(單縣第一中學，山東 單縣 274300)

●李 榮

(貴州師范大學數學科學學院，貴州 貴陽 550025)

●李明星

(南明甲秀高級中學，貴州 貴陽 550002)

1 試題呈現

圓錐曲線是溝通代數和幾何的重要橋梁，數形結合是解決數學問題的一個重要的數學基本思想方法.學生通過圖形去初步認識，進而運用代數去深加工，最后應用代數和幾何去解決問題，有助于培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力、數學運算能力.圓錐曲線類題目作為數學高考必考題，通過題目的設置去測評學生的各項能力，在突出選拔功能的同時，更突出對學生能力的評價.本文以2019年全國數學高考卷Ⅲ理科第21題第1)小題為例，對題目進行解決并嘗試推廣.

1)證明：直線AB過定點；

2)略.

(2019年全國數學高考卷Ⅲ理科試題第21題)

2 解題策略

整理得

2tx1-2y1+1=0.

設B(x2,y2),同理可得

2tx2-2y2+1=0，

整理得

x2-2kx-2m=0，

且

Δ=4k2-4(-2m)>0，

消去x0,得

y0=-m.

評注解法1和解法2分別從兩個角度入手，解法2首先設直線AB方程為y=kx+m，將直線方程與曲線方程聯立可得x1+x2和x1x2的值，為后面直線AD和直線BD解析式的聯立、消去x0得出y0的值奠定基礎.而解法1直接從曲線的切線和斜率切入，根據解析式得到切線斜率，通過斜率的性質求出直線AD和直線BD的解析式，進而求得直線AB的解析式，問題便迎刃而解.解法2相比于解法1而言，解題路徑更為簡潔、直接，將通過求導得到切線的斜率作為主線，充分進行了知識之間的融通，促進知識的遷移，提升了學生的思維和問題解決的能力.

3 推廣結論

綜上所述，本題第1)小題中所要證明的是直線AB過定點，點D所在的直線恰為曲線的準線.由解法1可知利用導數求切線斜率是證明AB過定點的關鍵所在.在高中的知識框架中，圓錐曲線的性質和知識結構較為廣泛和特殊，根據解法1可以得到如下推廣：

于是

即

從而

同理可得直線DB的方程為

從而直線AB的方程為

從而

同理可得直線DB的方程為

故直線AB的方程為

4 總結

高考試題凝聚命題人的心血和時代的理念，每一個試題都經過出題者的反復考量與打磨.解析幾何中主要蘊含的數學思想是借助平面直角坐標系，用代數的方法來研究幾何問題，這就體現了解析幾何的代數性質和幾何性質的雙重性質[1].圓錐曲線類題目作為數學高考主觀題的主角之一，題目設置的復雜性和難度不言而喻，在解題的過程中學生必須高效率地分析題目，提取題目中給出的有效信息，并對相關信息進行整合和處理.圖形的構建是首位的，基于題目條件畫出圖形給予直觀上的表現，學生根據經驗知識對圖形的特點進行回憶，將所學知識與題目結合，促成問題解決.

問題解決過程中“第一，努力在已知和未知之間找出直接的聯系；第二，如果找不出直接的聯系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進輔助問題”[2].本題要證明直線AB過定點，必須明確所需要解決問題的最終條件，即直線AB的方程，要得到直線AB的方程還需明確直線DA和直線DB的方程以及兩直線與直線AB的關系.通過求導和斜率公式去證明直線AB過定點，得出以下啟示：在雙曲線和橢圓中，如果也滿足在拋物線中的條件，則直線AB過定點.故將該啟示拓展到雙曲線和橢圓中并證明，以期為學生和教師提供解決類似圓錐曲線問題的途徑和方法.