(魯迅中學(xué),浙江 紹興 312030)

章建躍教授提出：讓高考復(fù)習(xí)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)，好數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人，即能夠影響學(xué)生的思維情懷，能觸動(dòng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)有意義的發(fā)展，這也是筆者在教學(xué)中一直思考的問(wèn)題.2018年12月浙江省紹興市舉行了高三復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)課比賽，筆者有幸參加了此次活動(dòng)，現(xiàn)把教學(xué)過(guò)程以及教學(xué)的反思感悟記錄成文,希望和同行們共勉.

1 課例簡(jiǎn)錄

1.1 回歸課本，提出V型

師：絕對(duì)值函數(shù)是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中需引起足夠的重視.但高考試題往往源于課本，又高于課本，許多考題的“根”常源于課本.今天我們以課本中的函數(shù)“y=|x|”(俗稱V形函數(shù))為母函數(shù)，通過(guò)改變其形式，與大家一起探討這類函數(shù)在解題中的妙用.首先我們來(lái)看看V型函數(shù)的不同變形.

思考1y=2|x|的圖像，可以怎么畫？

生1：函數(shù)的圖像是更陡的一個(gè)V型函數(shù)，還發(fā)現(xiàn)有一個(gè)尖尖角過(guò)原點(diǎn).

師：回答得太棒了！大家注意到這位同學(xué)提到了兩個(gè)關(guān)鍵的地方：提到了V型函數(shù)的斜率，和我們的母函數(shù)相比，斜率發(fā)生了變化；還有一個(gè)尖尖角，這個(gè)尖尖角我們可以稱它為頂點(diǎn).

換句話，可以這樣敘述：y=2|x|的圖像是正斜率為2、頂點(diǎn)為(0,0)、對(duì)稱軸為x=0的V型函數(shù).請(qǐng)大家繼續(xù)完成下面圖像的敘述.

思考2y=|x-1|的圖像呢？

生2：頂點(diǎn)為(0,0)、正斜率為1的V型函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=1.

思考3y=|x-a|的圖像呢？

生3：如圖1，頂點(diǎn)為(a,0)、正斜率為1的V型函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=a.

圖1 圖2

思考4y=|x-a|+2a的圖像呢？

生4：如圖2，頂點(diǎn)為(a,2a)、正斜率為1的V型函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=a.

師：大家試著對(duì)頂點(diǎn)取幾個(gè)特殊值，你還發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有什么規(guī)律嗎？

生5：該V型函數(shù)的頂點(diǎn)在y=2x這條直線上運(yùn)動(dòng).

師：這位同學(xué)回答得非常準(zhǔn)確！在上面的探究過(guò)程中，我們把靜態(tài)的V型函數(shù)變成了好玩的動(dòng)態(tài)的V型圖.大家是不是要想，這樣的動(dòng)態(tài)圖應(yīng)用起來(lái)如何呢？請(qǐng)看下面的例1.

設(shè)計(jì)意圖讓高三復(fù)習(xí)課回歸教材，通過(guò)教材尋找對(duì)母函數(shù)y=|x|的回憶，明晰y=|x-a|+2a的由來(lái)，指出V型函數(shù)的特征，提出V型函數(shù)模型.

1.2 初試V型，嘗試運(yùn)用

例1已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x-t|在區(qū)間[0,2]上的最大值為5，求t的值______.

變式1已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x-t|+t在區(qū)間[4,5]上的最大值為5，則t的范圍為_(kāi)_____.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

師：若把y=|x-t|+t中的x的換成g(x)，g(x)可以是二次函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)等形式，通過(guò)換元降維轉(zhuǎn)化成V型模型.

設(shè)計(jì)意圖此題組是本節(jié)課的核心，也是學(xué)生參與認(rèn)知構(gòu)建V型的課堂活動(dòng)展示區(qū)，例1的設(shè)計(jì)意在讓學(xué)生初步形成V型模型的基本特征.f(x)=|x-a|的圖像是頂點(diǎn)(a,0)在x軸上動(dòng)的折線.變式2升華到高考真題，并且指出V型函數(shù)的構(gòu)造需要換元降維意識(shí).

