)電場(chǎng)。

表1 雙曲柱面電極頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將理論計(jì)算與數(shù)值模擬相結(jié)合，利用復(fù)勢(shì)函數(shù)法研究研究雙曲柱面電極的電場(chǎng)，得到了其電勢(shì)分布和場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)，并利用Matlab軟件對(duì)場(chǎng)分布進(jìn)行了數(shù)值模擬，給出了場(chǎng)分布的直觀圖像，為邊界形狀復(fù)雜的電極的電場(chǎng)分布問(wèn)題的求解提供了一種新的方法，在科研上具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值。