1.3 巧構(gòu)V型，變形使用

師：其實(shí)大部分考題中的V型函數(shù)，常常隱藏在復(fù)雜的代數(shù)式中，需要去尋找，需要變形的技巧，請(qǐng)大家看例2.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+x2+2a+1有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的范圍為_(kāi)_____．

圖3

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)函數(shù)式分離、變形轉(zhuǎn)化，重構(gòu)V型函數(shù)，加強(qiáng)模式的識(shí)別與轉(zhuǎn)化.

1.4 再構(gòu)V型，拓展妙用

師：這位同學(xué)反應(yīng)真快！大家再想想，既然能在反比例曲線上運(yùn)動(dòng)，還可以是其他曲線嗎?

生7(破口而出)：二次函數(shù)上.

生8：三次函數(shù)上.

(課堂氛圍很活躍.)

師：大家思維真開(kāi)闊！老師把大家的思路整理后可以統(tǒng)一寫成形如f(x)=|x+a|+g(a)的V型函數(shù)，頂點(diǎn)在(a,g(a))上運(yùn)動(dòng).最后再考考大家：f(x)=|x+a|+b的圖像，其頂點(diǎn)軌跡是什么？

(學(xué)生紛紛議論，得到頂點(diǎn)可以隨意運(yùn)動(dòng).)

例3已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|，若[f(x)+b]2≤4對(duì)任意的x∈[-1,1]恒成立，則3a+b的值為_(kāi)_____.

師：這里的V型函數(shù)，我們?cè)撊绾螛?gòu)造呢？

生9：去平方，得|f(x)+b|≤2，即-x2-2≤3|x-a|+b≤-x2+2.如圖4，當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，y=3|x-a|+b的圖像夾在y=-x2-2與y=-x2+2的圖像之間，發(fā)現(xiàn)折線頂點(diǎn)(a,b)只能處于(0,-2)，即a=0,b=-2,故3a+b=-2.

圖4

設(shè)計(jì)意圖提出V型模型特征的豐富性，加入曲線軌跡或者平面上任意運(yùn)動(dòng).條件給出的形態(tài)更豐富，指出學(xué)生識(shí)別題目模型特征的重要性，以及變形能力的重要性.

1.5 課堂小結(jié)

師：下面我們來(lái)總結(jié)今天這節(jié)課的重要探究，V型函數(shù)和我們之前學(xué)過(guò)的什么函數(shù)類似？

(提示：哪個(gè)函數(shù)也有開(kāi)口、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)？)

生(眾)：二次函數(shù).

兩者對(duì)比后可以發(fā)現(xiàn)有如下的聯(lián)系(黑板板書)：

結(jié)束語(yǔ)當(dāng)V型函數(shù)的折線斜率發(fā)生變化，意味著V型的翅膀舞動(dòng)起來(lái)，祝大家插上V型的翅膀飛向成功的彼岸！

1.6 課后延展，感悟真題

羅增儒教授曾說(shuō)：通過(guò)有限的典型問(wèn)題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.正是基于這個(gè)視角來(lái)審視高考真題，會(huì)發(fā)現(xiàn)高考試題正是借助本源性問(wèn)題，進(jìn)行科學(xué)合理地重組、包裝，建構(gòu)出一道簡(jiǎn)約又不失內(nèi)涵的考題.而我們的解題教學(xué)，就是對(duì)考題進(jìn)行解構(gòu)、退化，還其“廬山真面目”，識(shí)其“真顏”，讓學(xué)生真切感受解題方法的呈現(xiàn)是自然、和諧的.

例4[1]已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R).

1)略；

2)設(shè)b∈R,若[f(x)+b]2≤4對(duì)x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

提示[f(x)+b]2≤4?|f(x)+b|≤2?-x3-2≤3|x-a|+b≤-x3+2.

例5已知函數(shù)f(x)=(x-a)2lnx,其中a∈R.

1)略；

2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，對(duì)任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

烏申斯基說(shuō)得好：智慧不是別的，只是組織得很好的知識(shí)體系，當(dāng)學(xué)生的頭腦強(qiáng)大了，在問(wèn)題面前運(yùn)籌帷幄、縱橫捭闔，難題自然無(wú)處遁形，落花流水了.

2 教學(xué)反思

思考1高三復(fù)習(xí)的定位是什么？

浙江新高考形勢(shì)及兩次選考的沖擊，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)可以說(shuō)是碎片化學(xué)習(xí).如何在這樣的背景下，提高高三復(fù)習(xí)的有效性，筆者認(rèn)為回歸教材應(yīng)是理性的選擇.以本課例的絕對(duì)值函數(shù)學(xué)習(xí)為例，學(xué)生其實(shí)非常困惑，總停留在如何去絕對(duì)值.為此是否可以換一個(gè)方式，順勢(shì)而為，留下絕對(duì)值，并使之形成模型.基于學(xué)生對(duì)二次函數(shù)已有性質(zhì)的理解,通過(guò)觀察、類比、辨析，使“V”型函數(shù)的模樣逐步清晰，內(nèi)涵得以豐盈，使知識(shí)的展開(kāi)、方法的形成不再是無(wú)本之木、無(wú)源之水.因此，高三的復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)以“以基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落實(shí)”為原則，圍繞“四化建設(shè)”進(jìn)行構(gòu)建，把高三復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)化，例題選擇典型化，思想方法大眾化，解題表達(dá)規(guī)范化，真正讓課堂教學(xué)由“題型+套路+訓(xùn)練”走向“概念+構(gòu)建+思維”[2].

思考2如何引入可以讓高三的復(fù)習(xí)課教學(xué)更具效果？

當(dāng)前，高三復(fù)習(xí)課教學(xué)可謂“整課盡是真題飛”！這樣做的好處是學(xué)生知道是高考題，會(huì)激起學(xué)生的求知欲、好勝心，及享受問(wèn)題解決后的成功感；然而，更多的學(xué)生看到高考題時(shí)會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，甚至是恐慌心理，導(dǎo)致高考試題價(jià)值沒(méi)有充分挖掘，教學(xué)效果就大打折扣[3].本節(jié)高三復(fù)習(xí)課第一稿設(shè)計(jì)也是以高考題引入，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生上課效果不理想，改用教材引入后，給學(xué)生熟悉的親切感，甚至讓學(xué)生體會(huì)到教材的重要性，認(rèn)識(shí)到考題往往源于課本，又高于課本.

思考3高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，試題講評(píng)在課堂上占很大比重，如何提高這樣的上課效率？

教學(xué)家杜威曾說(shuō)：“教學(xué)絕對(duì)不僅僅是簡(jiǎn)單地告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種過(guò)程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟.”它需要學(xué)生思維的加盟，有思維的激蕩就有不同的想法和做法，數(shù)學(xué)課只有有了這樣的思維主體,才是鮮活的、靈動(dòng)的、高效的.

筆者參加此次優(yōu)質(zhì)課比賽最大的感悟是教學(xué)要留給學(xué)生自主的空間和時(shí)間，讓學(xué)生更多地參與交流、辨析、思考，讓教學(xué)“慢”下來(lái)，讓師生在互動(dòng)中“說(shuō)題”.一方面要對(duì)高考試題退化、還原、重構(gòu)，繼而進(jìn)行遞推式鋪底，搭建“腳手架”，讓學(xué)生在新的問(wèn)題情境中學(xué)會(huì)識(shí)別，學(xué)會(huì)用已有的知識(shí)、已有的方法、已有的思想解決新問(wèn)題；另一方面，讓學(xué)生充分發(fā)表觀點(diǎn)、想法，展示其思路歷程，只有這樣，學(xué)生才能獲得有意義的發(fā)展.